Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Re,

Alors non. $(u_n)$ croissante se traduit TOUJOURS pas : pour tout $n$, $u_{n+1} \geq u_n$, peu importe le signe des termes de la suite $(u_n)$. C'est juste pour le quotient de deux termes successifs que cela change : si tous les termes sont positifs, le quotient doit être supérieur à 1, sinon inférieur à 1.

Bonjour !

Le problème vient du fait que dans une inégalité, quand on divise (ou multiplie) par un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité. Regardons cela :

Si ta suite $(u_n)$ a tous ses termes strictement positifs, on a que : $$(u_n) \text{ croissante} \Leftrightarrow u_{n+1} \geq u_n \Leftrightarrow \frac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1.$$

En revanche, si ta suite $(u_n)$ a tous ses termes strictement négatifs, on a que : $$(u_n) \text{ croissante} \Leftrightarrow u_{n+1} \geq u_n \Leftrightarrow \frac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1 \text{ puisque $u_n < 0$}.$$

Ainsi, le critère n'est pas le même : un coup le quotient doit être plus grand que 1, et dans l'autre cas il doit être plus petit que 1 ; mais la méthode est la même.

C'est plus clair ?

Bonjour !

Pour donner une réponse un peu plus sérieuse, il faut comprendre quelles sont les conditions pour trouver la paire de chaussettes non trouées dans le neuvième tiroir. Il faut qu'Albert aie mis une paire de chaussettes dans ce tiroir, puis sachant qu'il a mis une paire de chaussettes, il faut que ce soit la non trouée. Maintenant qu'on a dit cela, il faut dans un premier temps traduire ça avec des probabilités conditionnelles, puis faire les calculs !

Essaie de traduire cela et n'hésite pas si tu as besoin d'aide !

C'est bon @Sh15 ! Reste plus qu'à conclure.

@freddy, la chaleur m'a fait accepté ce que tu as raconté, du coup c'est aussi un peu de ma faute ;)

Bonjour !

D'abord, il me semble qu'il y ait une erreur dans ton calcul pour la première question, la bonne réponse est $\displaystyle \frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}$. Revois ton calcul, et si jamais tu ne trouves pas ton erreur, je t'aiderai.

Pour ce qui est de la deuxième question, il faut penser à une petite astuce : $P(X > Y) = P(Y > X)$ (facile à voir). Et en utilisant le fait que $P(X=Y) + P(X > Y) + P(Y > X) = 1$ et la première question, le résultat suit immédiatement !

C'est ça, tu as compris ce que l'on voulait dire. Juste pour bien répondre à la question, il faut que tu donnes des conditions sur $x$ et $y$. Donc pour bien répondre, il faut dire qu'il est nécessaire et suffisant de prendre $x = 1 - P(\{c\})$ et $y = 1-P(\{a\})$.

Bonsoir !

En fait, il faut que tu dissocies vraiment l'histoire de tribu borélienne avec le contexte de probabilités. Je m'explique. Tu me dis "Comment définir ici ma tribu borélienne ?". En fait, dès que tu me donnes un $\Omega$ (ici $\mathbb R_+$), j'ai la tribu borélienne associée et c'est tout. Je n'ai aucunement besoin de contexte. Tu vois ce que je veux dire ? À la base, la tribu borélienne n'a aucun rapport avec les probabilités (à la base, évidemment).

Pour illustrer (même si c'est assez complexe), comme je te l'ai dit précédemment, la tribu borélienne de $\mathbb R_+$ ici est la plus petite tribu contenant tous les ouverts de $\mathbb R_+$. Comme je te l'ai également dit, cette tribu borélienne est engendrée par les ouverts de $\mathbb R_+$. Et quand on dit engendrée, c'est-à-dire en utilisant les propriétés de stabilité des tribus. Ainsi, je prends tous les ouverts de $\mathbb R_+$, je prends tous leurs complémentaires, je fais plein d'unions dénombrables dans tous les sens, et j'obtiens la tribu borélienne de $\mathbb R_+$.

Malheureusement, le concept de tribu borélienne est assez compliqué à illustrer. Est-ce-que tu vois un petit peu mieux ?

Bonjour !

Pour donner un sens physique à $\mathcal P(\Omega)$, je ne sais pas trop quoi te dire, si ce n'est qu'on créé un nouvel ensemble contenant tous les sous-ensembles de $\Omega$. Pour ce qu'il est des intérêts de cette définition, j'en vois un directement avec la suite de ton message. Pour définir une tribu, tu as besoin d'un ensemble $F$ de parties de $\Omega$, ce que tu peux écrire très facilement $F \subset \mathcal P(\Omega)$. Sans avoir ce $\mathcal P(\Omega)$, ça devient plus compliqué.

Ensuite, la tribu borélienne sur $\Omega$ (il n'y en a qu'une seule), c'est la plus petite tribu contenant tous les ouverts de $\Omega$. Dans un $\Omega$ quelconque, on ne voit pas directement son intérêt. Mais si on se place dans $\mathbb R^n$, on peut montrer que la tribu borélienne est engendrée par les pavés, c'est-à-dire par les ensembles du type $[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \times \cdots \times [a_n,b_n]$, qui sont - à mes yeux - les ensembles les plus simples de $\mathbb R^n$. En ce sens, la tribu borélienne est la plus "simple" possible. (La réponse que je t'ai proposé n'est pas très rigoureuse, mais je t'ai plutôt donné ce que moi je pense et j'utilise pour mettre au clair ce concept de tribu ! S'il y a des imprécisions, d'autres personnes de ce forum se feront un plaisir de me corriger !)

Bonjour !

Qu'as-tu essayé pour résoudre cet exercice ?

Bonjour !

Peut-être pour te guider, tu peux noter $F$ une primitive de $t \mapsto e^{-t^2}$ sur $[1,+\infty[$, et réécrire l'intégrale autrement, pour voir apparaître un cas de limite bien connu...

Ok ça me rassure que tu trouves $2i$ comme valeur propre, c'est beaucoup plus cohérent.

Bonjour !

Juste au cas où, dans les coefficients de ta matrice en exposant, c'est bien une multiplication à chaque fois ? Et sinon ta matrice est d'ordre $m+1$ est non $m$ c'est bien le cas ?