Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir Michel.

Merci de ta réponse.
Bien sûr !
Mais l'intérêt de cet exercice réside dans sa conclusion, un peu inattendue.
C'est cette conclusion que j'ai demandé à Mistral de calculer pour un jeu de 52 cartes, n'ayant pas envie de refaire des calculs fastidieux, eux faits "à la main", avec quand même l'aide de ma chère calculatrice Numworks pour avoir les valeurs fractionnaires irréductibles. La réponse est encore plus étonnante qu'avec un jeu de 32 cartes.

Bonsoir Roro, bonsoir à tous.

Merci de ta réponse.

J'explique, et expliquerai, les deux structures, en précisant que la structure $y + \alpha y = \beta$ est celle qui correspond à la structure générale habituelle $f(y, y', y'') = u(x)$.

Bonne soirée et bon dimanche.

Une fois de plus, tu me fais précieusement avancer dans une compréhension, et donc dans la compréhension que je pourrai ensuite transmettre !
Merci grandement !!

Comme il n'y a qu'un seul roi de trèfle, le tirer correspond à $\displaystyle \binom{1}{1}$
Le total des deuxièmes lignes des combinaisons $\displaystyle \binom{1}{1}$, $\displaystyle \binom{10}{1}$ et $\displaystyle \binom{30}{3}$ — le $k$ de $\displaystyle \binom{n}{k}$ a-t-il un nom spécifique ? — est donc bien égal à 5 cartes tirées.

Ce que tu m'as aussi fait comprendre, c'est qu'il n'est pas nécessaire que le total des premières lignes soit égal à 44.

Dans le second terme, il y a effectivement le choix entre trois rois autres que le roi de trèfle (carreau, cœur et pique), d'où le facteur $\displaystyle \binom{3}{1}$.

Je vais pouvoir expliquer cela à mon élève (et aux suivants, car cet exercice me servira d'exemple pédagogique).
Merci encore !

Bonjour Fred, Bernard et Michel, bonjour à tous,

Merci de vos réponses.

Sauf erreur de ma part, la réunion des deux cas possibles — la main ne contient pas le roi de trèfle ou la main contient le roi de trèfle — s'écrit
[tex]\displaystyle \binom{3}{1} \times \binom{10}{2} \times \binom{31}{2} + \binom{4}{1} \times \binom{10}{1} \times \binom{30}{3} = 225 \,175[/tex]
valeur qui ne fait pas partie de celles affichées.

Si on ne considère que le premier cas, la valeur correspondante $\displaystyle \binom{3}{1} \times \binom{10}{2} \times \binom{31}{2} = 62 \, 775$ ne figure pas non plus parmi les valeurs affichées.

J'ai toutefois eu plusieurs fois l'occasion de remarquer, alors que j'étais absolument sûr du résultat, que Kwyk génère parfois des valeurs affichées fausses.
Il est donc probable qu'il en soit ainsi avec cet exercice.

Bonne journée de samedi à tous.

Bonjour Roro, bonjour à tous,

Merci de ta réponse qui enrichit (de nouveau) ma compréhension.

Effectivement, tout produit de deux fonctions — ici $\dfrac 1 x$ et $e^x$ — n'est pas "primitivable" car chacune des deux combinaisons $u$ - $v'$ — ici $u = \dfrac 1 x$ et $v' = e^x$ , ou $u = e^x$ et $v' = \dfrac 1 x$ — mène à une impasse.

Bon dimanche à tous.
Bien cordialement,
Bor.

PS : Excuse-moi, Roro, de ne pas t'avoir répondu rapidement : outre la reprise des cours après cette coupure dont j'avais besoin, je prépare avec une assez forte excitation intellectuelle deux stages de préparation aux concours Advance et Avenir, ce qui est pour moi une première, et ce qui a tendance à un peu annihiler le reste, dont notamment mon sommeil. (J'ai du mal à tourner le bouton tard le soir, et me réveille trop tôt le matin car le cerveau continue pendant mon sommeil à chercher des façons personnelles d'expliquer les réponses aux QCM.)

Bonsoir, bonsoir,

J'ai bien ri en lisant vos échanges lorsque je suis rentré à mon logement après mes pérégrinations marseillaises.

C'est fou comme une interrogation d'un élève de 4ème a pu générer un tel débat !!
Nous sommes à deux doigts de nous demander si on peut légitimement affirmer que toute vache ovipare espagnole ayant une grand-mère normande pond des œufs obtusangles tachetés portant des parapluies à cornes et bénéficiant d'un odorat exceptionnel.

Je suis d'accord avec Alain : ces échanges montrent toute l'ambiguïté du langage et la difficulté de la traduire selon un formalisme rigoureux.
En particulier, je décèle ici deux difficultés : comme traduire par une implication indiscutable "seul(e)(s)" et "peut" ou "peuvent", par exemple "seuls les triangles acutangles peuvent avoir trois côtés égaux" ?

J'avais par exemple eu à un moment le projet de créer un cours destiné aux juristes et aux avocats portant notamment sur l'attention qu'on doit porter à la négation d'une succession de "et" et de "ou", des indications du type "dans le cas contraire" pouvant donner lieu à un véritable casse-tête en cas de litige.
(J'ai eu aussi l'occasion de traduire un texte commercial juridique de français en russe. Je repérais alors des ambiguïtés qui pouvaient être exploitées par les Russes, sachant à quel point ils peuvent être roublards en affaires. Je téléphonais alors au directeur juridique en lui expliquant les interprétations possibles. "Surtout pas !" me répondait-il immédiatement. Nous revoyions alors le texte en français pour réduire autant que possible les risques d'interprétation roublarde.)

Pour revenir à la question initiale, ce que je retiens de ce débat est que la proposition et sa contraposée sont synonymes, et il peut être plus facile de démontrer la contraposée plutôt que de démontrer la proposition première.
Le fait que la réciproque soit vraie ou non n'a aucune influence sur cette synonymie.
La question posée n'a donc finalement pas lieu d'être.

Bonne fin de soirée, et bonne journée de demain.
Pour ma part, je pars demain à Toulon et embarque en soirée pour Ajaccio.

Bien cordialement,
Boris

(Mon prénom, que je dévoile ici, représente une double non implication : le fait qu'un homme porte ce prénom n'implique pas qu'il soit russe ou d'origine russe (exemple : Boris Vian) ; réciproquement (sic), le fait qu'un homme soit russe ou d'origine russe n'implique pas qu'il soit prénommé Boris.
Comment traduire mathématiquement la non implication ? par un $\Rightarrow$ barré ?
Comment formaliser sa "réciproque" ? voire sa "contraposée" ?)

Bonjour Michel, bonjour brigslam, bonjour à tous qui suivez cette discussion vachement intéressante,

Je comprends donc que le fait qu'une vache ait des taches implique qu'elle est normande.
Je comprends aussi (peut-être pas tant que cela du point de vue de la logique formelle) qu'une vache normande n'a pas nécessairement des taches.
Et je comprends aussi qu'une vache non normande n'a pas de taches.
Je suis d'accord aussi avec brigslam : la formulation logique ne va forcément de pair avec l'ambiguïté du langage.

Point important que j'ai compris grâce à vous, c'est qu'une assertion est équivalente à sa contraposée, et que cette équivalence produit une identité entre deux ensembles (ensemble des triangles rectangles, et ensemble des triangles dont le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés ; ensemble des vaches à taches, et ensemble des vaches normandes).
Par rapport à cette équivalence, la réciproque est presque accessoire.

La compréhension acquise, à plus forte raison lorsqu'elle est consolidée par de précieux échanges, m'est primordiale car c'est précisément cette compréhension (parfois difficilement) acquise que je transmets ensuite à mes élèves.

Par contre, je ne comprends toujours pas en quoi j'ai pu confondre réciproque et contraposée. Michel m'a bien confirmé que la première phrase représente la réciproque, et que la seconde représente la contraposée, ce que j'avais toujours perçu et compris.

Bonne journée à tous.
Bien cordialement,
Borassus

Bonjour Michel, et merci de ta réponse qui me remet la tête à l'endroit.

Donc mes phrases

étaient bien exactes si on considère que $P$ est  " le triangle est rectangle ", et $Q$ est " le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés ".

Je comprends aussi tout à fait, comme je l'ai écrit plus haut, que l'intervention de DeGeer soulignait que l'affirmation de Wikipédia " Si un triangle ABC n’est pas rectangle en C, alors  AB² n'est pas égal à AC² + BC² " ne traduit pas la contraposée, mais bien la contraposée de la réciproque.

Mais je continue à ne pas comprendre la réponse de A., alias brigslam,

qui m'a effectivement emmêlé les pinceaux.

Sur ce je repars me promener dans Marseille.
Ce matin, je suis monté jusqu'à Notre-Dame de la Garde. Une splendeur !
Là je vais aller au Palais du Pharo.

Bonsoir à tous,

Bonsoir DeGeer,
Je crois avoir compris ce que tu voulais dire: ton indication soulignait le fait que la proposition de Wikipédia était fausse. Cette proposition n'est en effet pas la contraposée du théorème de Pythagore, mais bien la contraposée de la réciproque.

En effet, si on admet que La contraposée de la proposition $P \Rightarrow Q$ est la proposition $\text {non Q} \Rightarrow \text {non P}$, la contraposée de la réciproque $Q \Rightarrow P$ est $\text {non P} \Rightarrow \text {non Q}$

Bonsoir bridgslam,
Je ne comprends toujours pas ce que tu as voulu dire.
Peux-tu expliquer s'il te plaît ?

Bonsoir Jean-Louis,
J'avais effectivement hésité et il me semblait que la bonne écriture est "aller de pair". Mais quand j'ai saisi "aller de pai" dans Google, j'ai vu s'afficher plein de réponses avec cette écriture. J'en ai conclu que c'était la bonne, sans aller au-delà.
Merci de cette rectification que je n'avais initialement pas vue.

Je viens de remarquer l'erreur : tant qu'on n'a pas vérifié l'égalité, on ne sait pas qu'il s'agit d'un triangle rectangle. On ne peut donc utiliser le terme "hypoténuse".

Tout L'ÉTudiant qu'il soit, il peut écrire une affirmation fausse.

Bonne fin de dimanche à tous, et bonne et fructueuse semaine naissante.
(Pour ma part, je vais demain me réchauffer au soleil de Marseille pendant trois jours. De là, je vais peut-être me rendre en Corse où je ne suis jamais allé. J'abandonne donc mes chers élèves pour une dizaine jours, ce qui m'est toujours difficile. Mais je dois vivre aussi un peu pour moi.)

Wikipédia :
« En mathématiques et en logique, la contraposition transforme une implication « si A alors B » en une implication équivalente « si non B alors non A ». La nouvelle proposition obtenue « si non B alors non A » s'appelle la contraposée de « si A alors B ».

Bibmath :
Soient deux propriétés $P$ et $Q$. La contraposée de la proposition $P \Rightarrow Q$ est la proposition $\text {non Q} \Rightarrow \text {non P}$.

Au secours !! Vous pouvez m'expliquer ??

Le sujet est pour moi d'autant plus important que je me base précisément sur les formulations classiques de la réciproque et contraposée du Pythagore pour expliquer ce que sont la réciproque et la contraposée !

Je dois donc bien comprendre ce qu'est la contraposée — j'avoue ne pas avoir fait l'effort auparavant — de façon à montrer en quoi la formulation classique de celle du théorème de Pythagore est erronée et quel raisonnement concret il faut en réalité dérouler.

Je crains toutefois de dérouter les élèves de collège et de lycée qui entendront deux formulations apparemment très différentes. (Ajouté : Mais, bon, cela ne fera qu'une fois de plus où ce que j'explique est sensiblement différent de ce que les élèves apprennent en cours.)