Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Cette analyse des vitesses n'est pas cohérente avec le fait que le cercle roule sur le carré.
Le cercle est un solide qui bouge par rapport au repère fixe solidaire du carré. La cinématique est exprimée par le champ des vitesses dans le corps en mouvement.
J'ai représenté quelques vecteurs vitesses de ce champ de vitesses dans le dessin ci-dessus, en rouge. la vitesse instantanée au point de contact est TOUJOURS NULLE. Celle au centre du cercle de module constant (disons $v$) pour le centre du cercle, et celle au point diamétralement opposé au point de contact toujours de module $2v$.
Il faut remarquer que le point de contact et son point diamétralement opposé ne sont pas fixes par rapport au cercle qui bouge. C'est pour cela que l'analyse des vitesses de Bernard-maths ne fait pas sens. Pour le centre du cercle, il est bien fixe par rapport au cercle, donc pas de problème.
L'analyse des vitesses de Bernard-maths pourrait faire sens si le point de contact était fixe par rapport au cercle, c.-à-d. dans le cas où le cercle glisse (au lieu de rouler) sur le carré. Sauf que ce que veut dire ce glissement en un coin du carré n'est pas très clair.
La façon dont j'ai formulé les choses (vitesse de rotation du cercle constante) lève toute ambiguïté, et bien sûr ce n'est pas un glissement.

J'ajoute que la vitesse de rotation (disons en tr/mn) du cercle est la même, que ce soit dans le repère solidaire du carré ou dans celui translaté au centre du cercle.

Raisonnement complètement faux. Le centre de rotation instantanée du cercle est toujours le point de contact, y compris quand le contact est à un coin du carré. Ce point de contact a une vitesse instantanée nulle.
Je ferai un dessin plus tard.

Comme je l'ai déjà écrit, ce qui ferait sens est de considérer que la vitesse de rotation autour de son centre du cercle qui roule sur le bord du carré est constante. L'arrondi très petit au coins du carré ne règle rien, il aboutit à la limite à une discontinuité du mouvement du cercle.

Je ne dirais pas ambiguïté, je dirais plutôt non-sens.

En mathématiques, il y a des fonctions convexes et des fonctions concaves, des ensembles convexes mais pas d'ensemble concave. On peut certes trouver des auteurs qui définissent "ensemble concave" comme "ensemble qui n'est pas convexe" comme ici : https://mathworld.wolfram.com/Concave.html. Mais franchement, c'est incohérent : il ne viendrait à personne l'idée de dire qu'une fonction concave est une fonction qui n'est pas convexe.

Franchement je ne vois pas l'avantage de la deuxième fonction par rapport au recollement de $-x^2$ pour $x\leq 0$ et $x^3$ pour $x\geq 0$, à part compliquer inutilement les équations. Enfin, tu fais comme tu veux ...

Bonjour,
Que penses tu de $$x\longmapsto \begin{cases} x &\text{si } x \leq 0\\ \sin(x) &\text{si } x\geq 0\end{cases}$$

Bonjour,
Une minoration du nombre de tests suffisants dans tous les cas est relativement facile à obtenir :
Pour chaque test, il y a $3!=6$ réponses possibles.
Pour le rangement des boules, il y a $15!$ possibilités.
Il faut donc au moins 16 tests parce que 16 est le plus petit entier $n$ tel que $6^n \geq 15!$.
Ce genre de raisonnement est classique dans les problèmes de pesées. La réponse de ChatGPT vient sans doute de là.

On peut paramétriser les solutions de $x^3+y^3+z^3+w^3=0$ par
$$\begin{aligned}
x& = -r^3 - 2*r^2*t + 3*r^2*s + 12*r*s*t - 3*r*s^2 - 4*r*t^2 + 6*s^2*t + 12*s*t^2 + 9*s^3\\
y& = r^3 + 2*r^2*t + 3*r^2*s + 12*r*s*t + 3*r*s^2 + 4*r*t^2 - 6*s^2*t + 12*s*t^2 + 9*s^3\\
z& = -8*t^3 - 8*r*t^2 - 9*s^3 - r^3 - 3*r^2*s - 3*r*s^2 - 4*r^2*t - 12*s^2*t\\
w& = 8*t^3 + 8*r*t^2 - 9*s^3 + r^3 - 3*r^2*s + 3*r*s^2 + 4*r^2*t + 12*s^2*t
\end{aligned}$$

Bonjour,
$$3^3+4^3+5^3=6^3$$