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Les épouses, dans cette énigme, sont très subtiles ; il ne faut pas en douter.
On sait qu’il y a au moins 2 hommes infidèles. Appelons n le nombre de maris infidèles.
Dès l’instant où une femme trompée connaît au moins n-1 maris infidèles, elle sait que son mari la trompe et va l’inscrire le lendemain.

. On va procéder par élimination du nombre de maris trompés à partir de 2

Si n = 2, chacune des femmes trompées ne connaît qu'un mari trompé car elle ne sait pas que son mari l’est ; or elle sait qu’il y a au moins 2 maris infidèles ; elle en conclurait que son mari est infidèle  et l’aurait inscrit le premier jour suivant. Comme rien n’a été inscrit, il y a au moins 3 hommes infidèles et toutes les femmes trompées le savent.
Si n = 3, chacune des femmes trompées en connaît deux exactement mais comme elle sait qu’il y en a 3, elle en conclut que son mari est infidèle et l’aurait inscrit le second jour. Comme rien n’a été inscrit, il y a au moins 4 hommes infidèles et toutes les femmes trompées le savent.
Etc. pour n = 4,5,…12.
Si n =13, chacune des femmes trompées en connaît 12 exactement  et aurait inscrit son mari  le 12ième  jour. Comme rien n’a été inscrit, il y a au moins 14 maris infidèles et toutes les femmes trompées le savent.

Le 13ième jour, chacune des femmes trompées sait qu’il y a au moins 14 maris infidèles et en connaît 13  exactement puisqu’elle va inscrire son mari sur la liste (le 14ième  ne peut être que leur mari)  ce qui fait 14 avec leur propre mari.

Le nombre de maris infidèles est donc  n = 14

Remarques : on pourrait prendre dans les hypothèses au lieu du 13ième jour, le P ième  jour.
    Ce qui ferait n = P+1 maris infidèles.

On envisage (3!)*(3!) = 36 parties , 12  pour chacun des  trois nombres 1, 2, ou 3 que l’on peut jouer au premier coup.
Sur les 12 qui commencent par 1, 5 sont gagnantes, 3 perdantes et 4 nulles .
Sur les 12 qui commencent par 2, 3 sont gagnantes, 5 perdantes et 4 nulles.
Sur les 12 qui commencent par 3, 3 sont gagnantes, 5 perdantes et 4 nulles.

  Il faut donc commencer par 1 châtaigne.

Si l’on pense que l’adversaire joue au hasard ou, à l’évidence,  n’a pas de stratégie , il y a alors 3 cas :

---Soit il joue 1 et on doit jouer  ensuite 3 pour ne pas perdre
(132 contre 123 gagne et 132 contre 132 égalise)
---Soit il joue 2 et on doit jouer ensuite également 3 pour avoir une chance sur 2 de gagner(ou ½ de perdre) ; si vous jouez 2 , vous ne pouvez pas gagner.
(132 contre 231 gagne et 132 contre 213 perd)
---Soit  il joue 3 et il faut jouer 2 qui garantit le gain dans deux cas possibles.
( 123 contre 312 et 123 contre 321 gagnent)

Si l’on pense que l’adversaire a fait une bonne analyse du jeu, il va jouer  au premier coup une châtaigne . Dans ce cas, on ne peut pas gagner.

Remarque : Contre un adversaire qui joue au hasard, avec cette stratégie, on gagne dans 5 cas . Par contre jouer 132 quelle que soit la mise de l’adversaire ne fait  gagner que dans 3 cas.
Par ailleurs, après avoir joué, j’ai constaté que statistiquement, les joueurs misent en premier 3, le plus souvent, avant de s’apercevoir que 1 est meilleur.

On peut déterminer toutes les parties et le nombre de parties gagnantes, nulles ou perdantes suivant la stratégie des deux joueurs