Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Il y a juste une petite coquille dans ce que tu dis zarga (et Fred a dû lire trop vite) : ces espaces de Sobolev [tex]H^m[/tex] sont basés sur l'espace hilbertien [tex]L^2[/tex]. Donc pour être dans [tex]H^m[/tex], [tex]m\in \mathbb N[/tex], toutes les dérivées d'ordre inférieur ou égal à [tex]m[/tex] doivent être dans [tex]L^2[/tex] (et non pas dans [tex]L^m[/tex]).

Roro.

Bonjour zarga,

sans parler de changer le domaine, qu'est ce que tu as essayé de faire ? Parce que si tu écris la chose la plus simple que tu imagines tu dois pouvoir calculer ton intégrale sans difficulté !

Avec le domaine que tu donnes, si une fonction f y est intégrable tu devrais avoir :
[tex]\int_\Omega f(x,y) dxdy = \int_0^1 \left( \int_0^{x^2} f(x,y) dy \right) dx.[/tex]

Roro.

Bonjour,

je ne connais pas de méthode pour "trouver" une primitive à tous les coups !
Il faut avoir de l'imagination, l'habitude... et vérifier que ça marche.
Mais ici c'est suffisamment simple pour qu'on "devine" la primitive (c'est comme si je te dis quelle est la primitive de [tex]x\mapsto2x[/tex]).

Roro.

Bonjour,

Je suis d'accord avec le premier morceau de I(u) mais pas avec le second (en fait je ne comprend pas ce que tu écrit car tu as une intégrale double mais une seule variable d'intégration...).
Je pense que tu as presque la bonne formulation mais il faut que ce que tu écrives ai un sens !

Roro.

Bonjour,

La réponse de Grizzly ne te convient pas ?
Si tu as vraiment montré l'existence d'une solution sur [tex][0,1/3][/tex] alors effectivement le théorème de Cauchy-Lipschitz te permet de la prolonger au moins un peu en dehors... mais peut être pas jusqu'à l'infini !

Roro.

Bonsoir,

J'ai un peu lu en diagonale ce que vous avez raconté mais j'ai l'impression que
"Il existe un seul quadrilatère convexe (à isométrie près) dès qu'on se donne les quatre longueurs et une diagonale."
C'est en gros ce que dit Totomm...

Si vous imposez les longueurs des deux diagonales, il y a peu de chance qu'il existe un tel quadrilatère...

Roro qui vient mettre son grain de sel (de Guérande) dans la diagonale.

Bonjour,

C'est un espace produit donc tu as le choix de la norme que tu mets :
[tex]\| (u,v) \|^2 = \|u\|^2 +  \|v\|^2[/tex]
ou bien
[tex]\| (u,v) \| = \|u\| +  \|v\|[/tex]
ou encore
[tex]\| (u,v) \| = \max (\|u\|, \|v\|)[/tex]...

Tu remarqueras qu'elles sont toutes équivalentes!

Roro.

Bonjour,

Une idée : le déterminant (qui à n vecteurs associe le déterminant de ces vecteurs) est une application n linéaire.

Roro.

Bonsoir,

merci freddy... quand j'ai dit que j'avais la flemme, ce n'était pas pour rien !

Roro.

Bonsoir,

Je n'ai rien compris...

Roro.

Après... qu'est ce que tu en penses ?
Tu peux peut-être essayer de chercher des solutions négatives.
Ensuite l'idée sera de recoller ces solutions...

Roro.

Bonjour,

J'imagine que le théorème de la divergence cité par samo12 correspond à une version de la formule de Stokes :
[tex]\int_S d\omega = \int_{\partial S} \omega [/tex].
Dans cette égalité, [tex]\omega[/tex] est une 2-forme de l'espace [tex]R^3[/tex] (je me place dans le cas de samo12), donc de la forme
[tex]\omega = f_1 dy\wedge dz + f_2 dz \wedge dx + f_3 dx \wedge dy[/tex].
Tu remarqueras qu'on peut formellement écrire
[tex]\omega = f \cdot ds[/tex] où [tex]ds=(dy\wedge dz \, ,\, dz \wedge dx \, ,\, dx \wedge dy)[/tex]
et sa différentielle  vaut
[tex]d\omega = div(f) dx\wedge dy \wedge dz.[/tex]
L'ensemble S est la sphère unité de [tex]R^3[/tex] et son bord est effectivement la sphère (sous-variété de dimension 2).
La formule de Stokes devient alors
[tex]\int_S  div(f) dx\wedge dy \wedge dz = \int_{\partial S} f \cdot ds [/tex].
Si tu veux retrouver des mesures "classiques", il faut par exemple paramétrer la sphère : si ton paramétrage est donné par [tex]M(u,v)[/tex] alors tu auras
[tex]ds = \partial_uM \wedge \partial_v M dudv[/tex] ([tex]dudv[/tex] étant la mesure de Lebesgue sur le plan) et comme par magie, [tex]\partial_uM \wedge \partial_v M[/tex] est lié à la normale à la sphère...

Je ne sais pas si ça répond à la question (assez compliquée en fait)...
Roro.