Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour vam. Bonjour yoshi.

Veuillez m'excuser pour mon retard qui a pris des proportions bien plus énormes qu'escompté… petit conseil à ceux qui nous suivent : si vous devenez cadre, faites attentions aux responsabilités que vous acceptez d'assumer, au risque de vous retrouver à être responsable de tout le fatras mis par vos subalternes… de même n'acceptez pas tout sous prétexte qu'il faut bien le faire et que personne d'autre le fera : c'est toujours plus de travail avec un retour sur investissement assez négligeable.

Quoi qu'il en soit ; en vous relisant tout deux, il m'est venu l'idée d'aller voir ce qui se faisait en primaire à cette époque (notez les deux liens).

J'en suis alors arrivé à cette résolution, bien que je ne puisse réellement affirmer avec certitude s'il s'agit bien de ce qu'il était attendu par les auteurs, qui est finalement un mix de tout ce que vous m'avez suggéré ainsi que ce que j'ai pu trouver :

Si on porte, sur une même droite les segments $BC$ et $CD$ au bout du segment $AB$, on obtient le segment $AD=4\,\text{cm}$. La longueur du segment $AD$ est alors la somme des segments $AB$, $BC$, $CD$ où $x$ est la longueur inconnue du segment $AB$.

Or, la somme des longueurs des segments $BC$ et $CD$, correspondant respectivement aux traits rouge et bleu, équivaut à

$$1.5\,\text{cm}+2.1\,\text{cm}=3.6\,\text{cm}.$$

Le nombre $x$, correspondant à la longueur du trait hachuré, a donc pour valeur

$$4\,\text{cm}-3.6\,\text{cm}=0.4\,\text{cm}.$$

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Bien entendu, je n’exclus aucunement le fait que tout ceci soit overkill comme disent nos amis anglo-saxons, et qu'il était, potentiellement, tout simplement attendu de trouver la valeur directement…

Bonsoir yoshi. ^_^

Les derniers jours étaient éprouvant et je n’ai malheureusement pas eu assez de temps de te répondre convenablement. Néanmoins cela devrait maintenant être bon. Je répondrai donc à tes messages demain et j’en profiterai aussi pour donner mes réponses aux exercices !

PS. Je me suis pas mal servi, pour ces derniers, de ton lexique qui est une vraie mine d’or ! Merci encore pour celui-ci.

Bonjour yoshi.

C'est tout bon ! Il faut dire que je n'en attendais pas moins de mon fournisseur de messagerie. ^_^
Je m'en irais donc me délecter de ces 24 pages dès ce soir !

Bonjour.

Le volume d'une sphère $S$ de rayon $R$ dans un repère orthonormal $(O, \vec{x},\vec{y},\vec{z})$ d'origine le centre de la sphère peut se retrouver par la somme de toutes les aires des plans $P_z$ qui coupent la sphère.
On a alors un plan $P_z$ d'équation $z=\lambda$ qui coupe la sphère $S$, pour $|\lambda|\le R$, suivant un cercle $C_\lambda$ de rayon $r(\lambda)$ tel que $r(\lambda)^2+\lambda^2=R^2$.
D'ici tu retrouves l'aire $A(\lambda)$ du cercle $C_\lambda$ qui est
$$A(\lambda) = \pi r(\lambda)^2=\pi(R^2-\lambda^2).$$
Le volume de la sphère est alors
$$V=\pi\int_{-R}^{R}(R^2-\lambda^2)d\lambda = \pi\left[ R^2\lambda - \frac{\lambda^3}{3}\right]_{-R}^{R} = \pi \left[\left(R^3 - \frac{R^3}{3}\right) - \left(\frac{R^3}{3} - R^3 \right)\right] = \frac{4\pi R^3}{3}.$$

Rebonsoir. ^_^

Bah… disons que je n'y peux rien, c'est comme cela qu'on m'a appris les maths ! Je me doute que c'est inutile de ton point de vue ; mais je suis un pur produit de la mathématique moderne ! Et de fait, pour moi, une droite $(AB)$ c'est (pour ce qui nous intéresse ici) l'ensemble des points du plan passant par le couple de points $(A,B)$ ; une demi-droite $Ax$ où $A$ est un point sur la droite $xy$ c'est l'ensemble des points du plan ayant pour origine $A$ et pour direction $x$ : $[A,x)$
Un segment $[AB]$ sur une droite $xy$, c'est alors l'intersection des demi-droites (ensembles de points) $[A,x)$ et $[B,y)$ telles que $[A,B]=[A,x)\cap[B,y)$.
De même, un triangle $ABC$ c'est donc un triplet de points $(A,B,C)$ et un quadrilatère $ABCD$ c'est un quadruplet de points $(A,B,C,D)$.
Plus fou encore, deux droites/lignes $(A,B)$ et $(C,D)$ ne se coupent pas en un point $E$, mais… s'intersectent en le point $E$, et on m'a alors appris à noter $(A,B)\cap(C,D)=\{E\}$.
Bref, cette habitude de notation, je l'ai gardé toute ma scolarité étant donné que tous mes profs l'ont utilisée du début à la fin.
Les seules exceptions étaient alors les vecteurs qui étaient bien notés "usuellement" : $\mathbf{AB}$ ou $\vec{AB}$, sans doute car il n'était pas vraiment justifié de garder la notation en bipoint $(A,B)$ alors que les notations usuelles sont déjà une nomenclature différenciant et que les bipoints pouvaient amener à des erreurs d'interprétations.

Je vais devoir prendre sur moi afin d'essayer de ne pas me retrouver à écrire tout ceci. :=)

Ah oui ! On se permet des simplifications salvatrices ! Je retiens pour les futurs exercices.

Diantre ! Mais c'est que c'est vrai en plus ! On a dû me l'apprendre un jour, mais en effet, cette subtilité m'a échappée depuis belle lurette !
Soit, je vais donc essayer d'y retourner sans faire appel à l'hypoténuse !

Rebonjour.

J'avance à petits pas. J'ai réussi à faire quelques questions du premier exercice que tu m'as donné hier mais ça n'a pas été qu'une partie de plaisir… (même si je me suis amusé à batailler contre tikz pour la figure, j'espère qu'elle n'est pas trop… moche. :=))
Les trois questions que j'ai réussi à faire jusque-là m'ont demandée beaucoup de temps et là où j'ai, de loin, perdu le plus de temps, c'est en tentant de déchiffrer correctement les énoncés des questions afin d'en tirer toutes les informations (qui on ne va pas se mentir, sont bien cachées !).
Par contre, grande satisfaction lorsque tu penses avoir trouvé le détail qui débloque la situation ! Cela faisait bien longtemps que je n'avais pas ressenti ce genre de sensations devant des mathématiques ! Ainsi donc, pour moi, c'est du tout bon et ça me donne d'autant plus de de motivation pour entreprendre le voyage jusqu'au bout.

Bonne question ! J'allais y venir un peu plus tard dans la soirée. En effet, cela fait maintenant trois-quatre séances de 1h30-2h depuis le premier post. Il s'avère que

• Je m'en sors un peu mieux sur la plupart des exercices - sauf certains comme celui posté plus haut - ce qui me rend beaucoup moins hésitant dans mes réponses et j'arrive beaucoup mieux à lui expliquer ce qu'il se passe. J'ai aussi, je crois réussi à lui enseigner les rudiments de ces quelques méthodes (au moins ce que j'en maitrise) et il arrive à faire la plupart des exercices tout seul comme un grand. ^_^

• Le premier exercice que tu m'as donné à fait fureur ! Et ce, pour deux raisons il me semble. La première c'est qu'il a fait face à un exercice qu'il n'était pas en mesure de résoudre : il est resté planté dessus un bon moment sans vraiment comprendre ce qu'il devait faire.
  La deuxième c'est que j'ai pu l'aidé à le résoudre sous une forme de jeu en faisant notamment des découpages et collages, et puis je lui expliquais en même temps ce qu'il se passait et finalement il semble avoir bien compris. De plus, comme on n'était que tous les deux, il a pu poser des questions et tester avec moi ; ce qui n'arrive jamais en classe : les professeurs n'ont pas le temps de faire ça avec chaque élève… Quoi qu'il en soit, je testerai de nouveau ce weekend ce qu'il en a retenu et réellement compris.

• Les trois petits exos suivants ont été très bien accueillis aussi. Particulièrement le premier qui se généralise à toutes paires de nombres : la réaction de se rendre compte que ça fonctionne aussi bien pour $27 \times 6565 = 2727 \times 65$ que pour $54\times8989 = 5454\times89$ est assez drôle à voir.
  Pour le troisième exercice il s'en est sorti mieux que prévu. Cela m'a étonné. Il a tout compris tout seul ce qu'il devait faire et je n'ai moi-même rien eu à lui dire.
  Pour le second, malheureusement, il n'a pas eu le temps de le finir, mais ce n'est pas grave ! Je compte bien qu'il y retourne ce weekend !

Je me dois aussi de reconnaitre que j'ai moi-même bien évolué dans mes connaissances grâce à vous tous sur le forum !

Le weekend qui arrive sera plutôt long, j'aurais donc tout le loisir de faire faire pas mal de choses au petit-fils. Ce qui me permettra de te faire un autre retour détailler mettant en perspective ce que je viens d'écrire et ce qui se passera alors.

Bonsoir tout le monde. Je me permets de remonter cette discussion pour deux petites infos.

La première, c'est que j'ai découvert que Camille Lebossé et Cotentin Hémery avait fait deux chapitres dédier à toutes ces questions relatives aux problèmes arithmétiques dans leur manuel de sixième. On peut les lire ici : https://www.cjoint.com/doc/24_03/NCBqZP … 1tique.pdf
Tout y est plutôt bien détaillé, même si je préfère largement le style de notre modérateur qui est bien plus accueillant.

Malgré tout ceci, il reste certains exercices que je ne saurais, je pense, jamais comment aborder arithmétiquement.
Par exemple :

On a une équation linéaire :
$$3600-x=3(2560-x)\iff 3600-x=7680-3x\iff 2x=4000\iff x=2000$$
et de ce que j'ai compris, il me faut directement penser à la fausse supposition qui permet alors de résoudre des problèmes linéaires à une inconnue réelle.
Néanmoins, je n'arrive juste pas à déterminer comment justifier chaque étape de cet exercice avec celle-ci… ça ne m'a pourtant pas l'air sorcier… C'est là qu'on se rend compte que ça n'est pas beau de vieillir ! Ça rend tout apprentissage et toute acquisition d'automatismes un peu plus long et complexe !
J'imagine toutefois qu'un jour ça rentrera comme c'est rentré pour le reste !

La deuxième info, un peu rigolote, c'est que yoshi se fait trahir par son site ! En effet, le nom de la méthode telle qu'elle est renseignée dans les fiches du présent site est «fausse position».

Du coup je m'incline.
Après tout, la discussion autour de cet exercice n'a que trop duré et j'aimerais bien qu'on passe à d'autres systèmes parmi la petite centaine que j'ai scannée… D'autant plus si on prend en considération ce que j'ai écrit précédemment : ce n'est qu'un exercice purement et bêtement calculatoire.
Il n'a, comme je l'ai déjà écrit, aucun réel intérêt en soi pour la majorité des élèves (qui malgré tout, je le maintiens, sont tous en mesure de le réussir : il n'est pas compliqué) ; et n'était, selon moi, présent dans cette liste d'exercices que pour donner du challenge aux "meilleurs" (quoi que cela puisse vouloir dire lorsqu'on évoque simplement de faire des calculs…) pendant que les moins bons étaient à la traine en n'arrivant pas à résoudre des systèmes bien plus basiques. Et c'est alors qu'il prend tout son sens et tout son intérêt.

Sur ce, moi je retourne (ré-)étudier la géométrie qu'on ne m'a pas apprise lorsque j'étais élève. ^_^

Bonsoir vam.

En parlant de ton avis, j’aimerais bien que tu nous dises pourquoi tu penses qu’un élève lambda, celui qui tourne donc, bienveillance aidant, autour de 12-13 de moyenne (à notre époque ça aurait plutôt été entre 8 et 9 si mes souvenirs sont bons), laisserait tomber.
Si j’indique que l’élève moyen devrait avoir entre 12 ou 13 de moyenne, c’est parce qu’il me paraît impensable de qualifier un élève ayant 10 ou moins, avec le récital d’aujourd’hui, de moyen.
Je reconnais que la dernière fraction à calculer n’est pas de tout repos, mais dans un monde ou la calculatrice existe, il leur est possible de ne même pas s’embêter à la faire à la main. ^_^

Bonjour Ernst. ^_^

Bien sûr ! Et tu as totalement raison.

Simplement, le but de cet exercice, aussi bien aujourd'hui qu'à l'époque (on sortait des mathématiques modernes avec des élèves acalculiques comme le dit si bien yoshi… même si j'espère lui avoir montré avec ma prestation que ce n'était pas le cas de tous les élèves :=)) lorsque l'enseignement était encore empreint d'une forte dose d'algèbre, permettant aussi bien l'abstraction que la modélisation d'un problème afin de trouver la solution optimale — malgré, comme je le souligne, le retour des techniques calculatoires — est tout autre.
En effet, cet exercice est posé là, au milieu de tous les autres qui se résolvent par modélisation d'une astuce qui permet de les résoudre en deux équivalences. La seule question à se poser étant : pourquoi ?

Un autre exercice totalement hors de porté mais plus dans le thème car il s'agit juste de résoudre un système :

Bonjour vam.

J'ai, moi aussi, trouvé étrange de trouver l'utilisation de variables aussi tôt dans l'enseignement pré-moderne ; mais, en relisant la préface du manuel j'ai pu trouver une petite ligne qui peut vite passer inaperçue :

Si on creuse un peu le reste de cette série de manuel on trouve, dans la préface du manuel de cinquième (1964),

Et il est vrai que dès le manuel de cinquième sont introduits des notions telles que les ensembles, l'inclusion, l'appartenance, l'intersection, la réunion… par exemple (il y a d'autres exemples tout au long du manuel), dès ce manuel de cinquième, je retrouve une version édulcorée de ce à quoi j'ai eu droit en géométrie :

Maintenant que j'y pense, il me parait clair que l'enseignement de la mathématique moderne n'est pas sortie de nulle part pour être appliquée telle quelle : elle a dû faire son petit bonhomme de chemin afin d'être testée avec quelques notions par ci, d'autres par là, avant même qu'on se demande si elle devait être appliquée bien plus frontalement.