Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,

Suite... et fin.

Le point clé est de montrer que $f$ est injective :

Roro.

Bonsoir,
C'est exact. Si ce que je propose fonctionne (je n'ai pas fait les calculs précisément...), elle ne permet d'obtenir que les solutions dérivables. Mais c'est déjà pas mal !!!
Roro.

Bonsoir,

Je pense que le résultat demandé est faux... j'ai l'impression de pouvoir construire des solutions non périodiques.
Mais peut être que je me trompe.
Si quelqu'un a une idée.

Roro.

Bonsoir,

Je viens de lire vos commentaires et je peux vous proposer une solution alternative.
Comme vous, je note $F(x)=3f(x)+2f(-x)$.
Cette fonction vérifie :
$$\left\{\begin{aligned} & F(x)=3f(x)+2f(-x) \\ & F(-x)=3f(-x)+2f(x) \end{aligned}\right.$$
On peut 'inverser' ce système pour trouver $f(x)$ en fonction de $F(x)$. Par exemple en calculant
$$3F(x) - 2 F(-x) = 5 f(x)$$
Si vous me donnez $F$, j'en déduis donc $f(x)$...

Je n'ai pas fait les calculs dans le cas proposé mais on devrait retrouver votre solution !

Roro.

Bonsoir convergence,

Je ne crois pas que tu aies vraiment compris ce que je voulais : si tu veux appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz, tu dois écrire ton équation sous la forme $y'(t) = f(t,y(t))$. Et pour l'instant je ne vois toujours pas comment tu fais !!!

Par exemple, l'équation $y'(t)=2y(t)+\sin(y(t)+1+t)$ est de cette forme avec $f:\mathbb R^2 \mapsto \mathbb R$ et $f(t,y) = 2y+\sin(y+1+t)$.
Lorsque tu as un système comme c'est ton cas, ta fonction $f$ sera définie sur $\mathbb R^{1+N}$ où $N$ est le nombre d'équations...

Roro.

Bonjour,

La démonstration de quoi ???
Je n'ai jamais évoqué de fonction $F$ qui ne dépendait pas de $X$...
Essaye d'écrire correctement ton équation sous la forme $y'(t) = f(t,y(t))$ en précisant qui est l'application $f$.

Roro.

Bonjour convergence,

Non, le théorème de Cauchy-Lipschitz qui affirme qu'il existe une unique solution à $y'=f(t,y)$, $y(t_0)=y_0$ n'est pas vrai si tu as seulement la continuité de $f$...
Mais ici tu as plus que la continuité !
Relis bien les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz et ne confonds pas la variable temps et la "variable" y dans les systèmes de la forme $y'=f(t,y)$.

Roro.

Bonsoir,

Est ce que tu as essayé en prenant $\phi(t) = t$ ?

Roro.

Bonsoir,

Parce que si tu demandes à 100000 personnes, c'est la réponse que tu auras le plus souvent (et de loin) !

Roro.

P.S. En général, les résultats mathématiques ne sont pas issus de sondages... mais dans ce cas, il ne s'agit pas d'un problème de maths (ni même de "logique").

Bonjour YousAk,

C'est effectivement "clair" ... si on a compris (c'est toujours le problème de ces terme "clair", "évident", "simple"...).
Ici, par définition $f_t$ est affine en la variable $t$, donc $\nabla f_t$ est aussi affine en $t$.
D'après les propriétés du déterminant, $\det \nabla f_t$ est donc un polynôme de degré au plus la dimension de la matrice $\nabla f_t$.

Est ce plus "clair" pour toi ?
Roro.

Bonsoir,

La construction de jpp (connue sous le nom de Méthode de Kochansky) fourni effectivement une relativement bonne approximation de $\pi$, mais pas aussi précise que l'on veut (évidemment).

Est ce que Dattier peut nous en dire plus sur la construction (sinon ça n'a aucun intérêt) ?
Parce que lorsqu'on dit "l'utilisation de la règle et du compas" c'est très précis mathématiquement : on ne peut pas faire n'importe quoi !
Et c'est justement dans ce cadre très précis qu'on démontre rigoureusement qu'il est impossible d'obtenir une longueur de $\pi$ en partant d'une longueur de $1$ (ce ne sont d'ailleurs pas des travaux récents...)

Roro.

Bonsoir lekoue,

A tout hasard : as-tu essayé par récurrence ?

Roro.