Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Pour espérer de l'aide, il faut reformuler ta question.
Que sont t, u, et ... x ?

Roro.

Exact... il faut bien des valeurs absolues !!!
Je corrige mon message en rouge.

Roro.

Bonsoir,

Prenons une fonction $\varphi$ telle que $\varphi(x)=1$ pour tout $x \in [-1,1]$.

Pour tout $n\in \mathbb Z \setminus \{0\}$, es-tu d'accord que $1/n \in [-1,1]$ ?

Dans ce cas, tu pourras me confirmer que, pour tout $n\in \mathbb Z \setminus \{0\}$ on a $\varphi(1/n)=1$.

La somme en question devient donc
$$\sum_{n\in \mathbb Z \setminus \{0\}} a_n\varphi(1/n) = \sum_{n\in \mathbb Z \setminus \{0\}} a_n$$
qui n'est pas forcément finie !

Roro.

Oui mais dans ce dernier cas, tu aurais $\sum_{n\in \mathbb Z} a_n \varphi (n)$ qui serait une somme finie puisque $\varphi(n)$ est nul pour $|n|$ assez grand.

Roro.

Si tu comprends ce que tu écris, c'est évident :
D'après ce que je lis, tu es en dimension $1$ puisque tu écris $\varphi \in \mathcal D_K(\mathbb R)$.
Que signifie donc pour toi $\sum_{|\alpha|<m}$ ?
Si tu sais répondre alors tu auras ton résultat...

Roro.

Re-bonsoir,

Si $P_{K,m}$ est défini comme tu le dis, je ne vois pas trop où tu vois une difficulté. La somme est une somme finie, tu peux donc majorer chacun de ces termes à l'aide de $P_{K,m}$...

Roro.

Bonsoir,

En effet, si l'énoncé change...

Dans le cas où tu t'intéresses à $\sum_{n\in \mathbb Z} a_n \varphi(1/n)$, le fait que $\varphi$ soit à support borné ne nous aidera pas à dire que la série converge :
Imagine une fonction $\varphi$, à support borné et valant $1$ sur $[-1;1]$. Tu auras alors $\sum_{n\in \mathbb Z} a_n \varphi(1/n) = \sum_{n\in \mathbb Z} a_n$. Il te faut bien une hypothèse pour dire que cette série converge !

Roro.

Bonsoir,

Le fait qu'on écrive $\sum_{n\in \mathbb Z}$ ou $\sum_{n=-\infty}^{+\infty}$ est simplement une question de notation. Il s'agit de la même chose ici.

Pour montrer que $T$ est une distribution tu dois

1) expliquer que la quantité $\langle T,\varphi \rangle$ est bien définie dès que $\varphi$ est dans $\mathcal D(\mathbb R)$ - c'est la première question dont tu parles (indication : ce qui n'est pas évident c'est que les séries en question soient convergentes, l'astuce ici c'est que $\varphi \in \mathcal D(\mathbb R)$...)

2) montrer que l'application ainsi définie $\varphi \mapsto \langle T,\varphi \rangle$ est linéaire continue (ici il faut juste reprendre la définition d'une distribution et voir que ça marche, elle doit être d'ordre 0).

Roro.

Bonsoir,

Tu échanges la deuxième ligne avec la dernière (car la deuxième est nulle - donc ton "pivot" est nul car j'imagine que tu es en train d'utiliser la méthode du pivot de Gauss), et tu refais la même chose qu'à la première étape (en transformant L3, L4 et L5 à l'aide de L2) pour obtenir une matrice de la forme :
$$\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3 & 1 \\
0 & -1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & a & b \\
0 & 0 & c & d \\
0 & 0 & e & f \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$$
Roro.

Bonsoir,

Qu'est ce que tu as eu comme pré-requis avant de faire ces exercices ?
Effectivement la question n'est pas exactement la même, mais c'est à peu près élémentaire de passer de l'un à l'autre dès que l'on a un peu travaillé avec les equations différentielles !
La linéarité n'était pas utile puisque le seul argument (qui est effectivement un "gros" outil) est le théorème de Cauchy-Lipschitz. Il est vrai dans le cas non linéaire... mais il faut des hypothèses de continuité sur $a$ et $b$ pour l'utiliser.

Roro.

Bonsoir,

Tu dois effectivement pouvoir décomposer les solutions de l'équation des ondes en utilisant cette base.

Pour cela il faut que tu décomposes ta solution en séparant les variables, ce qui donnera un truc qui doit ressembler à :
$$u(r,\theta, \phi ) = \sum_{k\in \mathbb N} \sum_{l\in \mathbb Z} \sum_{m\in \mathbb Z} a_{klm} r^k Y_\ell^m(\theta,\varphi)$$
où les fonctions $Y_\ell^m$ sont les harmoniques sphériques.

Je n'ai pas de référence en tête à ce sujet.

Roro.

Bonsoir,

Je crois qu'on t'a déjà répondu à cette question il y a quelques jours !!!
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=11205

On ne va pas recommencer... car c'est exactement le même raisonnement.

En particulier, si $y_0=0$ alors la seule solution est $y=0$ (à condition que les fonctions $a$ et $b$ soient continues).

Roro.