Forum de mathématiques - Bibm@th.net

nous on a choisie [tex]k_0[/tex] comme le plus petit entier tel que [tex]x\in B(u_{k_0},\frac1n)[/tex]
donc pour [tex]t\in E_k -\bigcup_{1}^{k-1} E_i[/tex] on a [tex]f_n =u_k[/tex] sur [tex]E_k -\bigcup_{1}^{k-1} E_i[/tex]
mais apres je sais pas comment trouver la convergence uniforme

ah oui, c'est vraie j'ai oubli(er)é que u_k est une suite de U.
donc il reste à prouver la convergence uniforme de f_n vers f

Ok , donc il reste l'étape 3 ,
"On pose [tex]A_i=f^{-1}(E_{k})[/tex]on définit [tex]f_n[/tex] sur[tex] A_k[/tex] comme la fonction constante égale à[tex] u_k[/tex] .
Alors [tex](f_n)[/tex] est une suite de fonctions mesurables qui converge uniformément vers [tex]f[/tex]" .

mais[tex] (u_k)[/tex] est une suite dense de [tex]f(T)[/tex] elle n'est pas forcement mesurable, non ?

Moi aussi je viens de relire et je voies que ce n'est pas juste ! désolée pour ce n'importe quoi ...
mais là je doits utiliser quoi pour prouver que[tex] x\notin E_{k_0-1}[/tex]
s'il vous plait

OK, on doit prendre x de [tex]f(T)[/tex] et montrer que [tex]x[/tex] est un des [tex]E_k[/tex] ?

[tex](u_n)[/tex] converge vers [tex]x[/tex] :[tex]\forall \varepsilon >0, \exists n_0 ,\forall n\geq n_0 d(u_n,x)<\varepsilon[/tex]

Re,

je suis désolée pour le retard.
Soit [tex]x\in f(T)[/tex] donc il existe [tex]t\in T[/tex] tel que [tex]x=f(t)[/tex], donc [tex]x=f(t)\in U[/tex]
il faut prouver que [tex]\exists k ; d(u_k,x)<\frac1 n[/tex]
posons [tex]D=\lbrace u_n\rbrace_n[/tex] ,[tex]D_n=\lbrace u_1,..u_n\rbrace[/tex], soit k tel que k est le plus petit entier qui vérifie [tex]d(x,D_n)=d(x,u_k)[/tex]
mais après ,il me manque un truc je ne sais pas comment utiliser la densité de [tex] \lbrace u_n \rbrace[/tex]

Si f(T) est séparable donc il contient une suite dense , mais comment continuer ?

pour 2 implique 1:
[tex]f[/tex] est mesurable car c'est la limite d'une suite de fonction mesurable .
[tex]f(T)[/tex] est séparable : on prouve qu'il contient une suite de fonction dénombrable et dense
puisque[tex] f(t)[/tex] est la limite dans[tex] U[/tex] de la suite [tex]f_n (t)[/tex] , l’adhérence de [tex]D=\bigcup f_n(T)[/tex] contient [tex]f(T)[/tex] : [tex]f(T) \subset D[/tex].
et D est dénombrable, [tex]D[/tex] est une partie séparable de[tex] U[/tex]. Il en résulte que [tex]f(T)[/tex] , sous-ensemble de [tex]D[/tex], contient
également une suite dense :[tex] f(T)[/tex] est séparable.
c'est juste ?
S'il vous plait ,
Merci.

Peut etre que j'ai mal traduit ,
voici le texte original:
If [tex](T,\mathcal{A})[/tex] is measurable space, and [tex]U[/tex] a metric space , we say that [tex]f:T\rightarrow U[/tex] is (strongly) measurable if one of the following equivalent properties is satisfied:

> 1. [tex]f[/tex] is [tex](\mathcal{A},\mathcal{B}(U))[/tex]-measurable and [tex]f(T)[/tex] is separable

> 2. [tex]f[/tex] is the pointwise limit of a sequence of measurable functions assuming a countable number of values.

>3. [tex]f[/tex] is the uniform limit of a sequence of measurable functions assuming a countable number of values .

oui c'est vrai merci beaucoup