Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir

Bonjour
J’ai écrit : l'égalité $dim_\mathbb{R}(E) =dim_\mathbb{C}(E_C)$ (ce n’est pas le même ev des deux côtés )

Bonjour,
Je n'ai jamais travaillé sur la convergence des suites (ou séries) à double indice.
Comment définit-on la convergence d'une suite $u_{n,m}$ ?
En particulier, est-ce que la définition est indépendante de la "manière" dont $(n,m)$ va tendre vers l'infini ?
Plus formellement, si on définit une telle limite, est-ce que pour toutes fonctions strictement croissantes $\varphi$ et $\psi$, la suite
$u_{\varphi(k), \psi(k)}$ tend vers la même limite au sens usuel (je pense que non) ?

Un article (en anglais) sur Wikipedia qui traite du sujet de la détermination des jeux.
Il n'y est cependant pas question de temps de résolution mais d'existence d'une stratégie gagnante.

En effet, le but de l'exercice est de se mettre dans la peau de HAL et de déterminer le cap optimal.

Je redonne en synthèse ce que j'ai fait :
Etape 0 : Monter qu'étant donnée une trajectoire quelconque qui atteint le minimum (dans mon dessein, j'ai représenté par une ligne brisée la trajectoire pour indiquer qu'elle est quelconque), alors le point qui réalise ce minimum (appelé $O_1$ dans l'exercice) est aligné avec $P_1$ et $O_2$. C'est cette étape qu'evaristos a qualifié de "pas claire" et je ne vois pas où ce n'est pas clair !

Etape 1 : Le voilier a donc intérêt à naviguer avec un cap constant. Il a donc un seul degré de liberté, l'angle $\theta$ qu'il fait avec $P_1P_2$ (je peux aussi montrer, même si c'est intuitif, qu'il doit naviguer à sa vitesse maximale que je suppose inférieure strictement à celle du Liner).

Etape 2 : Pour un choix de cap donné, le minimum est obligatoirement atteint quand les points sont alignés (Cf Etape 0). Ceci détermine le point $O_2$ où se trouvera le Liner (à l'intersection des deux trajectoires). La connaissance de $O_2$ détermine le temps de navigation du Liner ($\tau = \dfrac{P_2O_2}{v_2}$), ce qui détermine la distance parcourue par le voilier $P_1O_1 = v_1\tau = v_1\dfrac{P_2O_2}{v_2}$), et détermine donc entièrement $O_1$.
Il est devient alors possible, via Pythagore, de calculer la distance $O_2O_1$.

Etape 3: Donc, pour un choix du cap $\theta$, on a une valeur de la distance $O_2O_1$ (le temps mis par les deux bateaux pour atteindre les points $O_1$ et $O_2$ n'intervient pas, seuls comptent le ratio des vitesses, et la distance initiale des bateaux). On est donc face à un bête calcul de minimum de la fonction $d(voilier,Liner)=f(\theta)$.

A noter que dans mon post initial, j'avais implicitement fait le changement de variable $\tan(\theta)=\dfrac{P_2O_2}{d}=\dfrac{v_2\tau}{d}$ et je dérivais par rapport à cette nouvelle variable $\tau$. Ce qui introduisait une confusion entre le $\tau^*$, solution de la contrainte de minimisation (ce que evaristos appelait : $O_2$ est fixe) et le $\tau$, variable muette.

Bonsoir,
Qu'est ce qui n'est pas clair ?
Je suppose qu'il y a une trajectoire du voilier qui réalise le minimum, et je montre que le point où ce minimum est atteint est forcément aligné avec P1 et O2.
Je pense que je ne peux pas être plus précis.
Je veux bien un commentaire des autres membres du forum.

Bonjour matrira,

Ce que tu indiques n'est pas un exercice mais une expression qui toute seule ne veut rien dire.

Il faut que tu précises un peu plus ce qu'on te demande, ce que tu as fais et où tu bloques !

En effet, je vois bien qu'on ne se comprend pas.
Pour moi, la phrase "$O_2$ est fixe" prête à confusion.
$O_2$ n'est pas une constante (au sens une donnée du problème). C'est la solution (indirecte) d'un problème de minimisation.

Je vais d'abord commencer par formaliser ma "démonstration" du fait que les points $P_1$, $O_1$ et $O_2$ sont alignés.

Je note $t$ le temps et $O_2(t)$ la position du bateau à un instant $t$, déterminée par sa direction (perpendiculaire à $P_1P_2$) et telle que $P_2O_2(t)=v_2t$.
Soit $M(t)$ une trajectoire du voilier, solution du problème. Il existe donc $\tau$ tel que $M(\tau)O_2(\tau)$ soit minimale (Je note $X :=M(\tau)$ dans la suite). Soit $O_1$ le point sur la droite $P_1O_2(\tau)$ tel que $P_1O_1=P_1X$. Alors, par inégalité triangulaire (ce que j'ai appelé "la distance la plus courte est la ligne droite") $P_1O_2(\tau) \le P_1X + XO_2(\tau)$. Comme les points  $P_1$, $O_1$ et $O_2(\tau)$ sont aligné, on a $P_1O_2(\tau) = P_1O_1 + O_1O_2(\tau)$, en combinant les deux équations, on obtient $O_1O_2(\tau) \le XO_2(\tau)$, or, comme la distance $XO_2(\tau)$ est minimale, on a alors $O_1O_2(\tau) = XO_2(\tau)$. L'inégalité triangulaire est alors une égalité, ce qui n'est possible que si les points sont alignés. Donc $X$ est bien sur la droite $P_1O_2(\tau)$.

De plus, si le voilier va à une vitesse inférieure à sa vitesse maximale, un autre voilier qui aurait le même cap et à vitesse maximale serait plus proche du bateau. Donc, le voilier a dû naviguer à sa vitesse maximale.

Ce que j'ai montré, c'est que si une trajectoire réalise le minimum, alors le minimum est atteint en un point aligné avec $P_1$ et $O_2$, mais ma construction dépend de la trajectoire en question. Il faudrait donc montrer l'existence d'au moins une trajectoire qui réalise le minimum.

Il y a également un autre cas que je ne traite pas, celui de $v_1 > v_2$, dans ce cas, le voilier peut rattraper le bateau.

Est-ce qu'on est déjà d'accord avec cette première partie ?

Bonjour,
Du coup, comme il n'y a pas tant de participants que ça, je vais enlever le anti-spoiler de mon message précédent.

Tout d'abord, je ne suis pas d'accord sur le fait que ce que j'ai écrit pour justifier l'alignement des points soit une pure affirmation. Je veux bien accepter le manque de formalisme. Mon argument procède en trois point :
1) il existe une distance minimale.
2) Pour toute solution qui réalise ce minimum (c'est probablement le point le plus difficile à montrer : il existe au moins une solution qui réalise ce minimum), la trajectoire qui est sur la ligne voilier/bateau fait au moins aussi bien que cette trajectoire (la ligne droite réalise la distance minimale).
3) La bateau a donc suivi une trajectoire rectiligne en direction du point de rencontre de son cap constant et de celui bateau.

Maintenant pour le dernier point, je ne vois pas ce que tu veux dire par $\tau$ est constant.
Imaginons le voilier en train de déterminer l'angle (constant)$\theta$ par rapport à $P_1P_2$ de son cap, il effectue bien une minimisation en faisant varier l'angle pour trouver la valeur optimal. Donc, si on connait la fonction $O_1O_2=f(\theta)$, on trouvera bien le minimum en dérivant et en annulant la dérivée (fonction convexe). On ne vas pas dire : ah non, l'angle qui réalise le minimum est constant, donc on n'a pas le droit de dériver, non ?

Dériver par rapport à $\theta$ ou par rapport à $\tau$ est équivalent dans cet exercice.

Bonsoir,
Tout dépend de ce que tu es supposé connaitre.
Tu connais le développement de Taylor de la fonction exponentielle $e^x$ ?

Bonjour,
Je complèterais la réponse de freddy avec les détails suivants qui sont importants :
- Les erreurs doivent être centrées (espérance nulle). Ce qui est le cas en général. Si l'erreur contient un biais, on recentre la mesure avec ce biais pour se ramener à des erreurs centrées
- La variance des erreurs doit être finie
- Les erreurs doivent être identiquement distribuées : c'est le même aléa sous-jacent qui provoque les erreurs
- Les erreurs doivent être indépendantes. C'est souvent ce point qui est le plus délicat à vérifier en pratique et qui est néanmoins très important.

La démonstration du théorème central limite (je continue à l'appeler comme ça par habitude même si je trouve la formulation "limite centrée" de freddy plus jolie) permet d'ailleurs de "voir" pourquoi la loi gaussienne "surgit". Voir ici sur Wikipedia