Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Je passe par là... c'est effectivement tellement pointu que je ne vois pas trop quel bouquin pourrait contenir des exercices de ce type. Il y a bien des classiques genre "Brezis" mais c'est plutôt niveau M1.
Je dirai plutôt qu'en M2 (ou même après) les "exercices" qui peuvent être intéressants c'est de refaire une preuve d'un théorème, d'un lemme, éventuellement de traiter des exemples...
Bon après je ne suis pas trop biblio donc il doit bien y avoir ce que tu cherches ! D'ailleurs si tu trouves, tu peux nous poster les idées, ça pourra toujours servir à d'autres.

Bon courage,
Roro.

Bonjour,

Est ce que tu pourrais préciser : quelles sont les inconnues, les variables, les données... et surtout ce que tu as essayé ?

Merci,
Roro.

Je savais bien que je me trompais... mais pas trop !

En fait, [tex]B_k'/k[/tex] vérfie bien la même relation que [tex]B_{k-1}[/tex] mais il ne vérifie pas la condition d'être nul en zéro. Il faut donc lui retancher une constante (qui vaut [tex]B_k'(0)/k[/tex] mais on s'en contre-fiche). Autrement dit [tex]B_k'=kB_{k-1}+B_k'(0)[/tex]. Avec ça on doit pouvoir en déduire (par récurrence) le degré de ces polynômes...

Roro.

Bonjour abdoullah,

Si tu admet qu'il existe un seul polynôme telle que la relation soit satisfaite, moi j'essayerai de dériver cette relation...

Roro.

Bonjour Golgup,

Je ne comprend pas trop ta question : est ce que tu sais que de telles matrices n'existent pas ? ou est-ce que tu penses juste qu'elles n'existent pas ?

En tout cas, il me semble que pour n=2 on peut trouver deux matrices qui anti-commutent :
[tex]A=\begin{pmatrix} 0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}[/tex] et [tex]B=\begin{pmatrix} 0&0&1&0\\0&0&0&1\\-1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}[/tex]

Et puis, plus généralement, voici deux matrices carrées (de taille [tex]n^2[/tex]) qui anti-commutent :
[tex]A=\begin{pmatrix} 0 & \cdots &\cdots & 0 & Id\\ 0 & \cdots & Id & \cdots & 0 \\ Id & 0 & \cdots & \cdots & 0 \end{pmatrix}[/tex] et [tex]B=\begin{pmatrix} 0 & \cdots &\cdots & 0 & M\\ 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ -M & 0 & \cdots & \cdots & 0 \end{pmatrix}[/tex], les matrices M, et Identité étant carrées de taille [tex]n[/tex].

J'imagine que ce que tu demandes est plus complexe ?

Roro.

Bonsoir florian69,

Tu as raison, ton erreur est dans le calcul des vecteurs propres associés à la valeur propre double -4 (je n'ai pas refait tes calculs, je les considère comme justes).

Si ton calcul est juste cet espace propre est engendré par les vecteurs (x,y,z) tels que x=y, c'est-à-dire par les vecteurs de la forme (x,x,z) où x et z sont des réels quelconque. Autrement dit ton espace est engendré par (1,1,0) et (0,0,1).

Remarque qu'il n'était pas certain (comme tu sembles le dire) que l'espace propre engendré par cette valeur propre (même double) soit de dimension 2...

Roro.

Bonsoir fotsing,

Bon, si j'ai bien compris, ce que tu veux démontrer c'est l'équivalence entre
i) il existe un isomorphisme de modules [tex]f:v\rightarrow w[/tex];
ii) il existe un isomorphisme d'espaces vectoriels [tex]g:v\rightarrow w[/tex] tel que [tex]g\circ \alpha = \beta \circ g[/tex].

Pour la partie i) [tex]\Rightarrow[/tex] ii), il suffit d'utiliser les constantes de [tex]K[X][/tex] dans la définition d'isomorphisme de module (en particulier dans la propriété [tex]f(Px)=Pf(x)[/tex] que doit vérifier un morphisme de modules).

Pour la réciproque, tu peux utiliser le fait que la relation [tex]g\circ \alpha = \beta \circ g[/tex] implique les relations [tex]g\circ P(\alpha) = P(\beta) \circ g[/tex] pour tout polynôme de [tex]K[X][/tex].

Roro.

Bonjour Joe Black,

De façon assez usuelle, P(A1|A2) désigne la probabilité d'avoir A1 sachant que A2 est vraie (probabilité conditionnelle)...
Voir : http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … acond.html

Roro.

Re,

oui, l'étape suivante (après avoir obtenu les valeurs propres) est d'obtenir des vecteurs propres.
Et tu as aussi raison, il faut trouver un vecteur [tex]e_1[/tex] tel que [tex]Ae_1=(2-\sqrt{3})e_1[/tex]...

Roro.

Bonsoir,

Un "donut" c'est sans doute ce qu'on appelle en mathématique un "tore".
C'est une surface (d'où le terme dimension 2) qui peut aussi ressembler à une chambre à air de vélo.
Quand snicker dit que lorsqu'il le mange il est en dimension 3, c'est qu'il mange aussi l'intérieur... le "donut" cité par son prof n'est que la surface de l'objet...

Ceci étant dit, le problème que tu poses est très classique (pour les mathématiciens) et peut être abordé de différentes manières (théorie des graphes ou topologie). Je vous renvoie par exemple à la page wikipédia http://fr.wikipedia.org/wiki/Énigme_des_trois_maisons.

Roro.

Bonsoir,

J'ai même l'impression qu'il existe un élément de [tex]x\in E[/tex] tel que [tex]d(x,F)=\|x\|=1[/tex].
Je dois me tromper quelque part, mais puisque tu travailles sur un espace vectoriel normé, tu disposes d'un produit scalaire et d'une notion d'orthogonalité. Si tu prends [tex]x[/tex] dans [tex]F^\perp[/tex], de norme [tex]1[/tex] ça doit marcher ??

Roro.

Bonsoir,

J'aurais bien une idée de la méthode : pour obtenir les racines d'un polynôme de degré 4, il vaut mieux en connaître quelques unes (j'oublie les formules tortueuses donnant explicitement ces racines). Et dans le cas présent, on en connaît au moins 2 (i et -i). Il reste ensuite à trouver les deux autres qui doivent être racines d'un polynôme de degré 2, donc ce n'est pas trop difficile !

Mais si on n'a pas vu les "racines évidentes", ou par exemple si le polynôme f était le suivant : [tex]f(x) = x^2-3x+5[/tex] on pourrait tout aussi bien résoudre l'équation [tex]f(f(x))=x[/tex].

Il suffit en effet de remarquer que si [tex]f(x)=x[/tex] alors ce [tex]x[/tex] vérifie aussi [tex]f(f(x))=x[/tex]. Autrement dit, les "racines évidentes" de mon polynôme de degré 4 : [tex]f(f(x))-x[/tex] seront celles du polynôme (de degrè 2) [tex]f(x)-x[/tex].

Je ne sais pas si c'est très clair, mais je poste cette réponse car je me suis demandé si on pouvait trouver ce type d'astuce pour résoudre par exemple [tex]f(f(f(x))) = x[/tex] où [tex]f[/tex] est un polynôme de degré 2 donné...

Bonne nuit,
Roro.

P.S. Je n'ai pas vraiment cherché de réponse à ma dernière question, il est possible qu'elle soit "triviale" !