Forum de mathématiques - Bibm@th.net

La démarche inverse est plus simple, et plus facile à expliquer :

[tex]\left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \right)^2 = \frac{6 + 2 + 2\sqrt{12}}{16} = \frac{8 + 2\sqrt{12}}{16} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{16} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}[/tex]

D'où

[tex]\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}[/tex]

Bonsoir Fred,

Merci de ta réponse.
Et de ta question ponctuée de tes trois points d'interrogation.  :-)

Là, tu montres l'égalité des deux expressions, en les connaissant préalablement toutes deux.

Ce n'est pas véritablement ce que je demande, qui est
« Comment passer de [tex]\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}[/tex]  à  [tex]\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}[/tex] ?
(sans éventuellement savoir au départ à quelle expression on doit aboutir) »

Et réciproquement.

Idem pour l'expression du sinus.

Donc, pour répondre à ta question, la solution que tu proposes n'est pas tout à fait élégante.  :-)

Merci Rescassol,

Whaou ! La leçon de Python, que je connais très (très) peu !!

Je vais profiter de cet exemple concret pour me familiariser avec ce langage. (J'ai déjà écrit quelques lignes de code dans une vie antérieure, mais pas en Python.)

Ce serait bien que le développement du binôme, avec [tex]n[/tex] entier, soit systématiquement écrit dans l'ordre correct, à savoir par puissances de [tex]a[/tex] décroissantes :
[tex](a + b)^n = \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{n - k}a^{n-k}b^k[/tex].

Cette écriture est en effet cohérente
- avec les formules habituelles [tex](a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2[/tex] et [tex](a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3[/tex]
(je vois souvent la formule donnée selon les puissances croissantes de [tex]a[/tex] et les exemples habituels écrits tout de suite après selon les puissances décroissantes de [tex]a[/tex] !) ;
- avec la loi binomiale ;
- avec la formule multinomiale — "multi" commence à deux... —, chaque coefficient comptant explicitement le nombre de fois où le terme [tex]a[/tex] apparaît dans un produit (et donc, implicitement, combien de fois apparaît le terme [tex]b[/tex]) ;
- avec la formule du binôme généralisée (voir le développement dans mon précédent post si [tex]\alpha[/tex] est un entier naturel).

Bonjour,

Merci de cette réponse, Roro.

Je crois que je commence à comprendre :

Ma question vient d'une certaine confusion entre la formule du binôme combinatoire classique [tex](a + b)^n[/tex], avec [tex]n[/tex] entier naturel et la formule du binôme généralisée conçue par Newton
[tex](a + bx)^\alpha = a^\alpha(1 + \frac{b}{a}x)^\alpha = a^\alpha \left[ 1 + \alpha\frac{b}{a}x + \frac{1}{2!}\alpha(\alpha - 1) \left(\frac{b}{a}x\right)^2 + \frac{1}{3!}\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2) \left(\frac{b}{a}x\right)^3 + ... \right][/tex]
formule dans laquelle [tex]\alpha[/tex] est un nombre rationnel.

Si [tex]a = b = 1[/tex], le développement s'écrit
[tex](1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{1}{2!}\alpha(\alpha - 1)x^2 + \frac{1}{3!}\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)x^3 + ...[/tex]

Si [tex]\alpha[/tex] est un entier naturel [tex]n[/tex], et si [tex]x = 1[/tex], le développement s'écrit (en réintégrant [tex]a^n[/tex] dans les crochets)
[tex](a + b)^n = a^n + na^{n -1}b + \frac{1}{2!}n(n - 1)a^{n - 2}b^2 + \frac{1}{3!}n(n - 1)(n - 2)a^{n - 3}b^3 + ... + b^n[/tex]

Or, [tex]1 = \binom{n}{0}[/tex], [tex]n = \binom{n}{k}[/tex], [tex]\frac{1}{2!}n(n - 1) = \binom{n}{2}[/tex], [tex]\frac{1}{3!}n(n - 1)(n - 2) = \binom{n}{3}[/tex], etc.

On retrouve donc la formule classique
[tex](a + b)^n = \binom{n}{0}a^nb^0 + \binom{n}{1}a^{n - 1}b^1 + \binom{n}{2}a^{n - 2}b^2 + \binom{n}{3}a^{n - 3}b^3 + ... \binom{n}{n}a^{n - n}b^n[/tex]

En réalité, le fait de retrouver le développement classique de [tex](a + b)^n[/tex] en partant de la formule généralisée est tout à fait logique !
En effet, Newton est précisément parti de l'expression [tex]\binom{n}{k} = \frac{1}{k!}n(n - 1)(n - 2)...\left(n - (k - 1)\right)[/tex] (formule dite de Pascal) et a remplacé [tex]n[/tex] par [tex]\frac{1}{2}[/tex], ce qui lui a fourni les coefficients [tex]\frac{1}{2}[/tex], [tex]-\frac{1}{8}[/tex], [tex]\frac{1}{16}[/tex], etc.

Puis, il a généralisé sa démarche pour un nombre rationnel quelconque.

Donc, historiquement, LES formules du binôme de Newton proviennent de sa formule généralisée.
Les développements [tex](a + b)^n[/tex], [tex](1 + x)^n[/tex] et [tex](1 + x)^r[/tex] (avec [tex]r[/tex] rationnel) ne sont que des cas particuliers de celle-ci.

Je réitère ma maxime préférée que j'avais effacée dans ma discussion concernant le nombre [tex]e[/tex] : « L'incompréhension, à condition qu'elle soit dérangeante, est la clé de la compréhension. »

Comme pour la compréhension de la démarche d'Euler pour déterminer son célèbre nombre [tex]e[/tex], j'ai pu comprendre ce que je viens d'écrire dans ce post grâce à l'ouvrage de Michel Simon « Mathématiques à travers les siècles (Tome II) », aux éditions Calvage & Mounet, dont j'ai repris la notation de la formule du binôme généralisée.
Merci à lui !

Bonjour,

J'ai acheté tout à l'heure le livre "Histoires de calcul infinitésimal".

J'y retrouve, avec quelques petites variantes, le raisonnement d'Euler présenté par M. Simon.
La lecture des deux chapitres indiqués par Fred va effectivement me permettre de consolider ma compréhension.

Bonne journée

Pour ce qui est de la raison de cette lettre [tex]e[/tex], l'hypothèse selon laquelle Euler l'aurait choisie par ce qu'il utilisait déjà les lettres a, b, c, d me séduit davantage que celle pour laquelle e serait la première lettre de "exponentielle".

Une autre voie, plus fructueuse : Il faut lire l'égalité [tex]a^\epsilon = 1 + k.\epsilon[/tex] comme [tex]a^0 + k(\epsilon - 0)[/tex] ce qui correspond à l'approximation de premier ordre de [tex]a^x[/tex] au voisinage de [tex]0[/tex].

Comme la pente en [tex]1[/tex] à la courbe [tex]y = lnx[/tex] — j'entends ici "ln" pour "logarithme naturel" — est égale à [tex]\frac{1}{1} = 1[/tex], la pente de la courbe [tex]y = \text{labase}^x[/tex] en [tex]0[/tex] doit être, par symétrie avec la courbe [tex]y = lnx[/tex] (car les deux courbes sont réciproques l'une de l'autre), égale à 1.

Donc [tex]k[/tex] doit être égal à [tex]1[/tex].  :-)

Merci de vos réponses, Glozi et Black Jack !

Je ne connaissais pas la page référencée par BJ, mais elle est similaire à beaucoup de pages que j'ai pu lire, et donc elle ne m'apporte pas vraiment une explication qui me permette de dire « Ça y est, j'ai compris !! », et me donne l'impression de "tourner en rond".
(Je suis très têtu dans mes incompréhensions. :-)

Le problème réside dans le fait que ces démonstrations ont été établies a posteriori, avec nos conceptions actuelles.

Dans son ouvrage " Mathématiques à travers les siècles (Tome II)", aux éditions Calvage & Mounet, Michel Garcia explique le raisonnement d'Euler pour un logarithme de base [tex]a[/tex] quelconque, en posant que le logarithme en base [tex]a[/tex] d'un nombre est la puissance à laquelle il faut élever [tex]a[/tex] pour obtenir ce nombre. (Michel Garcia indique que c'est Euler qui a intronisé cette définition du logarithme. Par là-même, Euler indique que les fonctions [tex]a^x[/tex] et [tex]log_a(x)[/tex] sont réciproques l'une de l'autre.)

M. Garcia montre que le raisonnement d'Euler, en partant de l'écriture (modernisée) [tex]a^\epsilon = 1 + k.\epsilon[/tex], aboutit à l'expression [tex]a^z = 1 + \frac{kz}{1!} + \frac{k^2z^2}{2!} + \frac{k^3z^3}{3!} + ...[/tex], où [tex]\epsilon[/tex] désigne un très petit nombre (qu'Euler désigne par [tex]\omega[/tex]).

Je cite :
« et ensuite, il introduit le célèbre nombre d'Euler [tex]e[/tex], défini comme la valeur de [tex]a[/tex] pour laquelle [tex]k = 1[/tex], et que l'on obtient en faisant [tex]z = 1[/tex] :
[tex]e  = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} = \frac{1}{3!} + ...[/tex]. »

C'est cette dernière phrase que j'aimerais comprendre : pourquoi [tex]k[/tex] doit être égal à 1 ??

Je crois que je commence à avoir une piste de compréhension dans le tome II de l'ouvrage de Michel Garcia « Mathématiques à travers les siècles », éditions Calvage & Mounet, page 116 titrée « Le logarithme et l'exponentielle » :

Euler ne serait pas parti de la limite de Jacques Bernoulli, mais du calcul de e^x sous forme de la série e^x = 1 + 1/1! + 1/2! + ...

Une des étapes du calcul se traduit par la limite de Bernoulli.

Bonsoir Roro (et tout le monde),

Effectivement, il y a de quoi expliquer, en commençant par des aspects concrets, facilement perceptibles par les élèves !
(Excuse-moi, je ne me sens pas pour l'instant expliquer les extensions "philosophiques" que tu proposes. Il faut que préalablement je les maîtrise suffisamment moi-même.)

Cela fait plus de dix ans que je me suis (tardivement) réorienté vers les cours particuliers de maths et ai suivi un grand nombre d'élèves, notamment de 1ère S et Terminale S, et maintenant en spécialité maths, de différents lycées publics et privés. (Avant la réforme Blanquer, je suivais couramment en parallèle une vingtaine d'élèves de 1ère et Terminale, principalement de la section S.)

Je n'ai pas vu une seule fois dans les notes de cours de mes élèves une explication géométrique simple de l'aire mesurée par le produit scalaire (le produit d'une longueur par une autre longueur a bien une dimension d'aire, n'est-il pas ? je n'ai compris de quelle aire il s'agit que tout récemment, grâce à l'article "Produit scalaire" de Wikipédia) ;
je n'ai pas vu une seule fois expliquer de façon claire à quelle situation concrète correspond chacune des formules de polarisation. (Je l'ai compris par moi-même.)

J'ai en outre, avant de répondre, vérifié parmi une quinzaine de manuels de Première et de Terminale de différents éditeurs — j'achète quasi systématiquement les manuels utilisés par mes élèves — ce que j'avais déjà observé : pas un seul ne fournit ces explications de façon explicite.

Comme je l'indiquais dans un de mes posts, le produit scalaire est le sujet qui déroute le plus mes élèves, surtout quand on leur balançait d'emblée comme définition l'une des formules de polarisation. (Heureusement, les manuels correspondant aux programmes 2019-2020 sont revenus aux fondamentaux en donnant la définition correspondant au produit des deux normes et du cosinus de l'angle entre les deux vecteurs.)
Presque à chaque fois, j'ai droit à « Je n'ai rien compris ! ». Ayant progressivement élaboré ma propre façon d'expliquer, j'entends souvent la réaction « C'est tout ?! Mais c'est tout con ! »

C'est pour cela que j'ai besoin d'acquérir par moi-même une compréhension de fond, y compris des nuances, que je puisse transmettre à mes élèves.

Concernant maintenant le fait que j'explique des notions qui sortent du programme, je me rends de plus en plus compte qu'à partir du moment où les élèves comprennent la logique concrète des choses — au-delà donc du flot de formules dont on les abreuve —, ils peuvent tout à fait encaisser des notions, ou des techniques de calcul, qui "ne sont pas de leur âge".
J'expérimente donc de plus en plus, en poussant "le bouchon" de plus en plus loin : je ne me heurte jamais à une incompréhension.
Par exemple, je fais couramment dériver des fonctions composées à six ou sept niveaux d'imbrication — les élèves sont tout étonnés de pouvoir résoudre facilement un exercice semblant monstrueux —, ou calculer des dérivées partielles ou des intégrales doubles ou triples.

Donc, en affinant progressivement mon approche (par exemple, grâce à mes enrichissants échanges avec vous :-), je compte bien poursuivre ma voie et expliquer les autres produits que le produit scalaire de façon à fournir à mes élèves une vision globale de la géométrie vectorielle.