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Oui, je viens de rectifier le # 41

Bonsoir.
M'ouais, enfin l'astuce,ici, c'est d'avoir un rectangle prouver que les 4 angles sont droits donc que l'angle  est droit

Bonsoir, oui, quand on me demande de faire encadrement et d'appliquer les théorèmes sur les variations de fonctions, et bien je fais un dessin.
    Si je dois trouver les images , je commence par tracer une 1ère droite parallèle à l'axe des ordonnées à partir de l'abscisse : ce qui me permet d'avoir "une première lecture" sur la courbe ( ou sur la droite )  .
    ET c'est la parallèle à l'axe des abscisses me donne l'idée de l'endroit où je vais "atterrir" sur l'axe des ordonnées ( je ne sais pas si je peux m'exprimer comme ça…).

.         Pour justifier les réponses, je ne sais pas trop comment vous voulez que je travaille, aussi, pour la fonction carrée, j'ai mieux compris en faisant un dessin. J'ai essayé de faire une photo mais l'image prise est inversée et pas très claire alors j'ai saisi x^2 dans la barre de commande pour avoir la courbe de la fonction carrée.

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1) À quel intervalle appartient $x^2$ si

  a )  $2≤ x ≤ 7$

$2 < x < 7 <=> 4 < x^2 < 49$

comme l'image de 7 n'apparaît pas j'ai tout d'abord fait un dessin au papier pour trouver une échelle plus petite pour l'axe des ordonnées afin de pouvoir représenter l'image de 7 sur le dessin.
ainsi , j'ai pris  1 carreau pour 5 unités

Pour avoir l'image de 2 sur l'axe des ordonnées :
   - à partir du point $(2 ; 0)$, j'ai tracé une parallèle à l'axe des ordonnée pour obtenir le point d'intersection entre cette droite et la courbe
et à partir de ce point d'intersection, j'ai tracé une parallèle à l'axe des abscisses qui me donne l'image de 2 sur l'axe des ordonnées

  J'ai fait de même pour lire l'image de 7 sur l'axe des ordonnées, c'est à dire en traçant une 1ere droite parallèle à l'axe des ordonnées à partir
du point d'abscisse (7 ; 0).

Ainsi, sur le dessin, on voit bien que les images sont placées dans le même ordre que les antécédents.

D'où : $2 < x < 7 <=> f(2) < x^2 < f(7)$

b) $-10 ≤ x ≤ - 5$

Pour avoir l'image de 10 sur l'axe des ordonnées :

- j'ai tout d'abord changé l'échelle pour l'axe des ordonnées
et j'ai pris 1 carreau pour 10 unités, (comme c'est la fonction carrée, on obtient tout de suite des valeurs qui sont très grandes…-)

- à partir du point $(-5 ; 0 ) $, en traçant une parallèle à l'axe des ordonnée,   j'obtiens le point image sur la parabole
et en traçant la parallèle à l'axe des abscisse passant par ce point : je peux lire l'image de - 5 sur l'axe des ordonnées.

Et je fais de même pour avoir l'image de -10 sur l'axe des ordonnées :
- à partir du point (-10 ; 0) , j'ai  tracé une parallèle   à l'axe des ordonnée pour avoir le point sur la courbe
puis à partir de ce point, j'ai  tracé une parallèle à l'axe des abscisses et je lis  l'image de -10 sur l'axe des ordonnées

Donc, sur le dessin, on voit bien que les images sont rangées dans l'ordre inverse des antécédents.

D'où : $-10 < x < - 5 <=> f(-10) > x^2 > f(-5) $

Bonsoir Yoshi,

Merci beaucoup pour la démonstration.
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En 4e, pour démontrer qu'un triangle rectangle est inscrit dans un cercle, nous avons fait cet exercice avec Geogébra ( je viens de le retrouver). Peut-Être que vous faites le même avec vos élèves, on  a placé 3 points sur le cercle, puis avec la souris on déplace le point B jusqu'à ce que l'on ai un angle droit pour observer que le cote qui a la plus grande longueur représente le diamètre du cercle.
Et ensuite on le refait avec l'autre point sur le cercle
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Pour la question 2 , je pense avoir trouvé…
Je propose :
Par hypothèse, la droite (DE)  est perpendiculaire à (AH)
donc l'angle AED est un angle droit.
Considérons le triangle AED.
On sait que son angle est droit, donc le triangle AED est un Triangle rectangle en E.
Ainsi, d'après le théorème sur le triangle et cercle : Tout triangle rectangle est inscriptible dans un cercle
Donc : E est un point du cercle.

pour la question 2 , là, pour cette question, après avoir tracé la perpendiculaire à (AH) , sur le dessin on voit bien que AEB est un triangle rectangle en A . Alors, j'ai pensé démontrer que AEB est un triangle rectangle en E mais cela ne prouve pas du tout que E est bien placé sur le cercle, ça fait une semaine que j'essaie de trouver un truc pour montrer que E est sur le cercle mais je ne trouve toujours pas.

Bonjour Yoshi,

1. Montrer que les triangles ABD et ACD sont des Triangles rectangles.

Considérons  le triangle ABD.
     On sait que [AD] est le coté qui a la plus grande longueur = hypoténuse.
De plus,
     ABC est un triangle inscrit dans le cercle donc le point B est un point sur ce cercle.
Ainsi,
      le triangle ABD qui a pour hypoténuse [AD] égal au diamètre de ce cercle est un triangle rectangle

Voilà…
J'ai suivi vos conseils.
La hauteur (BH) n'est pas trop proche du centre O
et le centre 0 est assez éloigné du point d'intersection des hauteurs…

Bonjour Yoshi, comment allez-vous ? je n'ai pas répondu tout de suite aux questions de l'exercice que vous m'avez proposé parce que j'ai mon ordinateur qui bloque un peu et ce sont les vacances et je voulais en profiter un peux…
Aussi j'ai recopié l'énoncé pour mieux le comprendre :

Un triangle ABC quelconque est  inscrit dans un cercle de centre O. Soient H le point d'intersection des hauteurs de ce triangle
et le point D diamétralement opposé à A sur le cercle et le point M est le milieu de [BC]

Pour la construction de la figure :
        a) Le point D est diamétralement opposé au point A sur le cercle et M est le milieu de [BC]
        avec l'outil Symétrie centrale (dessin de trois points alignés) j'ai placé D tel que O soit le milieu de [AD].
         b) Pour le 2e triangle : avec l'outil Polygone, en partant de A, puis en passant par le point d'intersection de [AD] avec le cercle puis par le point C du 1er triangle ABC et je referme  en terminant sur le le point A par un clic
      Voilà, j'ai un 2e triangle ABD.
         J'ai fait pareil pour le  3e triangle.

1. Montrer que les triangles ADC et ADB sont des triangles rectangles.
Tout triangle rectangle inscrit dans un cercle a pour coté l'hypoténuse et le segment [AD] est le diamètre du cercle

2. Par le point D, on trace la perpendiculaire à (AH) : on obtient le point E. Montrer que le point E est sur le cercle
Par hypothèse, la droite passant par le point D est perpendiculaire à (AH)
Par hypothèse, le point E est le point d'intersection de (AH) et de la perpendiculaire passant par D
Donc (DE) est perpendiculaire à (AH)
Il me manque un truc (que je ne trouve pas) pour prouver que E est bien sur le cercle.

3. Démontrer que BDCH est un parallélogramme
Sur le dessin (enfin j'ai refait un autre dessin avec le point D un peu au dessus ),  et je vois bien que le quadrilatère BDCH est un parallélogramme mais je n'arrive pas à prouver (BD) // (CH) et BD = CD

4. En déduire que M est le milieu de [HD]

Bonjour Yoshi, oui … merci pour toutes ces précisions mais c'est surtout, (enfin)
si dans l'énoncé, on dit :
La parallèle à (CI) passant par M coupe [AB] en P
Moi (dans ma tête ) ça signifie :

1. la parallèle passant par M donc "cette fameuse parallèle dont on ne connait pas le non " a au moins un point P
2. la parallèle coupe [AB] en P donc il y a un 2e point sur cette parallèle
D'où , dans ma démonstration, je fais faire une phrase :
Les hypothèses nous apprennent que la parallèle à (CI) passant par M coupe [AB] en P
donc le point P est placé sur cette droite
et je peux lui donner un nom :Ici, c'est (MP).
Voilà…

Alors, est-ce que cette phrase dans la démonstration est inutile ?
(ou carrément inutile)
je pense que oui
parce que dans le corrigé, il n'y a pas cette phrase.

Bon, maintenant je vais me concentrer sur l'exercice que vous m'avez proposé, je vais faire plusieurs brouillons avant de répondre pour pas dire trop de bêtises dans les réponses…
les démonstrations de 4e que je rendais, c'est avec beaucoup de phrases comme ça : le point fait bien partie de la droite parce que … (etc) c'est à dire des phrases et des phrases qui répètent x fois le même thème. la prof avait écrit (une fois en rouge) Et patati , et patata……

Bonsoir Yoshi, merci pour l'exercice, il s'agit de celui qui sert d'évaluation ou bien c'est celui qui le plus difficile ?

Les 2 théorèmes sur le triangle rectangle, ils sont vus aussi en classe de 4e ?

Bonjour Yoshi,  j'ai relu plusieurs fois le corrigé et à chaque fois je me pose la question : mais pourquoi parle t-on de I milieu de [AM] dans les hypothèses ??) . Et il faut bien préciser : I est le milieu de [AM] dans les hypothèses,
Là, pour moi c'est ok, j'ai bien compris l'importance de mettre I milieu de [AM].
Merci beaucoup pour les 2 exercices. ( j'ai bien aimé…)