Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Tu es tout excusé !  :-)

J'ai fait mieux aujourd'hui : en guise d'exercice d'application du théorème de Thalès, j'ai fait calculer les rapport à mon élève de 4ème préféré sur un cercle de rayon R (je lui avais préalablement rappelé les trois rapports cosinus, sinus et tangente) :

On trouve — amis élèves, je vous conseille de vous amuser à retrouver les résultats — :

$OP = R^2 \times \dfrac 1 {OK} = R \times \dfrac 1 {\cos \, \alpha}$

$AP = R \times \dfrac {OL}{OK} = R \times \tan \, \alpha$

$OF = R^2 \times \dfrac 1 {OL} = R \times \dfrac 1 {\sin \, \alpha}$

$BF = R \times \dfrac {OK} {OL} = R \times \dfrac 1 {\tan \, \alpha}$

Important :   A propos de la multiplication par $R$, il faut bien comprendre, chers élèves, que les valeurs $\dfrac {\sqrt 3}{2}$ , $\dfrac {\sqrt 2}{2}$ , $\dfrac {1}{2}$  ne valent que pour un cercle de rayon 1.

Pour un cercle de rayon $R$, il faut tout simplement multiplier toutes les valeurs par $R$.

Pour illustrer cela, je vous propose de placer précisément à la règle et au compas le point de coordonnées $\left( 2 - \dfrac{\sqrt 3}{2} \,,\, 2 + \sqrt 2  \right)$

Hello everybody,

Petite précision concernant ma (jolie :-) figure :

l'axe de la tangente a pour origine le point $(1 \,,\, 0)$ et orienté positivement vers le haut ;

l'axe de la cotangente a pour origine le point $(0 \,,\, -1)$ et est orienté positivement vers la gauche.

Bonjour Gaïa, JLB, Bernard, bonjour tout le monde

La figure ci-dessous visualise la tangente trigonométrique :

Lorsque le point M s'approche du point haut du cercle "par la droite", le point d'intersection de la droite (OM) avec l'axe tangent au cercle part "dans les choux" vers $+ \infty$.

Lorsque le point M s'approche du point haut "par la gauche", la droite (OM) est "descendante", et le point d'intersection avec l'axe à droite part dans les choux vers $- \infty$.

Le raisonnement est identique vis-à-vis du point bas du cercle :
Si M tend vers ce point "par la droite", le point d'intersection de (OM) avec l'axe à droite tend vers $- \infty$.
Si M tend vers ce point "par la gauche", le point d'intersection de (OM) avec l'axe à droite tend vers $+ \infty$

PS à l'intention de JLB : Pour placer une figure dans un message, il faut passer par l'hébergeur d'images zupimages.net.

PPSS : J'ai découvert le message de Bernard en validant le mien.

Bonjour Black Jack,

J'ai découvert ton message en rectifiant mon texte « [...] et deux arêtes non adjacentes, bien sûr non parallèles, sont orthogonales. »

« Je vais néanmoins la tester à l'occasion. »

Ne serait-ce que pour indiquer que la distinction a fait l'objet d'un débat notable sur Bibmath. (Mes élèves savent que j'y suis Borassus. :-)

Ah bon ?
Il y a à peine quatre et trois ans, j'expliquais cette distinction à deux frères successivement en Première année de Prépa, non pas parce que je voulais introduire une notion fortement élitiste, mais tout simplement parce qu'ils voyaient les deux notions en cours, et qu'ils ne les comprenaient pas véritablement.

C'est précisément à ce moment que j'ai appris à expliquer qu'il y a fonction lorsque le domaine de définition n'est pas précisé, et qu'il y a application s'il est précisé. Plus précisément, si est utilisée l'écriture « Pour toute valeur de la variable appartenant à tel domaine ».

Bonsoir, ou bonjour,

Avant de partir en cours — deux heures et demie avec un élève de Terminale — je n'ai pas résisté à l'envie d'ajouter une note soigneusement rédigée à propos de la distinction entre fonction et application.

A mon retour, je me suis rendu compte qu'elle n'a pas forcément sa place dans mon opus traitant de la dérivation. Je l'ai donc mise de côté et la réutiliserai peut-être à un autre moment, typiquement dans l'opus traitant, justement, des... fonctions.

Il ne me semble pas que j'embrouille mes élèves — ils me le diraient —, bien que j'explique mes cours de façon TELLEMENT différente de ce qu'ils voient avec leur prof.
(Je leur demande régulièrement si je ne les gêne pas par mes explications en opposition frontale avec leurs cours. Ils me répondent à chaque fois que je leur fournis une compréhension complémentaire qu'ils apprécient.)

Par ailleurs, si j'étais si "casse-noisettes", les familles ne me renouvèleraient pas leur confiance sur plusieurs années consécutives — même élève, ou aîné(e) puis petit frère ou petite sœur.

Enfin, "cher" Doc, je te saurai gré de ne pas m'enseigner mon métier, que je pratique depuis treize années scolaires, souvent sept jours sur sept, et que tu ne pratiques pas. Je pense en effet être en droit d'estimer pouvoir être "seul maître à bord".  :-)

Bonne fin de soirée à tous, et bon week-end.

Allons un peu plus loin, voulez-vous ?

« la fonction carré » est une appellation inexacte car tout nombre, réel ou complexe, possède un carré.
Il s'agit donc d'une application.

« la fonction inverse » est une appellation juste car tout nombre n'a pas forcément un inverse. Il s'agit donc bien d'une fonction.

Je crois que je vais introduire cette distinction dans mes cours, et notamment dans l'ouvrage sur lequel je travaille actuellement.

Cela ne sera sans doute pas facile, tant l'appellation "fonction" est systématiquement utilisée !

Remplacer donc
     « Soit la fonction $f$ définie sur tel intervalle par $f(x) = \cdots$ »
par
     « Soit l'application $f$ définie sur tel intervalle par $f(x) = \cdots$ »

Ou écrire « Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = \cdots$ », sans indiquer son domaine de calculabilité.

A partir du moment où on précise le domaine de définition — je préfère utiliser "domaine de calculabilité", à mon sens plus signifiant —, la fonction n'est plus une fonction mais devient une application.

Cela me rappelle la plaisanterie suivante :
Quel est le point commun entre une femme du monde et un diplomate ?

Quand une femme du monde dit "Non", c'est "Peut-être".
Quand elle dit "Peut-être", c'est "Oui".
Quand elle dit "Oui", elle n'est plus une femme du monde.

Quand un diplomate dit "Oui", c'est "Peut-être".
Quand il dit "Peut-être", c'est "Non".
Quand il dit "Non", il n'est plus un diplomate.

Il est donc à mon sens impropre d'écrire, comme on le voit extrêmement souvent

Je serai absent pendant ces deux jours.

Bonne et fructueuse journée à tous.