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#101 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Etranges Relations diophantiennes » 11-09-2016 20:59:19
Je comprends (je crois) ton objectif quand tu parles d'événements non cylindriques, je ne sais pas si je peux trouver un tel exemple.
Ok, mon exemple du lancers de dé jusqu'à obtenir 6 ne convient pas.
Cela dit, $\Omega = \mathbb N^*$ puisque le résultat d'une expérience est un nombre de lancers, et non la suite des faces obtenues lors de ces lancers.
#102 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Etranges Relations diophantiennes » 10-09-2016 17:18:49
Le meilleur cadre est à mon sens la densité qui a été donnée par Ostap, qui dans le cas trivial de la constante de Liouville donnera une densité de 1 pour le chiffre '0' et une densité nulle pour les autres chiffres
je suis d'accord.
Je n'ai pas encore trouvé d'exemple concret (qu'on puisse rattacher à une expérience de pensée) d'un espace $\Omega$ infini dénombrable avec une tribu et une probabilité
Considère le nombre de lancers d'un dé nécessaires pour obtenir la face "6". Alors $\Omega = \mathbb N^*$, et $P({k}) = (5/6)^{k-1}/6$ pour $k \in \mathbb N^*$. C'est la loi géométrique (que l'on rencontre aussi avec la désintégration des noyaux nucléaires)
En ce qui concerne la tribu, c'est la tribu engendrée par les singletons, c'est-à-dire l'ensemble de toutes les parties de $\mathbb N^*$.
Non ?
#103 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Etranges Relations diophantiennes » 10-09-2016 14:00:17
Je suppose donc qu'on a une mesure $P(\{e\}) \in [0,1]$ pour $e \in E$ telle que $\sum_{e \in E} P(\{e\}) = 1$.
(...)
Si on interprète $P(E_{0,N})$ comme la probabilité de trouver au moins un $0$ dans l'écriture décimale de la constante de Liouville au delà du $N$-ième rang, (...)
Mais, dès le début, si lorsque $e = (i, c)$ avec c = 0 ou 1, est-ce que $P(\{e\})$ est une "mesure"/"probabilité" liée à la nullité de c ? Non, je ne vois pas pourquoi. Donc je ne vois pas pourquoi on pourrait interpréter $P(E_{0,N})$ comme la probabilité de trouver au moins un $0$ ...
#104 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Etranges Relations diophantiennes » 09-09-2016 21:30:17
Yassine,
Franchement, je ne vois pas ce qu'il y a de perturbant dans la notion de probabilités sur des ensembles dénombrables, une fois qu'on a en tête qu'il faut qu'il y ait convergence d'une série (notion qui n'existe pas sur les ensembles finis, et mais qui peut apparaître dans le continue avec des intégrales généralisées).
Certes, pas de loi uniforme sur un ensemble dénombrable... c'est contre-intuitif, et c'est dommage pour ceux qui ne jurent que par cette loi uniforme, l'appelant LE hasard, ou même le hasard PUR.
D'un autre coté, quand on regarde les probas continues, chaque événement élémentaire est de probabilité nulle, et donc à chaque essai, on réalise un événement de probabilité nulle ! C'est aussi très contre-intuitif.
Je pense que le dénombrable possède des propriétés qui viennent du fini, et il a aussi des propriétés apparentées à celles du continu.
#105 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Etranges Relations diophantiennes » 09-09-2016 21:12:07
ça commence à faire pas mal de limitations :
Pas de possibilité d'équiprobabilité (du moins pour un nombre infinis d'éléments)
Ben c'est pas grave, si ? C'est juste contre-intuitif.
Pas de manière canonique de calculer une probabilité, il faut fixer artificiellement une bijection pour calculer concrètement la probabilité
Non, ce n'est pas une nécessité.
Ou bien tu penses à une densité (comme a présenté Ostap Bender) qui, elle, dépend d'un ordre sur les éléments, et qui n'est pas canonique (sauf si on est sur Z par exemple).
Pas de cohérence avec une notion de "negligeabilité" des ensembles finis comparés aux ensembles infinis.
Ben là, je pense que ce n'est pas un problème de "fini versus infini", mais de "discret versus continu" : dans le discret, les points sont "consistants" (de proba > 0) alors que dans le continu, les points sont négligeables (de proba = 0).
A moins que tu penses là aussi à une densité.
Est-ce que tu as des pointeurs vers des livres ou articles où ce sujet est traité ?
non pas spécialement, mais je peux me renseigner... la semaine prochaine.
#106 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Etranges Relations diophantiennes » 09-09-2016 17:25:28
Tout ceci pour dire que si on veut parler de notions complètement abstraites, comme les "probabilités" d'après K., il ne faut surtout pas prendre des exemples dans le monde réel.
Les "probabilités" d'après K. sont tout à fait concrètes. Ne confonds pas "les choses abstraites" et "les choses que tu ne comprends pas".
Par ailleurs, l'abstraction n'est pas à mettre en opposition avec le réel, sinon les maths auraient été abandonnées depuis longtemps... C'est justement l'abstraction qui permet de prendre de la hauteur et d'avancer là où un âne ne voit qu'une carotte en bout de museau.
#107 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Etranges Relations diophantiennes » 09-09-2016 17:18:40
Yassine,
prenons cet exemple : E = {pile , face} . Est-ce qu'on a besoin de numéroter les éléments de E pour leur affecter une probabilité ? Non, tu poses par exemple P({face}) = 2/3 et P({pile}) = 1/3 (...la pièce n'est pas équilibrée :) )
Je dis E est dénombrable donc il existe $\tau \ : \ N \to E$ et la fonction de masse $P \ :\ E \to [0,1]$ vérifie $\sum_{i \in N} P(\{\tau(i)\}) = 1$
Ceci ne dépend pas de la bijection $\tau$ puisqu'on somme des éléments positifs.
Ce que je dis, c'est que le choix de cette bijection (parmi une infinité) est arbitraire. Le fait qu'une patate d'une variété donnée ait telle probabilité de peser tel poids n'a rien à voir avec l'infinité de manières de numéroter $E$ (c'est intrinsèque à $E$), or, les probabilités $P(\{e\})$ et partant les probabilités de $P(X)$ pour $X \subset E$ dépendent massivement du choix de $\sigma$.
oui, les bijections $\sigma$ et $\tau$ sont arbitraires, mais la probabilité P({e}) n'en dépend pas : c'est la formule donnant P({e}) qui dépend de $\sigma$. Avec mon exemple E = {pile, face} :
-- si $\sigma(pile) = 1$ et $\sigma(face) = 2$ alors $P({e}) = \sigma(e)/3$ , disons formule n°1
-- si $\sigma(pile) = 2$ et $\sigma(face) = 1$ alors $P({e}) = (3-\sigma(e))/3$ , disons formule n°2
La formule dépend de $\sigma$ mais le résultat $P({e})$ n'en dépend pas : on a toujours P({face}) = 2/3 et P({pile}) = 1/3
#108 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Etranges Relations diophantiennes » 09-09-2016 15:16:35
Leon a écrit :ben, il suffit d'utiliser une bijection entre N vers l'ensemble dénombrable.
J'ai bien précisé qu'il n'y a pas d'ordre canonique, donc impossible de fixer une bijection "canonique".
Si tu sais "vraiment" que l'ensemble infini E est dénombrable, tu dois pouvoir l'énumérer.
il serait quand même curieux que mes probabilités dépendent de la manière dont j'ai numéroté les pomme de terre !
Pourquoi la numérotation aurait un impact sur les probas ? La fonction de masse est simplement une fonction P de l'ensemble E vers [0,1] telle que la somme $\sum_{e \in E} P(e) = 1$, ou bien, si on a numéroté les éléments de E, $\sum_{i \in N} P(e_i) = 1$
#109 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Etranges Relations diophantiennes » 09-09-2016 14:36:05
Pour le cas uniforme, tu ne m'as pas précisé comment définir une distribution uniforme sur un ensemble infini dénombrable. Admettons que j'ai une variable aléatoire $X$ et je veux qu'elle soit uniformément distribuée sur les nombres pairs, quel serait l'expression de $P(X=k)$ ?
je n'ai pas été clair dans mes propos : je suis absolument d'accord avec toi, il n'existe pas de loi uniforme sur l'ensemble des entiers. C'est bien pour cela que, dans le cas de tirage aléatoire sur l'ensemble des entiers, il faut absolument préciser la loi de probabilité. Aucune loi ne peut être sous-entendue, comme on le fait très souvent quand il s'agit de la loi uniforme.
Ok pour $\mathbb{N}^k$ qui marche parce que tu continues à utiliser la spécificité de $\mathbb{N}$ (identité entre l'élément '$n$' et sa position ordinale dans $\mathbb{N}$ : $n$-ème élément), quid de $\mathbb{Q}$ ou d'un ensemble infini dénombrable sans relation d'ordre canonique (ce que j'ai appelé ensemble de patates) ?
ben, il suffit d'utiliser une bijection entre $\mathbb{N}$ vers l'ensemble dénombrable.
#110 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Etranges Relations diophantiennes » 09-09-2016 12:57:15
D'ailleurs, avec ce type de définition pour $P(\{k\})$, on aurait des problèmes, il me semble, pour définir une distribution uniforme.
Absolument, c'est bien pour cela que, dans le cas de tirage aléatoire sur l'ensemble des entiers, il faut absolument préciser la loi de probabilité. Aucune loi ne peut être sous-entendue.
Autre limite de l'approche, elle me semble spécifique au cas de $\mathbb{N}$, je ne vois pas comment elle se généralise à d'autres ensembles infinis dénombrables ($\mathbb{N}\times \mathbb{N}$, $\mathbb{Q}$, ensemble infini de patates, ...)
non, elle n'est pas spécifique à $\mathbb{N}$ : par exemple,
$$\sum_{ (i,j) \in \mathbb{N}\times \mathbb{N}} 0.5^i 0.5^j = 4$$
ce qui permet de construire la loi $P(X=(i,j)) = 0.5^i 0.5^j / 4 $ pour $(i,j) \in \mathbb{N}^2$ ;
$$\sum_{k \in \mathbb{Z}} 1/(k^2+1) = \pi \,\coth \left( \pi \right)$$
ce qui permet de construire la loi $P(X=k) = \left( (k^2+1) \pi \, \coth( \pi) \right)^{-1}$ pour $k \in \mathbb{Z}$.
#111 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Etranges Relations diophantiennes » 08-09-2016 13:21:42
on aura toujours $P(X \in A) > 0$ pour tout ensemble fini non vide $A$, ce qui me gène car j'ai envie de considérer $A$ comme "de mesure nulle" parce que fini (dans la mesure de Lebesgue, les ensembles dénombrables sont de mesure nulle sur $\mathbb{R}$, et une droite est de mesure nulle dans le plan).
ok, mais c'est une différence entre une situation "continue" (l'ensemble des réels par exemple où un point est de mesure nulle) et une situation "discrète" (l'ensemble des entiers par exemple, où un point n'est pas de mesure nulle).
#112 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Etranges Relations diophantiennes » 08-09-2016 07:26:56
Dlzlogic, tu ne réponds pas du tout à la question de Yassine. Je me demande même si tu comprends ce que signifie << infinis dénombrables >>, vu que tu parlais d' aires (message #15) et que les aires sont des ensembles (de points) infinis non dénombrables...
Par contre, tu montres encore une fois que tu ne sais pas ce qu'est une loi de probabilité (dont la loi normale fait partie) car cette phrase n'a pas de sens :
Les lois de probabilités, loi des grands nombres et loi normale concernent le monde réel. Elles ne sont vraies, ou plutôt exactes, que lorsque le nombre d'expériences tend vers l'infini.
Les lois de probabilité ne peuvent pas être vraies ou fausses, ou exactes ou inexactes : les lois de probabilité ne sont pas des assertions ! Les lois de probabilités n'ont pas besoin d'un nombre d'expériences pour être définies... Renseigne-toi !
Remarque, tu n'es plus à une invention près, vu que tu considères qu'il existe des nombres transcendants vrais ou faux...
Yassine,
je ne comprends pas ta question : il existe des lois de probabilité sur N (par exemple P(X=k) = 1/k(k+1) pour k>0). La définition utilise les séries convergentes à termes positifs (voir les familles sommables). Où est le problème ? Que veux-tu dire ?
#113 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Etranges Relations diophantiennes » 07-09-2016 20:54:28
J'attends toujours ta réponse.
Ostap Bender
...donc la distribution normale des décimales de tout nombre transcendant est clairement un mirage.
#114 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Etranges Relations diophantiennes » 07-09-2016 18:09:31
Ton agressivité et ton esprit de contradiction est chronique.
Tes erreurs sont volontaires et chroniques. Tu fais des Hors Sujet à volonté dans les discussions des intervenants... Tu trouves cela correct de ta part ?? Ne te plaint pas des retours...
la répartition des chiffres qui le compose a une distribution normale. J'ai eu l'occasion de donner des vérifications,
Tu n'as donc absolument rien compris, comme d'habitude... ton exemple donnait une répartition uniforme des chiffres !
Allez, va relire la discussion, tu en as besoin : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 630#p58630
Tu affirmes que "la suite des décimales d'un nombre transcendant, a une distribution normale." est une affirmation fausse.
A toi de prouver ce que tu racontes ! ...à défaut de comprendre les preuves qu'on te donne, illustrées de graphiques, etc.
Prouve-le au au moins donne un contre-exemple.
ben voilà, relis cet exemple : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 630#p58630
On dirait que tu n'as rien retenu, étrange...
[HS] Tu m'as reproché d'évoquer des longueurs lorsque je parlais de mesures. [/HS]
où ça ??? donne précisément la référence que l'on voit mes propos dans ce sens ... ou alors on va conclure que tu inventes encore...
#115 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Etranges Relations diophantiennes » 07-09-2016 13:04:02
Bonjour
ce nombre est faux.
<<
- Et toi, qu'est-ce que tu fais ce soir ?
- oh ben, je vais m'autoriser à construire un nombre faux.
- hein, un nombre faux ?! .... MDR
>>
par exemple la suite des décimales d'un nombre transcendant, a une distribution normale.
Evidemment, cette assertion est fausse. Déjà dit, répété, expliqué, en long, en large, etc.
Cela te plait d'écrire volontairement des contre-sens et d'essayer de les faire avaler aux intervenants du forum ?
Quelle est donc ta motivation ???
Maleval,
dans votre message #2, les égalités avec pi, e, phi, sont fausses (simplement parce que pi, e, phi, ne sont pas rationnels).
pi, e, phi, sont les limites des fractions que vous indiquez.
#116 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Peut - on battre le hasard ? » 03-09-2016 08:17:23
La notion de "probabilité" est considérée par l'auteur comme une "proportion" d'évènements considérés comme équiprobables, ce qui n'est manifestement pas vrai.
C'est justement l'hypothèse qu'il fait : il suppose que les tirages sont équiprobables sur les triplets possibles. Qu'est-ce qui permet de dire "c'est manifestement pas vrai" ? Prend un des codes ici (message #129 http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 464#p58464 ou message #141 http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 501#p58501), ils donnent des tirages équiprobables.
Il se trouve qu'avec ton tirage (ou d'autres encore, voir http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 452#p58452 ou http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 378#p58378 par exemple), il n'y a pas équiprobabilité, je suis d'accord.
le hasard est unique.
La preuve que non, mathématiquement parlant, puisqu'on a la version équiprobable, on a la tienne (une fois corrigée du bug), et on peut en imaginer d'autres... Pourquoi une seule serait correcte (la tienne ? et pas celle des autres ?)
Maintenant, si tu veux faire de la (méta)physique, pas de souci, je comprends.
#117 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Peut - on battre le hasard ? » 02-09-2016 22:03:54
Merci pour le code.
Comme x1 est inférieur ou égal à 2014, la différence r=2016-x1 est supérieure ou égale à 2, donc max(r,2)=r.
Par ailleurs, on peut tirer x2 = r et par suite x3 = 0 , ce qui ne produit pas un triplet "légal".
EDIT := ce type de triplet incorrect se produit en moyenne tous les 300 tirages ! Ton code n'est pas encore correct... (3ème fois que je te signale un bug dans cette discussion)
Corriger la coquille ne change pas énormément les résultats de gain. Effectivement, avec cette manière de construire des triplets, j'ai testé la liste de Yassine : tous les triplets obtiennent un gain entre 81 % et 82 %.
Pour expliquer ce gain assez élevé, on peut analyser les tirages de la machine et voir que, par exemple, la machine a 1344 fois plus de chance de jouer le triplet [1,1,2014] que le triplet [672,672,672]... C'est clair qu'on n'aide pas la machine dans ces conditions.
#118 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Peut - on battre le hasard ? » 02-09-2016 18:56:55
Je ne pense pas qu'il y ait beaucoup de choix pour la machine.
Si si, il y a d'innombrable manières de faire choisir un triplet au hasard.
Elle tire un nombre x, puis un nombre y, puis elle déduit z. Comme la comparaison se fait sur les triplets, elle ordonne x, y et z.
x et y sont tirés comment ? entre 1 et 2014 tous les deux ?
Autre méthode, elle tire x, y et z de la même façon s'il ne sont pas dans l'ordre croissant on recommence. Ce qui revient au même.
oui, mais on fait comment pour assurer que la somme fait 2016 ?
Pas la peine de me donner plusieurs méthodes, j'aimerais savoir comment tu as programmé la manière de jouer pour la machine, pour analyser les triplets sortants.
Evidemment, si on décide que la machine doit tirer au hasard parmi les 338688 triplets possible, on "aide" la machine, donc on triche.
Bbien sûr que cela n'est pas tricher : c'est une méthode parmi plein d'autres.
Mais de toute façon, ta question fait tourner en rond.
mais non, ça ne tourne pas en rond : j'aimerais moi aussi avoir 80% de réussite ! Et pour cela, il faut que je sache comment la machine joue...
#119 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Peut - on battre le hasard ? » 02-09-2016 17:56:02
Il me semble que Camille a déjà expliqué cela et d'ailleurs les vérifications de Yoshi (les miennes ne comptent pas) montrent que la moyenne des gains de l'homme par rapport à la machine est de l'ordre de 80%. Mais, j'avoue, c'est la démonstration rigoureuse qui m'échappe.
ah. Donc c'est à Camille et Yoshi d'expliquer ce que tu évoques, ok. Je pensais que tu pourrais le faire toi-même.
Il est clair que ma question concernant la validité d'une simulation pour une démonstration est directement liée à ce défi.
Un calcul simple me permet d'établir une liste "pas trop bête" de 100 triplets intéressant, puis de faire plusieurs simulations, ce qui me donne un écart type et j'en déduis un seuil de confiance, constatant par ailleurs que les simulations donnent toujours un gain moyen de l'ordre de 80%. Il s'agit là d'une application directe de la théorie des probabilités.
Pour faire une simulation, il faut préciser comment la machine joue : peux-tu nous dire ce que tu as considéré pour le jeu de la machine ?
#120 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Peut - on battre le hasard ? » 02-09-2016 16:57:44
Bonjour
Or on s'intéresse au nombre de tirages équiprobables qui sont de l'ordre de 400000.
peux-tu nous expliquer cela, s'il te plait ?
#121 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Un tour de cartes de Claude Bachet de Mézirac » 02-09-2016 10:32:47
Salut,
ce tour de cartes mathématique n'est pas récent, on est bien d'accord ? :)
#122 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Peut - on battre le hasard ? » 02-09-2016 10:30:54
#123 Re : Café mathématique » A propos de démonstration. » 01-09-2016 22:33:49
#124 Re : Café mathématique » A propos de démonstration. » 01-09-2016 19:35:54
L'hypothèse fondamentale (qui paraît naturelle, mais qui n'en reste pas moins une hypothèse) dans le contexte de Bertrand : c'est le principe d'indifférence (lié aux notions d'équiprobabilité, d'indépendance, de symétrie, d'invariance, etc.).
C'est "marrant" que tu demandes car j'ai essayé de te l'expliquer et répéter (messages #11, #13, #24, #26, #46, #56), et pour cela je t'ai donné plusieurs références (messages #16, #31, #51) dans lesquelles tout cela est également abordé explicitement.
#125 Re : Café mathématique » A propos de démonstration. » 01-09-2016 19:18:30
Dans les mathématiques, quand on s'intéresse aux principes et aux axiomes, on fait des choix (qui peuvent être d'ordre personnel) et à partir de là, la théorie se déduit et c'est pas "comme on veut".
Il y a ceux qui font de la géométrie d'Euclide (avec ses axiomes), ceux qui font de la géométrie de Riemann et ceux qui font de la géométrie de Lobatchevski. Quand on les écoute, certains disent que la somme des angles d'un triangle est 180° , d'autres diront que c'est inférieur à 180°, et d'autres supérieur à 180°. Mais là, tu sais bien que ce n'est pas "comme on veut" (180°, moins, plus...), c'est conséquence des axiomes. Ce sont les axiomes que l'on choisi comme on veut, pas leurs conséquences. Et tout ça, c'est de maths, pas de problème (et, à mon avis, uniquement des maths tant qu'on n'a pas d'applications dans le monde réel).
A mes yeux, c'est comparable à l'histoire de Bertrand, mais avec le principe d'indifférence.
Autre exemple. J'ai évoqué l'axiome du choix : il y a ceux qui l'admettent et l'utilisent (99% des matheux), quitte à prouver des situations "paradoxales" comme Banach-Tarski ( https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Banach-Tarski ) et il y a ceux qui le refusent (1%). Idem pour le principe du tiers exclu (une proposition est "vraie" ou "fausse") utilisée par 99% des matheux, et il y 1% qui le refuse (une proposition peut être vraie, ou fausse, ou autre)...
Mais dans aucun cas, on dira que les axiomes sont prouvés avant de les admettre. Idem pour les principes. Ces axiomes et principes restent des hypothèses d'études matrhématiques (hypothèses réalistes dans certaines conditions concrètes, ou pas...)
Non ? (je pense que nous devons être globalement d'accord)