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Je crois que j'ai eu un petit accès d'optimisme : les cubes de différences sont plus difficiles à traiter. Pour l'instant, je patine.

Bonjour Michel,

Merci de votre (ta ?) réponse.

Tout d'abord, je comprends avec surprise qu'en réalité il peut y avoir une infinité de formules de polarisation de degré 2 !
Par exemple, pour s = 1 et t = 2
xy = 1/2 [ (x + 2y)² - x² - 4y² ] / 2
Donc, les formules "classiques" sont définies au plus simple, avec s = 1 et t = 1 !

Bien sûr, je comprends que
xyz = 1/6 [ (x + y + z)³ - x³ - y³ - z³ - 3x²y - 3x²z - 3y²x - 3y²z - 3z²x - 3z²y ]

Mais tous ces produits de type 3 x terme² x terme ne sont pas des cubes !
Comment arriver à une formulation de xyz ne faisant intervenir que des cubes ??

PS : Il faut que je me mette au Latex.  :-)

J'ai pensé que cette question mérite un sujet à part, que j'ai édité sous le titre « Formules de polarisation du volume d'un parallélépipède rectangle »

Tout simplement, l'aire d'un rectangle, la forme quadratique associée étant l'aire d'un carré !
Les formules de polarisation sont donc :
xy = 1/2[x² + y² - (x - y)²].
xy = 1/2[(x + y)² -x² - y²]
xy = 1/4[(x + y)² - (x - y)²]

Le volume d'un parallélépipède rectangle est, en toute logique, une forme trilinéaire symétrique, la forme cubique associée étant le volume d'un cube.

Quelles sont alors les formules de polarisation ?

Fichtre ! Merci, Fred, de cette précision !

J'ai vérifié dans mon Grévisse (papier) de la douzième édition : le texte est identique à votre extrait
Je continuerai cependant à mettre "Soient" en tant que "mini-mathématicien" :-), mais serai moins critique quant à la forme invariante.

Pour ce qui est "Vivent" ou "Vive" (alinéa e), je privilégie la forme plurielle, mais serai là aussi moins critique quant à la forme invariante.

Par contre, je ne connaissais pas le dictionnaire d'André Jouette.

Bonne journée.

Bonsoir Zebulor,

Merci d'avoir été admiratif !  :-)

Tout à fait ! C'est précisément l'idée qu'il y a derrière les mots, et surtout derrière les formules, que je cherche à comprendre pour mieux la transmettre.
Pour moi, l'essentiel est la logique de la formule, exprimée en français et le plus simplement possible, qui doit prévaloir sur la formule, qui doit simplement servir d'aide-mémoire et non de fondement.
Mais parfois la compréhension de la logique d'un mot permet de mieux comprendre la logique du concept qui lui est associé.

Merci de ce message tout à fait pertinent. (L'exemple de "corps", "Körper" et "field", notamment, est effectivement parlant.)

Avant de réitérer mes remerciements, je crois qu'il est important que je présente le contexte de ma demande :

Après presque trente ans passées en tant que rédacteur technique indépendant — j'expliquais en détail l'utilisation de logiciels, machines, appareils professionnels véritablement complexes —, je me suis réorienté il y a un peu plus de dix ans en tant que prof de maths à domicile à plein temps — il y a quelques années, je tournais à quelque 40 heures de cours effectifs par semaine... ; j'ai depuis quelque peu réduit le rythme.

Mes élèves apprécient beaucoup mes façons d'expliquer, en constante évolution : je suis en effet très attentif à leur transmettre, oralement ou par écrit, la logique de fond des choses, et mieux je la comprends moi-même, plus je suis en mesure de la transmettre.
Or, une fois qu'ils comprennent la logique, au-delà des formules, de ce qu'ils voient en cours, ils acceptent de comprendre des notions et des exercices (bien) au-dessus de leur niveau scolaire officiel, et sont tout étonnés de résoudre facilement des exercices leur paraissant à première vue terrifiants. (« Mais c'est tout con ! »)

Désirant approfondir ma façon d'expliquer le produit scalaire à mes élèves de Première et de Terminale — je sais par expérience que cette notion fait classiquement partie de leurs principaux points durs —, j'ai voulu comprendre le fondement des formules de polarisation présentées ex abrupto, sans aucune explication, dans les manuels et dans les polycopiées de profs.

Grâce à vous, je saurai maintenant expliquer à mes élèves que le produit scalaire est un cas particulier d'une vision plus générale.
J'expliquerai — je rôde une nouvelle façon d'expliquer d'abord avec un(e) ou deux élèves avant d'en acquérir l'aisance — ce qu'est une forme linéaire, une forme bilinéaire symétrique, une forme quadratique.
J'expliquerai que la forme associée à une forme quadratique est appelée, pour une raison que pour l'instant j'ignore, "forme polaire de la forme quadratique", et qu'une formule permettant de passer d'une forme quadratique — en l'occurrence le carré d'une norme de vecteur — à la forme bilinéaire symétrique associée — en l'occurrence le produit scalaire de deux vecteurs — est appelée "formule de linéarisation".

Donc, doublement merci : merci pour moi, et merci pour mes élèves de Première et de Terminale !