Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Certes, mais peut-on vraiment préciser les hypothèses ? N'oublie pas que Gödel a ruiné tous nos espoirs de voir nos démonstrations établies avec certitude. L'incomplétude guette chacun de nos pas. Si on superpose le principe d'incertitude d'Heisenberg, la dépression n'est plus très loin (je ne parle même pas de l'intrication quantique, on m'accusera de torture !)

Je suis d'accord sur la supercherie de l'adoption de la moyenne arithmétique. D'ailleurs, on voit que ça sert des buts inavouables, voire des desseins obscurs ! Heureusement, il y a quelques voix qui s'élèvent contre cette fumisterie.
Si tu penses, comme l'a fait Terence Tao, lancer une initiative de démonstration groupée, fais-nous signe. Cela dit, je comprendrais que tu gardes secrets tes travaux, l'enjeu est colossal !

C'est un peu enfoncer des portes ouvertes !
Il y a une tentative d'unification entre ces deux approches. On en est encore au balbutiement mais c'est prometteur et ça montre clairement la puissance de La théorie !

ça a l'air puissant ce "principe de la moyenne". Si je sais que, soit je gagne 100, soit je perds 100, avant autant de chances, alors le plus probable c'est encore qu'il ne m'arrivera rien ! La proba initiale d'une perte nulle était de zéro, la proba après application du "principe de la moyenne" est de ... s'est appréciée.
Ce qui est cool en plus, c'est que c'est un Principe, pas besoin de démontrer quoi que ce soit, il s'impose à tous.

Salut Amine,
Pourrais-tu corriger les quelques typos dans ton énoncé.
Deux coquilles que j'ai relevées :
1- Tu écris : $\forall j\in \left\{n(V)+1,..,d\right\}$, il existe $f_j\in \mathbb{R}[X_{j+1},...,X_d]$ ...
Si $j=d$, la notation $\mathbb{R}[X_{j+1},...,X_d]$ n'a pas de sens.

2- Tu écris $X_j+f_j(X_{j+1},..,X_d)\in span\left\{\partial_x^{\alpha},|\alpha|\ge 1,\alpha\in\mathbb{N}^d\right\}$, j'imagine qu'au lieu de $\partial_x^{\alpha}$, tu voulais écrire $\partial_X^{\alpha}V$ ($X$ majuscule pour signifier qu'on dérive par rapport aux $X_i$ et dérivée appliquée à $V$).

Intuitivement, je pense qu'il faudra raisonner sur les noyaux des endomorphismes $Ker(\partial_{Y_j})$. La fonction $f_j$ recherchée appartient à l'ensemble $\cap_{i=1}^j Ker(\partial_{Y_j})$. Il faudra donc montrer que le sous espace vectoriel $span\left\{\partial_x^{\alpha},|\alpha|\ge 1,\alpha\in\mathbb{N}^d\right\}$ s'écrie comme une somme directe de $span\{\cap_{i=1}^j Ker(\partial_{Y_j})\}$ et d'un sous espace de dimension $1$, du coup, $X_j$ sera choisi comme étant une base de ce dernier sous-EV.

Les quelques points auxquels j'ai pensé qui pourraient aider :
1 - $F_{p+1} \subset F_p$.
2- Il doit exister un $p$ tel que $F_p = \mathbb{R}$. J'ai le sentime que c'est à partir de ce $F_p$ qu'il faudra remonter jusqu'à $F_0$ (reverse induction)
3- $A$ étant la matrice d'un changement de coordonnées, il me semble que $span\left\{\partial_X^{\alpha}V,|\alpha|\ge p,\alpha\in\mathbb{N}^d\right\}$ soit égal à $span\left\{\partial_Y^{\alpha}V,|\alpha|\ge p,\alpha\in\mathbb{N}^d\right\}$

--EDIT--
$\cap_{i=1}^j Ker(\partial_{Y_j})$ à la place de $\cup_{i=1}^j Ker(\partial_{Y_j})$

Il y a un sens qui me semble facile : le sens direct :
Si $x$ est un point critique de $V$, alors $\nabla V(x) = 0$. $V$ est non dégénéré en $x$ si son hessien est non nul. Donc, $Hess V(x) < 0$ implique que $V$ est non dégénéré, soit encore $Hess V(x) < \|\nabla V(x)\| \implies V$ est non dégénéré, soit encore, en prenant la contraposée
$V$ dégénéré $\implies Hess V(x) \geq \|\nabla V(x)\|$.
Je ne vois pas comment faire l'autre sens.

Cela suppose bien sûr que la notion de point critique dégénéré ou non dégénéré rejoint la définition du potentiel dégénéré ou non (un potentiel est non dégénéré s'il n'admet aucun point critique non dégénéré).

Tu as raison, je me suis trompé de sens dans la fraction !!

On part de $\frac{1}{2}sin(2b) (a_2 - a_1) + cos(2b)a_3 = 0$, ensuite on écrit
$\frac{1}{2}sin(2b) (a_1 - a_2) = cos(2b)a_3$, soit encore $\frac{sin(2b)}{cos(2b)} = 2\frac{a_3 }{(a_1 - a_2) }$ et finalement $tan(2b) = 2\frac{a_3 }{(a_1 - a_2) }$
Il faut donc discuter sur le cas particulier $a_1 = a_2$.

On ne doit certainement pas lire le même Wikipedia !!
La convergence de la probabilité empirique (fréquence dans un échantillon, ou encore "caractéristiques statistiques de la population" dans le texte Wikipedia ) vers la probabilité effective (ou encore "caractéristiques d'un échantillon aléatoire" dans le texte Wikipedia ) est une conséquence de la LGN.

Comme je l'ai indiqué précédemment, je ne sais pas si tes interventions sont authentiques ou procèdent d'un rôle de composition.
Dans le premier cas, il me semble qu'il te faut encore étudier ce sujet des probabilités. Dans la seconde hypothèse, toute discussion me semble inutile.

J'ai été tellement vite que je n'ai pas vu qu'on pouvait éviter la dernière étape en supposant $sin(2b) \neq 0$ et $a_3 \neq 0$ et en posant $tan(2b)=2\frac{a_1-a_2}{a_3}$
Les cas particuliers $sin(2b) = 0$ et $a_3 = 0$ sont simples à traiter

Bonsoir Amine,
Je ne pense malheureusement pas pouvoir t'aider sur cette question, je ne suis pas assez calé sur ce sujet.
Peut-être d'autre participants pourraient te donner des idées.

On ne peut pas parce que c'est faux !! (oui, j'ai dit une bêtise)
$f(x,y)=x^2 - y^2$ s'annule sur une parabole et non une droite.

Je corrige ce que j'ai dit.
J'ai dit que la négation de $\forall x, \|\nabla V(x)\| \leq q(x)$ était équivalente à $q(x)$ définie négative (lorsque $\nabla V(x) = 0$ pour un point critique). Ce qui n'est pas vrai. La définition de définie négative est plutôt $\forall x,  x \neq 0 \implies q(x) < 0$. Formellement, la négation de la condition est $\exists x, \|\nabla V(x)\| > q(x)$.
Je pense que la confusion vient du fait qu'il manque une variable.
La forme hessienne en un point $a \in \mathbb{R}^n$ est la forme quadratique associée à la matrice $H_a= (\partial_{ij}V|_a)_{0\leq i,j \leq n}$ et définie par $q_a:\ \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}$ telle que $\forall u \in \mathbb{R}^n$, $q_a(u) = u^TH_a u$.

Quand tu écris $x$ dans tes condition, est-ce que c'est le point où en évalue les dérivées ($a$ dans mes définitions) et est-ce que c'est la point où on évalue la forme quadratique ($u$ dans mes définitions). C'est important pour savoir sur quoi porte le quantificateur.
Pour la qualité de 'définie positive' ou 'définie négative', les quantificateurs portent sur $u$. Pour la singularité et la dégénérescence d'un point, les quantificateurs portent sur $a$.

Donc, dégénéré serait équivalent à $\exists x$ critique et dégénéré.
On sait que si la forme hessienne en un point critique est définie négative, alors le point est non dégénéré, soit :
$\forall a \in \mathbb{R}^n \left[\left(\nabla V_a = 0 \wedge \left(\forall u \in \mathbb{R}^n, q_a(u) < 0\right)\right) \implies a \textrm{ critique non dégénéré} \right]$

Je ne suis pas sûr d'avoir tout compris !

Je ne connais pas cette formulation de la loi des grands nombre. Celle que je connais dit que la moyenne arithmétique tend vers l'espérance quand on augmente le nombre de variables IID (ce qui correspond à répéter plusieurs fois la même expérience).
Il y a également le théorème fondamental de la statistique, dit aussi théorème de Glivenko-Cantelli qui dit que la probabilité empirique (c'est à dire calculée sur un échantillon) converge vers la "vraie" probabilité quand l'échantillon devient grand.

Est-ce à dire que si $E(X)>E(Y)$, alors $P(X>Y)>\frac{1}{2}$ ?