Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,

Puisque Bluerock57 a lui-même trouvé la réponse à sa question, je vais quand même me permettre un petit commentaire sur cet exercice...

La question très générale est de pouvoir définir la racine carrée d'une matrice (c'est-à-dire, étant donnée M, trouver N telle que [tex]N^2=M[/tex]).

En général, on ne peut pas le faire . Déjà pour des réels, c'est-à-dire des matrices [tex]1\times 1[/tex], on sait que les nombres négatifs n'ont pas de racines carrées (réelles)).

En fait, on peut le faire facilement lorsque la matrice M (réelle) est symétrique et "positive". Dans ce cas la matrice M est diagonalisable et toutes les valeurs propres sont positives : [tex]M=PDP^{-1}[/tex].

Dans ce cas, on fait comme Bluerock57, on pose [tex]N=P\sqrt{D}P^{-1}[/tex], la diagonale [tex]\sqrt D[/tex] étant constituée des racines carrées de la diagonale D (dans le même ordre !).

Roro.

Ca doit dépendre de la régularité de ton champ de vecteur ?

Roro.

Re,

Puisque la solution a été donnée, je vais donner mon raisonnement... et vous me direz à quel niveau scolaire on peut demander de savoir faire ça.

Etape 1 : on remarque que si a, b et c sont trop grands alors [tex]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}[/tex] ne sera jamais assez grand pour faire [tex]\frac{1}{4}[/tex]... Plus précisément, si a, b et c sont supérieur ou égal à 4 alors [tex]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \leq \frac{3}{16} < \frac{1}{4}[/tex].

Conclusion 1 : l'un des trois entiers est inférieur strictement à 4. Disons que cet entier est celui qui est noté a.

Etape 2 : D'après l'étape précédente, on a [tex]a=1[/tex], [tex]a=2[/tex] ou [tex]a=3[/tex]. Essayons [tex]a=1[/tex] : on aura [tex]\frac{1}{a^2}=1[/tex] qui est déjà trop grand... Essayons [tex]a=2[/tex] : [tex]\frac{1}{a^2}=\frac{1}{4}[/tex], il n'y aura plus de place pour b et c !

Conclusion 2 : [tex]a=3[/tex].

Etape 3 et 4 : je recommence. On sait maintenant que [tex]a=3[/tex]. On cherche donc b et c tel que [tex]\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} = \frac{1}{4}-\frac{1}{a^2} = \frac{5}{36}[/tex]. Si b et c sont supérieur ou égal à 4 alors on remarque que ça ne peut pas marcher ! Donc l'un des deux entiers b ou c vaut 3. Disons [tex]b=3[/tex].

Etape 5 : Connaissant a et b, on en déduit c par la formule [tex]\frac{1}{c^2} = \frac{1}{4}-\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}[/tex]. On trouve [tex]c=6[/tex].

Ce n'est sans doute pas la méthode la plus élégante, peut être pas la plus simple...
Roro.

Bonjour,

Oui, et je dirai même qu'il suffit d'un peu de bon sens et juste de savoir ajouter des fractions !

Roro.

Bonsoir KStoned,

Concernant la première question, l'équation du second degré que tu obtiens a bien les deux solutions [tex]X=1[/tex] et [tex]X=3[/tex], mais il ne faut pas oublier que tu a fait un changement de variable [tex]X=\ln(x)[/tex]. Les solutions de ton équation initiale sont donc [tex]x=e[/tex] et [tex]x=e^3[/tex] (je ne vois pas trop le lien avec " 3 avec plein de chiffres après la virgule" !)

Pour la seconde question, tu as raison, on utilise effectivement que [tex]\ln(e^2) = 2[/tex].

Roro.

P.S. Je vois que Yoshi m'a devancé... et de façon sans doute moins "concise" !

Bonsoir,

J'allais dire comme Yoshi...

Roro.

Bonsoir,

Es-tu sûr de ta formulation ? En particulier du produit des deux intégrales ?

Si je n'ai pas répondu plus tôt c'est que je ne passe pas mon temps à lire les messages...

Roro.

Bonjour,

Qu'as-tu essayé ?
Avoir une formule générale pour tout entier n ne me semble pas simple...
Peut être devrais-tu décomposer cette fraction en élements simples !
Dis nous ce que ça donne si tu essayes cette piste.

Roro.

Bonsoir,

Je suis un peu perdu dans ce que tu racontes car c'est très imprécis.
Que sont e1, e2... ? Dans quel espace te places-tu (tu parles de [tex]\mathbb R^4[/tex] mais est-ce vraiment ça?) ?
Quelle est la forme quadratique q ? (j'imagine que c'est une forme quadratique...)

Roro.

Bonsoir,

Parce que si la suite [tex]u_n[/tex] n'est pas de signe constant (à partir d'un certain rang) alors le résultat est faux.
Exemple : [tex]u_n = \frac{(-1)^n}{n}[/tex] et [tex]v_n = (-1)^n[/tex].
Tu dois donc utiliser quelque part dans la démonstration cette hypothèse de signe !

Roro.

Bonsoir,

je ne vois pas trop en quoi ça montre ce que tu demandais dans ton premier post car comme je l'ai dit, celui-ci n'avait pas de sens...
Pour démontrer ce que je t'ai annoncé, tu peux procéder ainsi :
[tex]|f|_{L^r}^r \leq |f|_{L^\infty}^{r-1} \, |f|_{L^1}[/tex]
donc
[tex]|f|_{L^r} \leq |f|_{L^\infty}^{\frac{r-1}{r}} \, |f|_{L^1}^\frac{1}{r}[/tex]
puis utiliser l'inégalité de Young
[tex]ab \leq \frac{a^r}{r}+ \frac{(r-1)b^{\frac{r}{r-1}}}{r}[/tex]

Roro.

Bonjour,

Je pense que la formulation variationnelle du second membre s'écrit plutôt [tex]\int_\Omega f \frac{\partial v}{\partial x_i}[/tex].
Ca devrait te simplifier la suite...

Roro.