Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Salut ;

Bravo zébulor  et merci pour vos efforts ;

Le numérateur à pour valeur 221/8  ; le dénominateur : 17/256 ;

Et le rapport : [tex] \cfrac{\frac{221}{2^3}}{\frac{17}{2^8}} = 13\times2^5 = 416  [/tex]

Ce que j'ai fait :

A)  le numérateur : utilisons la formule d'Euler  : 

[tex]  \sin^6{x}  =  \left[\cfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\right]^6 = \cfrac{-1}{32}.\left[\cos{6x} - 6.\cos{4x} + 15.\cos{2x} - 10\right][/tex] 

Dans la somme recherchée on retrouve facilement le terme médian : [tex] \sin^6{45°} = \cfrac{1}{8} [/tex] 

Il reste maintenant à sommer 88 lignes sinus : ( 88 fois  5/16  &  3 x 88 termes cosinus ) .

88 x 5/16 + 1/8 =  221 / 8   . Il reste à sommer les 3 x 88 cosinus .

Si on regroupe ces cosinus par couple :

1)   on regroupe les paires comme ceci :  [tex]  \cos{6x} + \cos[6.(90-x)]  =  \cos{2x} + \cos[2.(90°-x)] = 0 [/tex]

pour cos 6x et cos 2x  on prend les angles complémentaires ; ce sont les paires (89 ; 1) ; (88 ; 2) ...... (47 ; 43) ; (46 ; 44)

2)    pour les cos 4x  , on prend les angles différents de 45° . Ce sont les paires : ( 46 , 1) ; (47 , 2) ; (48 , 3) .....  (88 , 43) & (89 ; 44)

On s'aperçoit que la somme des 264 cosinus est nulle .  Le numérateur a pour valeur : 221/8  ; et la division par 17 donne : 13/8

B)  Le dénominateur ; 

On va faire apparaître à tour de rôle le sinus d'un angle double :  [tex] \sin{2x} = 2.\sin{x}\times{\cos{x}}  [/tex]

Je multiplie le dénominateur par [tex] \sin\frac{\pi}{17}.\sin\frac{3\pi}{17}[/tex] ; je diviserai à la fin par la même valeur .

Je forme deux groupes : 

[tex] \sin\frac{\pi}{17}\times\cos\frac{\pi}{17}\times\cos\frac{2\pi}{17}\times\cos\frac{4\pi}{17}\times\cos\frac{8\pi}{17} = \cfrac{1}{16}\times\sin\frac{16\pi}{17}  = \cfrac{1}{16}\times\sin\frac{\pi}{17} [/tex]

Il reste à diviser par [tex] \sin\frac{\pi}{17}[/tex]  pour obtenir  1/16  .

On procède de la même façon avec le groupe : 

[tex] \sin\frac{3\pi}{17}\times\cos\frac{3\pi}{17}\times\cos\frac{6\pi}{17}\times\cos\frac{5\pi}{17}\times\cos\frac{7\pi}{17} = \cfrac{1}{16}\times\sin\frac{14\pi}{17}  = \cfrac{1}{16}\times\sin\frac{3\pi}{17} [/tex]

On effectue la division par  [tex] \sin\frac{3\pi}{17} [/tex]  pour obtenir  1/16  .

Et le rapport final :   (13/8)  / (1/256)  = 32 x 13 = 416  .

Merci encore pour vos recherches .

Salut ;

@Zebulor : dans les années 50 j'apprenais à lire , écrire et compter .  C'est un truc que j'ai conçu en m'inspirant de formules "trigo"

Je donne

Si ça peut aider ; ce n'est pas le Cerro Torre non plus . (90° quand même la colline )

bonne recherche .

Salut à tous ;

salut ;

@Bernard-maths :  pas de soucis pour remplacer OJ par OL si tu le précises au début de ta démonstration .

Combien je paie ? pour ma clôture ? à 15 euros le mètre linéaire ?  La douloureuse ..

salut à tous ;

A mon avis x & y sont liés dans une relation ; et quand on donne une valeur , on a automatiquement l'autre .

Le point H est toujours sur la droite (AB) .  Si  le point C' est le projeté de (BC) sur la droite [tex]d_2[/tex] , alors :

[tex]y = C'H = HG = AC \times \cfrac{BC + x}{BC}[/tex]

Et  G est le point symétrique de C' par rapport au diamètre AB .

Je trace le cercle de centre H et de rayon y et (BG) est tangente en G à ce cercle .

                                                  A mon avis ; après , je n'ai peut-être pas bien compris .

salut ;

Pour  CG1.1  , sauf erreur ,  j'utilise les fonctions hyperboliques pour conclure à :
[tex]e^{x}\times{e^{y}} = 1[/tex]   =>  x = -y

avec : [tex]a = \sinh{x}[/tex]  et  [tex]b = \sinh{y}[/tex]

[tex](a + b)^{2021} = 0^{2021} = 0[/tex]

Salut ,

concernant la question 1) c'est bien entendu le triangle dans son entier puisque les projetés orthogonaux forment toujours 3 angles de 120°
Hier soir j'avais complètement zappé l'intérieur du triangle .

salut ,

salut,

pour la question 1)

Un exemple avec  la projection H sur l'axe des x ,  le foyer F (0,2)  et enfin k = 4
Dans ce cas j'ai deux morceaux de paraboles d'équation :

[tex]y = -\cfrac{x^2}{4}+3[/tex]
et
[tex]y = \cfrac{x^2}{12}-1[/tex]

et j'obtiens la forme d'un œil  il me semble .

la première courbe à pour équation générale :  ( y doit rester positif avec la partie de la courbe au dessus de l'axe des abscisses )

[tex]y = \cfrac{-x^2}{2.(k-a)} + \cfrac{k+a}{2}[/tex] 

Je regarde la seconde :  y reste négatif avec la partie de la courbe au dessous de l'axe des abscisses  .

[tex]y = \cfrac{x^2}{2.(k+a)} - \cfrac{k-a}{2}[/tex]

Avec k = 3 &  a = 1

salut

Sauf erreur j'en ai déduit :

Et les perce-neiges ? ils sont où ?

salut ;

50 est un nombre congru à 1 (mod 7) ; donc la solution est la même que pour des quantités comme : 8 , 15 , 22 ..... 50 , 57 .... 2017 ...7n+1

On part d'un cube 2³ ; on laisse définitivement 7 cubes de côté ; on divise à nouveau le huitième cube en 8 cubes ; à ce stade on a résolu
le problème à 15 cubes .
On continue : on laisse à nouveau de côté 7 cubes intermédiaires et on divise le 15 ième cube en 8 nouveau cube .... etc ...
Comme ça on continue et on s'arrête à la quantité demandée  7n + 1 ( septième étape avec 50 cubes demandés )
Dans ce cas , si on considère les huit petits cubes comme étant les cubes unité , sauf erreur , le cube contenant a donc pour arrête : 128 .
On peut continuer avec Q = 57 , puisqu'il suffit d'ajouter 7 cubes d'arrête 128 , le cube final double l'arrête de 128 -> 256 .

pour 57 on peut procéder autrement et par la même occasion pour 50 .
On part du cube unité c1  . Pour arriver au cube supérieur C2 = 2³  On ajoute une couche sur 3 faces .
cette première couche , c'est 6 X T1 + 1  = 7 où T1 est le premier nombre triangulaire .
si on ajoute une seconde couche , T2 = 3 car  3 est le second nombre triangulaire . Cette seconde couche vaut donc : 6 x 3 + 1 = 19
De la même façon la troisième couche vaudra : 6 x 6 + 1 = 37   .
On totalise bien :  1 + 7 + 19 + 37 = 64 = 4³   .  Soit 64 cubes unitaires . Maintenant rien ne nous empêche de fabriquer 1 , 2  ....7  ou 8 cubes 2³  .
Et à chaque fois on retranchera 7 cubes  = 8 - 1 
Donc avec 2 cubes 2³  totalisant un volume de  16 cubes unité ,  on retire bien 2 x 7 cubes , et le total des cubes est bien : 64 - 2 x 7 = 50
Dans ce cas on minimise bien la taille du cube contenant qui n'est plus que de 4³ = 64  . Avec cette taille on peut donc fabriquer un jeu de  15 , 22 , 29 , 36 , 43 , 50 , 57 ou 64 cubes .
Il y a déjà deux façons de procéder .

salut ,

Je conjecture qu'avec 49 cubes de diverses dimensions , en considérant que chaque cube a pour côté une valeur entière , il est impossible de construire un cube complet .
Si C est le plus gros , ou l'un des plus gros du jeu  , alors la quantité de cubes nécessaire est congrue à 1 (mod 7) .
Et c'est bien le cas pour 57 cubes ( 8 x 7 + 1 )  .
V = 7 x c³ + C  . ( ici C = 8 )
J'ai beau chercher avec  2C , 3C ...  je n'ai aucune solution avec 49 cubes . Je vais continuer à chercher avec un autre multiple de 7 ...

Ou alors , la solution est tellement évidente que ....