Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bien entendu que ça ne veut pas dire ça ! Mais ça veut dire qu'il y a un programme qui fait la liste de tous les théorèmes. Et donc, si un énoncé est un théorème ou la négation d'un théorème, on en aura la certitude au bout d'un temps fini. Par contre, s'il  est indécidable, cette procédure ne le dira jamais !

Essaie de ne pas interpréter de travers, s'il te plait.

Oui, l'existence d'indécidables dans PA ne se démontre pas dans PA.

Ça ne veut rien dire !

Et je te signale que si [tex]E[/tex] est un énoncé de l'arithmétique du premier ordre PA, alors on ne peut pas démontrer dans PA que [tex]E[/tex] est indécidable (puisqu'on ne peut pas démontrer dans PA la consistance de PA, deuxième théorème d'incomplétude de Gödel).

Si on essaie d'attribuer un sens à "en travaillant dans AP, il existe un art pour attribuer l'une des 3 valeurs.", on trouve donc quelque chose de factuellement faux. C'est quoi, ton "art" ?

Dattier, tu devrais ouvrir un livre de logique. Si tu lis et comprends ce que tu y trouveras, tu arrêteras peut-être d'écrire des absurdités.

Si tu ouvres un livre de logique, tu apprendras peut-être ce qu'est une structure [tex]\mathcal A[/tex] pour un langage du premier ordre [tex]L[/tex]. Tu y apprendras aussi que tout énoncé (ou formule close) [tex]A[/tex] de [tex]L[/tex] a une valeur de vérité [tex]\mathcal A(A)[/tex] dans [tex]\mathcal A[/tex], qui est soit [tex]\top[/tex] (vrai) soit [tex]\bot[/tex] (faux). Pas de troisième valeur de vérité ! La valeur de vérité dans [tex]\mathcal A[/tex] est définie par récurrence sur la construction de l'énoncé à partir des formules atomiques.

Tu apprendras aussi ce qu'est une théorie du premier ordre [tex] T[/tex] dans le langage [tex]L[/tex] : un ensemble d'énoncés de [tex]L[/tex], les axiomes de [tex] T[/tex]. Tu apprendras aussi ce qu'est un système de déduction pour la logique classique, et une démonstration dans [tex]T[/tex] d'un énoncé [tex]A[/tex]. Tu apprendras qu'un théorème de [tex]T[/tex] est un énoncé de [tex]L[/tex] qui a une démonstration dans  [tex]T[/tex].

Tu apprendras ce qu'est un modèle de [tex] T[/tex] : une structure [tex]\mathcal A[/tex] pour [tex]L[/tex] telle que [tex]\mathcal A(A)=\top[/tex] pour tout axiome [tex]A\in T[/tex]. Tu apprendras que pour tout théorème [tex]B[/tex] de [tex]T[/tex] et pour tout modèle  [tex]\mathcal A[/tex] de [tex]T[/tex], [tex]\mathcal A(B)=\top[/tex]. Tu apprendras aussi le théorème de complétude de Gödel, qui dit que réciproquement, si un énoncé [tex]B[/tex] de [tex]L[/tex] est tel que pour tout modèle [tex]\mathcal A[/tex] de [tex]T[/tex], [tex]\mathcal A(B)=\top[/tex], alors [tex]B[/tex] est un théorème de [tex]T[/tex].

Tu apprendras qu'une théorie est dite inconsistante quand elle démontre l'absurde (et donc démontre tous les énoncés) ; ceci équivaut à dire, d'après le théorème de complétude de Gödel, qu'elle n'a pas de modèle.

Tu apprendras qu'un énoncé [tex] I[/tex] de  [tex]L[/tex] est dit indécidable dans [tex]T[/tex] s'il n'y a dans cette théorie ni démonstration de [tex] I[/tex] ni démonstration de sa négation. D'après le théorème de complétude de Gödel, ceci équivaut à dire qu'il existe un modèle [tex]\mathcal A[/tex] de [tex]T[/tex] tel que [tex]\mathcal A(I)=\top[/tex] et un modèle [tex]\mathcal B[/tex] de [tex]T[/tex] tel que [tex]\mathcal B(I)=\bot[/tex].

Tu apprendras ainsi que "indécidable" n'est pas une valeur de vérité.

Tu apprendras aussi le premier théorème d'incomplétude de Gödel, qui dit qu'une théorie consistante, récursivement axiomatisable et contenant suffisamment d'arithmétique a des indécidables.

Tu comprendras alors (peut-être) que "A noter que depuis Gödel AP (arithmétique de Peano) est à 3 valeurs : vrai, faux et indéterminer." est une absurdité complète.