Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
La notion de de dérivabilité est une notion "ponctuelle" (comportement de la fonction au voisinage d'un point).
Quand on dit que $g$ est dérivable sur $I$, c'est un raccourci pour dire $\forall x \in I, g$ est dérivable en $x$.

Donc, si tu as les propriétés que tu énonces, tu pars d'un $x \in I$, tu as un intervalle $]x-\epsilon,x+\epsilon[ \subset I$ ($I$ est un ouvert) et pour $0<\epsilon'<\epsilon$, tu as le compact $[x-\epsilon',x+\epsilon']$ où tu peux appliquer tes propriétés et en conclure que $g$ est dérivable en $x$

Pour les dérivée d'ordre supérieur, il faut à nouveau examiner le comportement de $g'$ (qui dépendra de la dérivée partielle de $f$).

La définition de la continuité de $f$ en un point $t_0 \in I$ nécessite que $I$ contienne au moins un ouvert contenant $t_0$. Si $I=[0,0]=\{0\}$ (qui est un intervalle fermé), il est difficile de parler de la continuité de $f$ en $0$ !

Disons que si $I$ est un intervalle fermé de type $[a,b]$ avec $a<b$, il est tout à fait possible de mener le raisonnement en dehors des bornes et montrer la continuité et dérivabilité à droite (resp. à gauche) en $a$ (resp. $b$).

Si $I$ n'est pas un intervalle, l'hypothèse d'ouverture est indispensable. Voir par exemple quand il dit :
Soit $t \in I$ et $(s_n)$ une suite de $I$ convergeant vers $t$ telle que $s_n \neq t$ pour tout $n$

L'existence de cette suite est garantie car $I$ est un ouvert.

Bonjour,
Je pense comme Roro.
Un peu d'aide pour que tu explores à l'aide de calcul formel sous Python.
Tu peux exécuter ce code en ligne à l'adresse live.sympy.org

Bonjour,
Il serait plus facile aux autres de lire si c'est écrit en latex.

Est-ce que la définition de $v_n$ est la suivante : [tex]v_n = \left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}u_k \right) - l[/tex] ?
Si oui, le $l$ ne devrait plus apparaitre dans l'écart relatif $v_{n+1}-v_n$ et la vraie réponse est $v_{n+1}-v_n=u_n$

Pour s'en convaincre, observer que pour passer $v_n$ à $v_{n+1}$, il faut d'ajouter $u_n$ pour que la somme aille jusqu'à $n$ (le $-l$ étant toujours présent).

Bonsoir,
Il y a un fil sur un site de math qui traite de cette publication.
Ce qui est sûr, c'est que vulgariser ce type de sujets est très difficile.
Par exemple, le fait de dire que "il y en a "trop". C'est un ensemble continu, c'est-à-dire qu'il n'y a pas un nombre, puis le suivant: on peut toujours en trouver un qui se trouve compris entre les deux" pour caractériser $\mathbb{R}$ est un peu faux, dans $\mathbb{Q}$ non plus il n'y pas de notion de suivant, pire, entre deux réels distincts il y a toujours une infinité de rationnels !

Bonjour,
On veut bien t'aider mais il faudrait préciser ce qui te pose problème.
D'abord, est-ce la première partie ou la seconde ?
Et quel point est particulièrement obscure ?

Sur la partie 1, il y a eu une discussion sur le forum (voir ici) qui traitait exactement du même exercice.

Bonjour Idris,

Essaie de dire en mots ce qu'est $X_2$ :

Donc $X_2$ égale au nombre de changements survenus durant les $2$ premiers lancers
Comme par définition, le premier lancer ne donne pas lieu à un changement, ça donne
$X_2$ égale à 1 s'il y a un changement durant le $2-$ème lancers et $0$ sinon
...

Bonsoir,
Je vais un peu simplifier les notation pour que ce soit propre.
Je note $\Gamma$ l'ensemble des bijections de $A \to B$ et $\Gamma_{ab}$ l'ensemble des bijections de $A\setminus\{a\} \to B\setminus\{b\}$ pour $(a,b) \in A\times B$ quelconque.
Je vais montrer qu'on peut construite une injection de $\Gamma \to B \times \Gamma_{ab}$ et une injection de $B\times \Gamma_{ab}\to \Gamma$, ce qui montrera que les deux ensembles sont en bijection (Théorème de Cantor-Bernstein).

Pour une application $F: \Gamma \to B \times \Gamma_{ab}$, je vais noter $F(f)=(F_1(f), F_2(f))$ les composantes de l'image de $F(f)$ (on a donc $F_1(f) \in B$ et $F_2(f) \in \Gamma_{ab}$).

Soit $\gamma \in \Gamma$. Je définis alors $F_1$ et $F_2$ comme suit :
1) $F_1(\gamma) = \gamma(a)$
2) $F_2(\gamma): A\setminus\{a\} \to B\setminus\{b\}$ telle que $\forall x \in A\setminus\{a\}$, $F_2(\gamma)(x) =
  \begin{cases}
    \gamma(x)       & \quad \text{si } x \neq \gamma^{-1}(b)\\
    \gamma(a)  & \quad \text{si } x = \gamma^{-1}(b)
  \end{cases}$

Tu peux alors montrer que $F$ ainsi définie est injective.

L'injection dans l'autre sens est plus simple. Soit $(b',\sigma) \in B \times \Gamma_{ab}$, je définis alors $G(b',\sigma) \in \Gamma$ par :
1) $G(b',\sigma)(a) = b'$
2) $\forall x \neq a$, $G(b',\sigma)(x) = \begin{cases}
    \sigma(x)       & \quad \text{si } \sigma(x) \neq b'\\
    b  & \quad \text{si } \sigma(x) = b'
  \end{cases}$
Ici, c'est encore plus simple de montrer l'injectivité.

Une fois qu'on montre que $F$ et $G$ sont injectives, on peut conclure que $\Gamma \simeq B \times \Gamma_{ab}$

[EDIT]
Pour être complet, il faudrait également montrer que $F$ et $G$ sont bien définies et qu'en particulier, $F_2(\gamma)$ est bien un élément de $\Gamma_{ab}$, ce qui ne pose pas de difficulté particulière.

[EDIT2]
L'expression de $G$ était incorrecte. J'étais allé un peu vite en besogne !
by the way, tu peux également montrer que $G=F^{-1}$

Bonsoir,
Je ne pense pas que tu trouveras une égalité ensembliste entre EnsBij(A,B) et EnsBij(A\{a},B\{b}), les éléments n'ont rien à voir entre eux.
Par contre, tu peux trouver une relation qui lie leur cardinal.
L'idée générale est la suivante pour compter les bijections :
Pour construire une bijection de A vers B, je prends un élément a de A et j'essaie de lui trouver une image dans B : j'ai #B possibilités.
Une fois que je fais un choix, disons b, je suis face au même problème, sur des ensembles différents : A\{a} et B\{b}.

C'est ce qui donne la relation que tu cherches

Bonjour,
Deux éléments de réponse :
1) Parce que l'intégrale de Lebesgue d'une fonction est inchangée si on change sa valeur sur un ensemble de point de mesure nulle
2) Et parce qu'en effet, $L^1_{loc}$ est un ensemble quotient : deux fonctions que ne différent que sur un ensemble de mesure nulle appartiennent à la même classe d'équivalence. Si je prends la fonction $f \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R})$ définie par $\forall x \neq 0,\ f(x) = \log(|x|),\ f(0)=0$, et la fonction $g \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R})$ définie par $\forall x \neq 0,\ g(x) = \log(|x|),\ g(0)=1$, alors, $f \neq g$ et pour autant $\bar{f}=\bar{g}$ dans $L^1_{loc}(\mathbb{R})$ et on convient de noter cette classe d'équivalence $\log(|x|)$.

Quotienter un ensemble revient à changer de lunette pour regarder les éléments de cet ensemble. Considérer un élément de $L^1_{loc}$, c'est accepter de ne s'intéresser qu'au comportement sur des voisinage d'un point (plus exactement, sur des ensemble de mesure non nulle contenant ce point) et d'oublier la valeur en ce point.

Bonjour,
Je ne vois pas d'ou viennent les discontinuités dont tu parles.
La démarche est similaire à ce que tu dis, mais en plus simple : toute partie infinie de $\alpha\mathbb{Z}$ est non bornée (pour $\alpha \neq 0$, si elle était bornée, par un certain $M$, elle serait incluse dans $\{-M, -M+\alpha, -M+2\alpha,...,M\}$ qui est une partie finie. Pour $\alpha=0$, $\alpha\mathbb{Z}=\{0\}$).

1- Essaie de le faire dans l'autre sens : si $K \cap \alpha\mathbb{Z}$ est infini, alors $K$ n'est pas borné, et donc $K$ n'est pas compact

2- C'est toi qui soulevait l'exemple de discontinuités qui tendraient vers $0$. J'en ai implicitement déduit qu'il s'agissait d'un ensemble infini de discontinuités. Si maintenant ces discontinuités sont de la forme $\dfrac{1}{n}$ pour $n \in I$ avec $I$ fini, alors la formule des sauts s'applique (elle se fiche pas mal de savoir que les points de discontinuités soient de la forme $1/n$ ou $sin(e^n))$, il faut juste que leur nombre soit fini).