Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir Krokodyle Sama.

Mettons un peu d'ordre dans ce fouillis.
1) Toute fonction continue sur un segment [tex][a,b][/tex] est bornée et atteint ses bornes.
2) La fonction [tex]g[/tex] définie pour [tex]x\neq 0[/tex] par [tex]g(x) = \frac1x + 1[/tex] n'est pas bornée sur [tex]{\mathbf R}\setminus\{0\}[/tex].
Elle n'est pas continue (en zéro).
3) La fonction [tex]t \longmapsto \cos(1/t)[/tex] est bornée sur [tex]\mathbf R[/tex] mais n'est pas continue en zéro.
4) Insérer du code [tex]\LaTeX[/tex] est simple, s'apprend rapidement et est un signe de politesse. La politesse étant l'effort que l'on fait pour être agréable à ses interlocuteurs. En citant un message tu verras apparaître le code [tex]\LaTeX[/tex] .

Ostap Bender

Bonsoir Krokodyle Sama.

Il faudrait être plus précis. Dans quel cadre ? Intégrale de Riemann, de Lebesgue ? Fonction divergente en quel point ? A distance finie ou à l'infini.
Exemple : l'intégrale [tex]\int_0^1 \dfrac{\mathrm dt}{\sqrt t}[/tex] converge comme intégrale de Riemann généralisée.

Ostap Bender

Bonsoir.

Tu peux démontrer que son complémentaire est fermé.

Sinon tu peux démontrer que [tex]f_A~:~x\longmapsto d(x,A)[/tex] est continue.

Ostap Bender

Bonjour milexarc.

Ni l'un ni l'autre. Si tu notes [tex] F(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac1{x^2n^3+n^2}[/tex], tu obtiens une fonction paire. Effectivement [tex]F(0)= \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac1{n^2}=\dfrac{\pi^2}6[/tex]. Mais tu vois bien que [tex]F[/tex] est une fonction décroissante sur [tex][0,+\infty[[/tex].

Ostap Bender

Je valide entièrement ton raisonnement.

La suite [tex](f_n)_n[/tex] ne converge pas uniformément sur [tex][~0~,~+\infty~[[/tex].
Il faut toujours préciser sur quel ensemble on étudie la convergence uniforme. Ici on a convergence uniforme sur tout compact de [tex]]~0~,~+\infty~[[/tex].

Ostap Bender

Oui, tout groupe s'admet lui-même parmi ses sous-groupes.

Ostap Bender

Je confirme.

Maintenant tu as un groupe d'ordre 8. Ses sous-groupes sont d'ordre 1,2,4 ou 8.
Tu as 1 élément d'ordre 1.
           3                               2.
           4                               4.
Dès que tu rajoutes un élément extérieur à un sous-groupe d'ordre 4, boum, tu passes tout de suite à l'ordre 8 c'est-à-dire à G tout entier.
Restent les éléments d'ordre 2 que tu peux combiner : 11,19 et 9.
As-tu tous les sous-groupes de G ?

Ostap Bender.

Non, ça ne suffit pas. Parmi les éléments de [tex]\langle 3,11 \rangle[/tex], tu as [tex]3\times3 = 13[/tex] par exemple.

Ostap Bender

Oups !  [tex]3\times11 = 13[/tex] bien sûr. Merci d'avoir rectifié !

Tu vas prendre les générateurs par deux, par exemple
[tex]\langle 3,11 \rangle = \{1,3,9,7,11, 13,19,17 \} = G [/tex]. Ce qui prouve au passage que [tex]G[/tex] peut être engendré par deux éléments seulement.

Essaye de calculer [tex]\langle 11,19 \rangle [/tex].

Ostap Bender

Jusque-là, tu as dressé la liste de tous les sous-groupes cycliques. Dans le 5. On te demande tous les sous-groupes, parmi lesquels il y a [tex]G[/tex] par exemple.

Ostap Bender

Tu as [tex]1=11^2[/tex] par exemple.

Pour le 2. Tu prends le générateur 3. Tu calcules ses puissances :
[tex]3^0=1;3^1=3;3^2=9;3^3=7;3^4=1[/tex] et tu retournes au point de départ. C'est ça un groupe cyclique.
Tu as donc [tex]\langle 3 \rangle = \{1,3,9,7\} =\langle 7 \rangle [/tex]. En revanche [tex]\langle 9 \rangle = \{1,9\} [/tex].
etc.

Ostap Bender

Je t'annonce d'entrée de jeu que je ne connais pas ce problème.

As-tu une idée du nombre de points ?

Je pense qu'une première idée est d'éliminer les points qui ne servent à rien. Tu imagines que tu as quatre points. Un triangle et un point à l'intérieur de ce triangle. Le point à l'intérieur du triangle ne sert à rien, tu peux l'enlever.
Est-ce que tu vois comment faire ?

Ostap Bender