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Bon alors doucement doucement
voila c'est le lemme 2.4 du livre "Morse theory" par Milnor :page 10
"LEMMA 2.4. A smooth vector field on M which vanishes outside of a compact set K C M generates a unique 1-parameter group of diffeomorphisms of M."
et voila comment c'est démontré :
Pour n’importe quelle courbe c tracée su M, on définit le vecteur vitesse [tex]\displaystyle\frac{dc}{dt} \in T_{c(t)} M[/tex]
par
[tex]\displaystyle\frac{dc}{dt}(f) = lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(c(t + h)) − f(c(t))}{h}[/tex]

Soit[tex] \varphi[/tex] un groupe de difféomorphisme à 1 paramètre généré par le champ de vecteurs X.

Alors pour chaque q dans M la courbe qui à t associe [tex]\varphi_t(q)[/tex] satisfait l’équation
[tex]\displaystyle\frac{d\varphi_t(q)}{dt}= X_{\varphi_t(q)}[/tex],
avec comme condition initiale [tex]\varphi_0(q) = q[/tex].
De par la définition précédente
[tex]X_{\varphi_t(q)}(f) = \frac{d\varphi_t(q)}{dt} (f) = lim_{h\rightarrow0}\frac{f(\varphi_{t+h(q)})−f(\varphi_{t}(q))}{h}= lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(\varphi_{h}(p))−f(p)}{h}= X_p(f)[/tex],
où [tex]p = \varphi_t(q)[/tex].
Mais on sait que cette équation différentielle a localement une unique solution qui dépend des conditions initiales. Donc pour chaque point de M, il existe un voisinage U et un [tex]\varepsilon> 0[/tex] tels que
[tex]\frac{d\varphi_t(q)}{dt}= X_{\varphi_t(q)}, \varphi_0(q) = q[/tex]
a une unique solution pour [tex]q \in  U, |t| < \varepsilon[/tex]

Merci

Ok, merci
donc c'est Cauchy Lipschitz qui nous donne le résultat

dans l'énoncé il est dit que [tex]\varphi : M\times \mathbb{R} \rightarrow M[/tex] , tel que pour chaque [tex]t\in \mathbb{R}[/tex] , l'application [tex]\varphi_t:M \rightarrow M[/tex] définit par [tex]\varphi_t(q)=\varphi(t,q)[/tex] est un difféomorphisme sur [tex]M[/tex] . ([tex]M[/tex] est une variété )

plus loin..., il est dit que pour un champ de vecteur [tex]X[/tex] sur[tex] M[/tex] : [tex]\frac{d\varphi_t(q)}{dt}=X_{\varphi_t(q)} , \varphi_0(q)=q[/tex] , admet une unique solution locale .

et je veux savoir si [tex]\frac{d\varphi}{dt}[/tex] est localement lipschitzien

Merci

Oui , au premier lemme [tex]f[/tex] est définit sur une variété lisse a valeurs dans [tex]\mathbb{R}[/tex] .
donc par exemple en dimension 1 ,un système de coordonnées local [tex]y^1[/tex] est exactement le difféomorphisme [tex]\varphi[/tex] ?

Re;

Merci Yassine ,c'est effectivement très très juste ce que tu as écrit

mais c'est faut ! ce que j'ai écrit

Je ne sais pas comment faire

Quelqu'un pour m'aider ?

Soit ; [tex]( u_k )[/tex] une suite de [tex]X[/tex] qui converge vers [tex]u[/tex] ,
on doit prouver que si [tex]d(u_k,X-U)\geq \frac1n[/tex] ,alors [tex]d(u,X-U) \geq \frac1n[/tex] alors [tex]u \in F_n[/tex] .
[tex]d(u_k,X-U)=inf_{y\in X-U} d(u_k,y)[/tex].

mais comment arrivé au fait que [tex]d(u,X-U)\geq \frac1n[/tex] ?

S'il te plait ; merci.

Ok, merci beaucoup

dans le poste 38 j’essaye de voir ou ce trouvé t
j'ai une petite question au sujet du poste 39, pourquoi il y  un unique k tel que [tex]x\in A_k \Leftrightarrow f(x)\in E_k[/tex]

C'est juste ou j'ai tout faux ?
et s'il vous on ce qui concerne le poste 38 , c'est juste ou c'est hors sujet ?
Merci