Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir

          @Freddy    Je ne sais pas pourquoi, dès le début j'ai mis la formule de Blaise Pascal de coté.

                          parce que je me trouvais au départ dans le rouge avec des urnes négatives.

                          et puis les séries alternées portent bien leur nom.

                           toujours est-il que mon idée de ce matin a eu son temps. mais je la présenterai plus tard.

                           Maintenant , si je prend d'abord les nombres impairs. On a 2 catégories.

                        1° _  [tex] n = 2N+1[/tex] ou  N est impair  exemple 15   et [tex]\frac{n.(n-1)}{2}=a.n[/tex]

                                ou [tex]a[/tex]  est impair

                         2° [tex] n = 2N+1[/tex]  ou N est pair.   exemple  13  et  [tex] a [/tex] est pair

  [tex]n = 15 -->\begin{cases}Urne&B-----A-----C\\p0&0-----45-----0\\p1&0-----44---->1\\p2&2<----42-----1\\p3&5<----39-----1\\p4&1---->43-----1\\p5&6<----38-----1\\p6&0---->44-----1\\p7&7<----37-----1\\axe de symétrie&-----------\\p8&15<----29-----1\\p9&6---->38-----1\\p10&16<----28-----1\\p11&5---->39-----1\\p12&17<----27-----1\\p13&30<----14-----1\\p14&30-----0---->15\\p15&15---->15-----15\end{cases}[/tex]

   [tex]  n = 3n - 2n +(n-n) +....+(n-n)[/tex]

Bonsoir
             soit [tex] n[/tex] pair   et au [tex] (n-1)^{iéme} [/tex] j'aurais déplacé [tex]\frac{n.(n-1)}{2}+r[/tex]

             avec[tex]\frac{n.(n-1)}{2} = a.n + r    avec   a=r-1[/tex]

            pour commencer dans l'urne B, je déplace  [tex] 1+3+4+...+(r-2)  de \;A--->B    et   2 + (r-1)  de\; A-->C[/tex]

            puis de C je déplace  [tex] r   de \;C-->A[/tex]

            jusque là il a été déplacé  [tex]\frac{r.(r+1)}{2} = \frac{\frac{n}{2}.(\frac{n}{2}+1)}{2}[/tex]

            après j'utilise des blocs (4) et des blocs (2)

           ex. [tex]n = 12   ---> r = 6    et    a = 5[/tex]

    [tex]\begin{cases}urne&B-----A-----C\\p0&0-----36-----0\\p1&1<----35-----0\\p2&1-----33---->2---2\\p3&4<----30-----2----\frac{n}{4}\\p4&8<----26-----2\\p5&8-----21---->7---r-1=\frac{n}{2}-1\\p6&8-----27<----1---r=\frac{n}{2}\\p7&15<----20-----1-----\frac{n}{2}+1\\p8&23<----12-----1\\p9&14---->21-----1-----\frac{3n}{4}\\p10&24<----11-----1\\p11&24-----0---->12\\p12&12---->12-----12\end{cases}[/tex]

Bonjour.

           avec les nombres impairs de la forme[tex]n = 4N+1[/tex] comme 9  ou 13  , jusqu'à [tex]n-1[/tex]

           on  travaille avec  A  et B  pour finir à [tex]n-1   à   B=2n\;  A=n\;  C=0[/tex]
         
           et les nombres impairs de la forme [tex]n = 2N + 1[/tex] comme 11, on travaille 

           avec les 3 urnes pour finir   à [tex]n-1     à    B=2N\;\;  A=0\;\;  C=n[/tex]

[tex]n = 9\begin{cases}p0&0-----27-----0\\p1&1<----26-----0\\p2&3<----24-----0\\p3&0---->27-----0\\p4&4<----23-----0\\{\color{red}\;axe&---------------}\\p5&9<----18-----0\\p6&3---->24-----0\\p7&10<----17-----0\\p8&18<----9-----0\\p9&9-----9--->>9\end{cases}n=11\begin{cases}p0&0-----33-----0\\p1&1<----32-----0\\p2&3<----30-----0\\p3&0---->33-----0\\p4&4<----29-----0\\p5&4-----24---->5\\{\color{red}axe}&-------------\\p6&4-----18---->11\\p7&11<----11-----11\\p8&3---->19-----11\\p9&12<----10-----11\\p10&22<----0-----11\\p11&11---->11-----11\end{cases}[/tex]

re

      En suivant la meme méthode avec [tex]n = 12[/tex]

[tex]\begin{cases}Urne&B-----A-----C\\p0&0-----36-----0\\p1&1<----35-----0\\p2&1-----33---->2\\p3&4<----30-----2\\p4&4-----26---->6\\p5&9<----21-----6\\p6&3---->27-----6 -----r = 6\\p7&10<----20-----6\\p8&2{\color{red}-----}20{\color{red}--->>}14\\p9&11<----11-----14\\p10&1{\color{red}-----}11{\color{red}--->>}24\\p11&12<----0-----24\\p12&12-----12<----12\end{cases}[/tex]

Bonsoir .

           je donne une méthode avec [tex]n = 20[/tex]

    [tex]p     1     2     3     4     5     6     7     8     9     10     11     12     13     14     15     16     17     18    19   20[/tex]

    [tex]B    1      1    4     8    13  19   26   34  25   35   24     36     23     37    22     38     21    21    40    20[/tex]

    [tex]A   59  57  54  50  45  39   32   24  33   23   34     22     35     21    36     20     37   19     0     20[/tex]

    [tex]C   0     2     2    2     2    2      2       2    2      2        2          2          2        2        2        2       2     20     20    20[/tex]

      je n'avais pas encore essayé celle ci. je cherche avec n impair.

      dans ce cas  [tex]r[/tex] est pair donc ça  marche pour [tex]n = 8   ,  n = 16....[/tex]

Bonjour.

     si [tex]n = 8[/tex]  au [tex]P^{ieme}[/tex] transfert j'aurais alors:[tex]\frac{p.(p+1)}{2}-2[/tex] dans l'urne [tex]B[/tex] pour [tex]1 < p < n-2[/tex]

     parce qu'à [tex]p = 2[/tex] je place [tex]2[/tex] dans l'urne [tex]C[/tex] ce qui donne
                [tex]B                          A                              C[/tex]
      p1       [tex]1                          23                             0[/tex]
      p2       [tex]1                          21                             2[/tex]
      p3       [tex]4                          18                             2[/tex]
      p4       [tex]8                          14                             2[/tex]
      p5       [tex]13                          9                              2[/tex]
    p(n-2)   [tex]7                           9                              8[/tex]
    p(n-1]   [tex]0                         16                             8[/tex]
    p(n)      [tex]8                           8                              8[/tex]

Salut à tous.

               @ Freddy   tu as écrit :

                                     Quand   [tex]n[/tex]   est pair  [tex]a = r = \frac{n}{2}[/tex]

       ce ne serait pas plutot        [tex]\frac{n.(n+1)}{2} = \frac{n}{2}\times{n} + \frac{n}{2}[/tex]

                                    et        [tex]\frac{n.(n-1)}{2} =\left [\frac{n}{2}-1\right]\times{n} + \frac{n}{2}[/tex]

            ex: [tex]n = 10  --> \frac{n.(n-1)}{2} = 4n + 5 = 45   et    si  n = 12 -->\frac{n.(n-1)}{2} = 5n  +  6 = 66[/tex]

                    lorsque   [tex]n[/tex]    est pair  alors   [tex]r = a+1 = \frac{n}{2}[/tex]

                  et pour    [tex]n[/tex]   pair on a toujours   [tex]r = \frac{n}{2}    et     a = \frac{n}{2} - 1[/tex]

                  et lorsque    [tex]n[/tex]  est impair on a  [tex]a = \frac{n - 1}{2}[/tex]

bonsoir

           la stratégie du poste #58 concernant les nombres pairs avec r non nul est conservée

           par contre celle concernant leurs voisins impairs , elle , diffère .

           en effet , entre une partie n et une partie (n+1)  il y a un tranfert de plus qui est (n+1)

           alors pour les nombres impairs   (n+1) je ne remonte plus r --> U0  mais [tex]\frac{n}{2}+1     de      U_2 --> U_1[/tex] en ayant placé

          [tex]2   et  \frac{n}{2} --> U_2[/tex]      au préalable et il reste [tex]1[/tex] dans [tex]U_2[/tex]

            exemple  n = 10   --> r = 5     et n+1 = 11     [tex]\frac{n}{2}-1 = 6[/tex]

            si bien que  [tex]r + \frac{n}{2} + 1 = \frac{n}{2}+\frac{n}{2}+1 = n+1 = 11[/tex]

Bonjour

             voilà , je pense que   si [tex]\frac{n.(n-1)}{2} = a\times{n} + r[/tex]

             alors je place uniquement   2  puis  r-1  pour faire  r+1  dans l'urne 2 

            ensuite en fonction de la parité de (a)  on alterne entre  U0  ET U1   en ayant pris soin de

            basculer  r  de U2-----> U0    afin qu'il ne reste plus que 1  dans U1.

            à  (n-1)    on place  n-1  dans U1  qui donne n dans U1    et 2n   dans l'une ou l'autre des 2 autres

            urnes.

Bonsoir.

             de la forme 3n + 1   il y a 13

            alors.  [tex]2.n = (1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) + (- 8 + 9 + 11 - 12 )[/tex] parce que j'ai placé 2 boules

            dans [tex]U_3[/tex] puis les 10 boules de [tex]U_0------>U_3[/tex] il y a donc 12 boules en[tex]U_3[/tex]

             
            ensuite 11 boules de [tex]U_3------->U_1[/tex] et    12 boules de[tex]U_1---->U_3[/tex]

avec [tex]n = 19     n = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)+ (+ 7 - 8 + 9 - 10) + (- 11 + 12 + 13 - 14)+(-15 +16+17-18)[/tex]

            le premier groupe donne 21 , le second est donc un (-2) et les 2 derniers des (0)

            je vais essayer avec un nombre plus grand.

bonsoir Nérosson et les autres.

         dans ce cas là je crois bien que la méthode logique est encore la lecture.

Bonsoir.

             J'ai trouvé une stratégie . Elle vaut ce qu'elle vaut , et je vais quand meme vous la soumettre.

             Après .....

             tout nombre entier peut s'écrire  [tex]n = \frac{p.(p+1)}{2}\pm{r}[/tex]

             alors  une valeur [tex]p[/tex] qui donne une valeur de [tex]\frac{p.(p+1)}{2}[/tex] la plus proche

              de [tex]n[/tex]  est solution de l'équation [tex]p^2 + p - 2n = 0[/tex]

             alors [tex]p = \frac{-1 + \sqrt{1+8.n}}{2}[/tex]

             ainsi par exemple pour [tex]n = 21 ----> p = 6   ;   n = 19 ----> p = 6    ;    r = - 2[/tex]

              c'est surtout utile pour les grands nombres

             au départ on a :[tex]U_0 = 3n     U_1  = 0     U_2 = 0[/tex]

            maintenant je commence à vider [tex]U_0[/tex] jusqu'à la valeur [tex]\frac{p.(p+1)}{2} = n \pm{r}[/tex]

            il me reste donc [tex](n-1-p)[/tex] transferts à effectuer avant le coup final

            le nombre [tex](n-1-p)[/tex] , sera composé de blocs de 4 nombres et parfois d'un bloc de  2 nombres

             il y aura surtout des bloc (4) neutres , c-a-d  des blocs 0  [tex](-a + b + c - d)[/tex]

                                                                     des bloc (4)(-2) [tex]----> (a - b + c - d)[/tex]

                                                                     des blocs (4)(+2)[tex]-----> (-a + b - c + d)[/tex]

                                                                      des bloc(2)(-1)[tex]----> ( a - b)[/tex]

                                                                   et des blocs(2)(+1) [tex]---> ( - a + b)[/tex]

        Je prend un exemple [tex]n = 21  ----> p = 6[/tex]

         je constate que derrière il me reste [tex]( n - 1 - p ) = 14[/tex] transferts à effectuer et je me

         retrouve avec 3 blocs(4) et un bloc(2)

         alors je place la première boule dans l'urne [tex]U_3[/tex] qui servira à la fin

         je me retrouve donc avec  20 boules en [tex]U_1[/tex] et  1 boule en [tex]U_2[/tex]

          à  l'avant dernière étape je veux avoir [tex]2.n = 42[/tex] alors il me faut un bloc(4)(-2)

         le transfert s'écrit

[tex]2.n = 42 = (1 ->U_3) + (2 + 3 +....+6)+[(7-8+9-10) + (11-12-13+14) + ( -15+16+17-18)]->U_2[/tex]

          il me reste à placer [tex]19 ---> U_3       et 19 + 1 = 20  U_3 ---> U_2[/tex] qui doit faire 42