Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Je ne suis pas d'accord avec ta conclusion !
Pourquoi ne regardes-tu que 2 cas parmi 4 ?
Il y a 2 valeurs possibles pour 23a (qui sont 46 ou 69), ainsi que 2 valeurs de 5b (5 ou 110), modulo 115...
donc 4 solutions (modulo 115).

Roro.

Re,

Ça à l'air OK sauf que je ne comprend pas la fin de ton message :

De toutes façons, je viens de re-réfléchir au problème et l'histoire d'utiliser les restes Chinois ne permettra sans doute pas de conclure pour résoudre directement ce type d'équation.

En pratique, il ne faut pas qu'il y ait à la fois des termes au carré ($x^2$) et des termes "linéaires" ($x$).
Voici donc ce que je te propose, mais qui ré-utilise les mêmes arguments :

Etape 1 : se ramener à une équation de la forme $y^2=a$ : par équivalence (vérifier qu'il n'y a pas d'erreur de calcul)
$$x^2+3x+7 \equiv 0 [115]$$
$$x^2+118x+7 \equiv 0 [115]$$
$$(x+59)^2 \equiv 3474 [115]$$
$$(x+59)^2 \equiv 24 [115]$$

Etape 2 : résoudre $a^2 \equiv 24 [5]$. Tu devrais trouver $a \equiv 2 [5]$ ou $a \equiv 3 [5]$.

Etape 3 : résoudre $b^2 \equiv 24 [23]$. Tu devrais trouver $b \equiv 1 [23]$ ou $b \equiv 22 [23]$.

Etape 4 : On sait qu'il existe $u$ et $v$ tels que $23u+5v \equiv 1 [115]$ (tu peux explicitement calculer $u$ et $v$).
Pose $y = 23au+5bv$ et vérifie que $y^2\equiv 24 [115]$.

Etape 5 : conclusion...

Roro.

Bonjour,

Tu auras sans doute remarquer que $115=5\times 23$ (décomposition en nombre premier).
Il faut donc dans un premier temps résoudre $x^2+3x+7\equiv 0 [5]$ puis $x^2+3x+7\equiv 0 [23]$, tu utiliseras le théorème des restes chinois pour combiner ces solutions...

Pour résoudre, par exemple $x^2+3x+7\equiv 0 [5]$, tu peux écrire de façon équivalente
$$x^2-2x+7\equiv 0 [5]$$
$$(x^2-1)^2+6\equiv 0 [5]$$
$$(x^2-1)^2\equiv -1 [5]$$
Je te laisse nous dire ce que tu en penses et si tu arrives à terminer !

Roro.

P.S. ça fait bien longtemps que j'ai fait ce genre de chose alors il y en peut être (sans doute) d'autres méthodes...

Re-bonsoir,

Une fois que tu as diagonalisé ta matrice, tu te rends donc compte que tout se passe comme si tu étais dans le cas de l'équation [tex]x^2=a[/tex] avec [tex]a\in \mathbb R[/tex] (et ceci pour chaque élément de ta matrice diagonale).

Selon le signe de $a$ tu auras des racines éventuellement complexes...
Roro.

Bonsoir,

Ce n'est toujours pas très clair pour moi.
En gros, tu es convaincu que de manière analytique, on va pouvoir le faire (il faut se retrousser les manches mais on pourrait trouver une formule, sans doute moche).
Par contre, il faut que tu précises ton histoire de règle et de compas : déjà, tracer une ellipse à la règle et au compas me parait un brin compliqué...

Roro.

Bonsoir,

Je ne sais pas s'il faut assurer ses "arrières" car je n'ai pas d'exemple de résultat récent pour lequel la paternité reconnue ne soit pas la bonne.

J'ai surtout plein d'exemples de personnes qui annoncent avoir prouvé le théorème du siècle mais qui n'en disent jamais plus...

Amusez-vous bien avec vos mystères (vous pourrez éventuellement écrire dans la marge du forum qu'il n'y a pas assez de place pour donner la preuve...).

Roro.

Bonsoir wade,

Tu peux peut être utiliser la relation suivante :
[tex]1+y+y^2+...+y^6 = \frac{1-y^7}{1-y}[/tex]
pour transformer ta question, puis faire une étude de fonction "simple" ?

Roro.

Bonsoir,

Tu peux utiliser que $x\mapsto |x|^2$ est convexe, ensuite que la composée $f\circ g$ avec $g$ et $f$ convexe, et $f$ croissante est aussi convexe pour en déduire que $x\mapsto \sqrt{1+|x|^2}$.
Enfin, ajouter une fonction linéaire ne change pas la convexité... (pourquoi imposer $|a|<1$ ?)

Roro.

Bonsoir,

La définition d'un espace vectoriel est nécessairement associée à un corps. En général, lorsqu'on débute sur le sujet, le corps considéré est celui des réels : $K=\mathbb R$. On parle alors de $\mathbb R$-espace vectoriel.

Pour vérifier qu'un sous-ensemble $A$ d'un $\mathbb R$-espace vectoriel $E$ est un sous-espace vectoriel il faut montrer que

1) $A$ est non vide

2) $A$ est stable par addition

3) $A$ est stable par multiplication par des éléments de $K$ (donc ici de $\mathbb R$).

Roro.

Bonsoir,

J'espère surtout que tu as compris comment faire et que tu pourrais le refaire si tu en as encore besoin !

Roro.

Bonsoir,

Je suis d'accord avec toi. Conclusion : il y a 3 solutions !

Roro.

Bonsoir Beaugeard,

Selon nos notations, tu as donc
$$e_1 = \vec{BC} = (26,15,37), \qquad e_2 = \vec{BD} = (26,35,37), \qquad e_3 = \vec{BA} = (0,0,-20).$$

Pour calculer les vecteurs $f_2$ et $f_3$, tu utilises les formules suivantes qui définissent le produit scalaire et la norme :
$$ \big( \, (x,y,z)\, , \, (a,b,c) \, \big) = ax+by+cz \quad \text{et} \quad \big|\, (x,y,z)\, \big| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}.$$

Roro.