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#851 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Un jeu débile » 19-07-2016 15:20:21
@freddy :
Correction d'une petite coquille d'abord : $P(X \leq x)=\left[1-e^{-\lambda x})\right]1_{\{x \geq 0\}}$
Remarque de forme : tu réponds à un autre exercice. Dans l'énoncé, il est bien précisé que les deux nombre ne sont pas forcément tirés au hasard (imagine la gars avec son année de naissance et celle de son fils en tête. Les candidat défilent devant lui. Il lance une pièce et communique son année ou celle de son fils selon le résultat. Le candidat doit dire si on lui a communiqué le plus petit des deux nombres).
Une tentative de formalisation du problème pour qu'on puisse vérifier formellement les réponses des uns et des autres.
On se donne donc un espace probabilié $(\Omega,\mathcal{A}, \mathbb{P})$ et trois variables aléatoires $X$,$Y$: $\Omega \to \mathbb{R}$ et $C$: $\Omega \to \{0,1\}$. On suppose que
$\displaystyle \mathbb{P}\left[C^{-1}(\{0\})\right] = \mathbb{P}\left[C^{-1}(\{1\})\right] = \frac{1}{2}$.
On donne également une v.a. $D$ définie par $D = \min(X,Y)1_{\{C=0\}} + \max(X,Y)1_{\{C=1\}}$.
On demande de trouver une fonction $f$: $\mathbb{R} \times \Omega \to \{0,1\}$ telle que
$\mathbb{P}\big( \{\omega \in \Omega \ |\ f ( D(\omega),\omega) = C(\omega) \} \big) > \frac{1}{2}$.
#852 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Un jeu débile » 19-07-2016 09:40:56
#853 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Petit pb d'arithmétique » 19-07-2016 07:48:20
@freddy,
Je n'ai pas eu le courage de vérifier tous les calculs.
Un vrai tour de force !
#854 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Un jeu débile » 18-07-2016 21:07:15
#855 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Un jeu débile » 18-07-2016 19:32:43
Re,
Non, il ne connait pas le résultat du tirage, mais juste le fait que la décision de donner le min ou le max des deux nombres a été tirée à pile ou face.
#856 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Un jeu débile » 18-07-2016 15:46:15
@freddy : Non, pas d'apprentissage. Chaque tour est strictement indépendant des autres. Il ne s'agit pas d'optimiser le nombre de parties gagnées après plusieurs parties, il s'agit de trouver une stratégie qui donne en théorie une probabilité strictement plus grande que 1/2 de gagner.
@yoshi : La seule communication a lieu lorsque le tireur communique au joueur le nombre réel et c'est la seule information donnée (en plus des règles du jeu bien sûr). Après, le joueur déploie sa stratégie (il entre en transe, appelle Mme Tessier, fait appel aux shamanes, etc.) et dis si l'autre nombre est plus grand ou plus petit que celui qu'on lui a communiqué.
#857 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Un jeu débile » 18-07-2016 15:10:52
Non, la probabilité de gagner est strictement supérieur à 1/2 à chaque tour.
Il va de soi qui si on veut effectivement gagner plus de parties qu'on en perd, il faut jouer plusieurs fois (je n'ose prononcer le mot...)
#858 Re : Café mathématique » La loi des grands nombres » 18-07-2016 13:35:14
Dlzlogic,
J'accepte tes excuses.
Concernant ta demande, je ne pense pas avoir dit une seule fois que tu étais incompétent, je n'en sais rien.
J'ai affirmé que que tu ne maitrisais pas les notions de probabilités et je maintiens.
Je ne pense aucunement que ce soit une insulte. Il existe une ribambelle de sujets mathématiques que je ne maitrise pas personnellement (liste trop longue pour être énumérée ici). Ce qui nous différencie peut-être, c'est que je 'abstiens d'intervenir quand mes connaissances sont limitées.
Néanmoins, comme je l'avais indiqué, je ne souhaite plus échanger avec toi sur ce forum, je ne risque donc plus de-facto de dire quoi que ce soit qui risque de te vexer.
#859 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Petit pb d'arithmétique » 18-07-2016 08:33:31
Bravo freddy !
#860 Re : Café mathématique » La loi des grands nombres » 17-07-2016 20:40:08
En réalité, je me fais avoir à chaque fois, j'ai le sentiment que je peux contribuer à clarifier des points, mais ça part en sucette !
Il a la bonne technique des trolls Internet, il rebondit sur un point, peu importe et prend la tangente.
Aucun formalisme (il n'est pas doué dans ce graphisme semble-t-il), des idée confuses (l'histoire de la proba d'événements disjoints qui est égale à la racine carrée de la somme des carrés, c'est qu'il doit confondre la formule de l'écart-type avec celle de la probabilité !). Bref, impossible d'avoir une discussion mathématique construite où l'on puisse toujours revenir au langage formel comme juge ultime.
Je n'interviendrai plus sur un fil où Dzllogic est un des principaux contributeurs.
#861 Re : Café mathématique » La loi des grands nombres » 17-07-2016 18:50:44
Variable : suivant ce qu'on lit, c'est une valeur numérique ou une fonction. Pourquoi, comme tu dis un peu plus loin, il ne pourrait pas s'agir d'un évènement ?
C'est comme si tu me demandais pourquoi on définit ensemble et fonction !
Un événement est simplement un ensemble, plus précisément un sous-ensemble de l'ensemble $\Omega$, qui est l'ensemble de tous les états du monde (on note souvent $\omega$ les éléments de $\Omega$).
Prenons par exemple un monde restreint aux seuls résultats possible de deux lancers d'une pièce. Alors, $\Omega = \{FF, FP, PF, PP\}$ et l'événement "le premier lancer donne face" est $A=\{FF,FP\}$ alors que l'événement les deux lancers sont identique est l'ensemble $A=\{FF,PP\}$. Une mesure de probabilité est donc la donnée d'une "mesure" de ces ensemble. Une variable aléatoire est une fonction de $\Omega \to \mathbb{R}$. Si on veut par exemple modéliser une expérience on on attribue $10$ points à 'Face' et 3 points à 'Pile' et qu'on veut connaitre la somme de points après les deux lancers, alors, on définira $X$ par $X(FF)=20$, $X(FP)=X(FP)=13$, $X(PP)=6$.
Maintenant, un point qui peut apporter la confusion quand on abordre cette axiomatique est que, souvent, on omet $\omega$. Par exemple, pour parler de l'événement E : 'j'ai obtenu plus de 13 points', on va noter ça $E=\{X \geq 13\}$ (c'est incorrect de comparer une fonction et un nombre), alors que la notation plus rigoureuse (et plus longue) est $E=\{\omega \in \Omega \ | \ X(\omega) \geq 13 \}$. On s'habitue néanmoins assez rapidement à cette convention.
Le terme aléatoire est très important. Malgré mes recherches je ne l'ai vu défini nulle part dans les cours. Et même le contraire, quand on lit "quelle loi de hasard". Le paradoxe de Bertrand et la levée de bouclier que provoquent les discussions à ce sujet en sont une preuve supplémentaire.
Dans l'axiomatique de Kolmogorov, est qualifié d'aléatoire toute variable dont la valeur dépend de $\omega$. En quelque sorte, il faut qu'on connaisse l'état du monde pour connaitre la valeur de la variable. Le hasard, au sens "philosophique" ou courant du terme, n'est pas définit dans l'axiomatique de Kolmogorov.
Le paradoxe de Bertrand ne peut être entièrement compris sans une bonne connaissance de la théorie de la mesure.
Pourquoi [variable] réelle, on pourrait très bien avoir des variables appartenant à N ?
Jusqu'à preuve du contraire, $\mathbb{N}\subset \mathbb{R}$. La définition que j'ai donnée s'accommode très bien d'une variable qui ne prend que des valeur entière, ou que 0 et 1, etc.
Indépendantes, c'est vrai, mais j'ai un contre-exemple.
Identiquement distribuées. Bien sûr on comprend ce que ça a envie de vouloir dire, mais ça contredit en quelle que sorte le terme "aléatoire".
Quel est le contre-exemple ?
En quoi ça contredit le terme aléatoire ?
Si je prend 100 personnes assez semblables, que je leur donne des pièces identiques et que je leur demande de jeter la pièce, est-ce que les résultats des lancers ne sont pas indépendants et identiquement distribués ?
Variable indépendante et de même loi. Là c'est la notion de "même loi" qui est floue. Cela sous-entend qu'on connait la loi OUI ou NON ? Qu'on peut l'écrire sous forme mathématique ? Par exemple, le tir sur cible, quelle est la loi ? Quel est le nombre réel qu'on peut écrire pour caractériser un tir ?
La notion de loi n'est absolument pas floue. Elle a une définition très précise.
La loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est la mesure de probabilité, notée $\mathbb {P} _{X}$, définie par $\mathbb {P} _{X}(B)=\mathbb {P} {\big (}X^{-1}(B){\big )}=\mathbb {P} (X\in B)$. Maintenant, quand je parle de la loi de distribution d'une variable (qui existe), ça ne veut pas dire que je peux l'écrire via des fonctions connue (type exponentielle pour la gaussienne). Je sais qu'il existe une loi de distribution des cours des actions, ça ne veut pas dire que je la connais (je serai riche sinon).
Moyenne arithmétique. Ca c'est le point fondamental. Pourquoi l'appelle-t-on "moyenne empirique", par pudeur ou pour laisser un flou artistique sur ce choix. Pourquoi on adopte la moyenne arithmétique ? J'ai posé très souvent la question, parce que c'est fondamental, généralement je n'ai pas de réponse, mais je me souviens d'une particulièrement savoureuse "ça dépend", une autre "fais comme tu veux".
Cela vient de multiples confusions. D'abord parce qu'on avait tendance à appeler l'espérance mathématique par "moyenne". Et donc, en statistique, on calculait la moyenne "empirique", au sens obtenue depuis un échantillon, pour estimer la moyenne mathématique (donc au sens espérance). Donc, "moyenne arithmétique d'un échantillon de donné" est synonyme de "moyenne empirique du même échantillon". Le terme "moyenne arithmétique" pouvant s'appliquer à des classes d'objets plus vaste, et notamment à des fonctions (moyenne arithmétique des variables aléatoires).
Je ne comprends pas la question "Pourquoi on adopte la moyenne arithmétique". Ce que j'ai, c'est que la moyenne arithmétique est un estimateur sans biais (converge à l'infini) de l'espérance mathématique. Je ne vois pas qui est ce 'on', ni ce que signifie 'adopte'.
Pour moi, c'est la loi des grands nombres.
Si tu as tes propres définitions et conventions, tu risques de ne pas comprendre et mal te faire comprendre des autres. La LGN est une chose, le théorème de Glivenko-Cantelli en est une autre.
Le TCL. Suivant mes lectures, Kolmogorov ne l'utilise pas. N'y aurait-il pas une petite contradiction ?
ça veut dire quoi : il ne l'utilise pas ? Ou aurait-il dû l'utiliser ?
Le TCL se démontre très bien dans le cadre de l'axiomatique de Kolmogorov. C'est un peu comme si tu disais que comme le théorème de Pythagore n'est pas mentionné dans les axiomes d'Euclide, alors il y a une contradiction !
Suivant les cas, soit me dit "mais non, c'est en moyenne", ou "mais non, c'est la somme". Là c'est marrant, tu n'emploies pas l'expression "loi normale". Pourtant c'est bien de ça qu'il s'agit. On pourrait résumer grossièrement "tout phénomène aléatoire tend (ou converge) vers la loi normale". C'est tout de même plus simple, tu crois pas ?
J'ai lu tout les échanges que tu as eu sur ce forum et il me semble pas avoir relevé de contradiction de la part de tes interlocuteurs. La somme de $n$ variables est égale à $n$ fois leur moyenne arithmétique. Si la moyenne arithmétique suit une loi normale de paramètre $\nu$ et $\sigma$, alors la somme suite une loi normale de paramètres $n\nu$ et $\sigma\sqrt{n}$.
Non, ton résumé est strictement faux.
Si on note $X_i$ les variables aléatoires IID, qu'on définisse ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\frac {(X_{1}+X_{2}+...+X_{n})}{n}}}$ et
${\displaystyle \mathrm {Z} _{n}={\frac {{\overline {\mathrm {X} }}_{n}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}}$, alors, le TCL dit que $Z_n$ converge vers une variable normale centrée réduite (donc de paramètre 0 et 1).
Les $X_i$ sont par définitions identiquement distribués. La loi de $X_n$ quand $n \to \infty$ sera toujours la même. Le phénomène qui fait tomber la pièce sur Pile ou sur Face ne va pas changer. D'ailleurs, il ne serait pas possible de parler d'une distribution normale des Pile ou Face. La distribution normale ne s'applique qu'a des variables aléatoires continues (pour une V.A. $X$ qui suit la loi normale, on a $\forall a \in \mathbb{R}, P(X=a)=0$. On parle de diffusion, la probabilité est toujours diffuse autour d'un point. On parle également de densité de probabilité : $P(X \in [a, a+da])=f(a)da$).
Pour le paradoxe de Bertrand, le lien donné par freddy donne une très bonne explication, je ne ferais pas mieux.
#862 Re : Café mathématique » La loi des grands nombres » 17-07-2016 14:53:46
Comme j'ai eu l'occasion de l'écrire, il y a trois théorèmes qui sont bien distincts :
La loi des grands nombres, dans sa version faible et forte : Ce théorème s'applique à une suite de variables aléatoire réelles indépendantes et identiquement distribuées. Il dit que la moyenne arithmétique de ces variable converge (en loi ou presque surement) vers l'espérance commune des variables (c'est garanti du 'identiquement distribuées'). Les autres caractéristiques sont d'égale importances :
1- Variable aléatoire réelle : On considère un nombre aléatoire, pas un label ou un événement. Un réel, élément de $\mathbb{R}$, un truc qu'on peut sommer par un autre truc et diviser par un autre non nul.
2- I.I.D : les variables aléatoire sont indépendantes et de même loi (dans le version faible, on peut se contenter de l'égalité des deux premiers moments : espérance et variance).
3- Variable qui converge : moyenne arithmétique (il n'y a aucune ambiguité dans ce terme) et type de convergence (en loi ou presque surement). Difficile d'expliquer ces termes si tu ne connais pas la théorie de la mesure de Lebesgue.
Ensuite, à partir de ce théorème, on peut établir le théorème fondamental de la statistique, dit encore théorème de Glivenko-Cantelli qui dit que la fréquence d'un événement converge vers sa probabilité. Le principe de la démonstration est assez simple : on associe à chaque événement (par exemple obtenir Face) la variable aléatoire réelle qui prend la valeur 1 si l'événement se réalise et zéro sinon. On voit bien que la moyenne arithmétique de ces variables aléatoires va coïncider avec la fréquence de l'événement en question. Et c'est la clé de la démonstration, utilisée également dans le papier que tu m'indiques. Ce qu est malheureux, c'est que l'auteur appelle ce résultat 'Loi des grand nombres' alors que c'est une conséquence de la loi des grands nombres.
Ensuite, le théorème Central limite, dont le cadre d'application est celui de la loi des grands nombres, à savoir une famille de variables aléatoires réelles I.I.D, permet de donner la loi limite de l'écart entre la moyenne arithmétique et l'espérance mathématique (normalisé par $\sigma \sqrt{n}$). Ce théorème est très utilisé pour donner un intervalle de confiance de l'erreur qu'on commet on prenant comme estimateur de l'espérance, la moyenne arithmétique. La loi des grand nombre nous permettant déjà de savoir que cette moyenne arithmétique est un estimateur sans biais de l'espérance.
Concernant tes définition de mesure est observation, je t'ai déjà dit que les trouve non rigoureuses et inapplicables.
Tu commences par dire qu'une mesure est une quantité à laquelle on peut appliquer les opérations arithmétiques. Tu joues sur le flou du langage. C'est quoi une quantité ? Si c'est la notion familière de nombre, à quoi sert cette qualification de "on peut lui appliquer les opérations arithmétiques", c'est déjà garanti pour les nombres ? si c'est autre chose, il faut la définir.
Tu pars ensuite dans un truc tout aussi flou de grandeurs physique extensives et intensives pour exclure la température de ton domaine d'étude. Donc, par exemple, si je veux faire une expérience impliquant la mesure de la température d'un objet donnée (on raisonne pour un masse fixée) que je bombarde avec un laser par exemple, en faisant varier la longueur d'onde, je ne peux pas !!!
Puis, tu définis l'observation comme un synonyme de mesure mais qu'on doit distinguer de temps à autre !!
Tu masques tout simplement ta non connaissance du cadre axiomatique des probabilité en inventant des notions floues. Dans le cadre axiomatique, on parle d'événements (j'obtient 3 fois pile au bout de 5 lancer, le température est comprise entre 10 et 50, il fait beau, ...) et de variables aléatoires réelles (qui sont des fonctions de l'ensemble $\Omega$ vers $\mathbb{R}$). Les événements sont des sous-ensemble de $\Omega$ et la probabilité est une mesure (au sens de la théorie de la mesure) sur ces ensembles (elle respecte $0 \leq P(A) \leq 1$, $P(\Omega)=1$ et la propriété de $\sigma$-additivité : la mesure d'une union d'événements disjoints deux à deux est la somme des probabilités.
#863 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Petit pb d'arithmétique » 17-07-2016 13:54:04
Pour ne pas risquer la guillotine (il y en a qui se reconnaîtront), je publie la solution de ce petit exercice.
Bravo à l'auteur dont je ne connais pas le nom.
#864 Re : Café mathématique » La loi des grands nombres » 17-07-2016 12:14:59
Soit une expérience réalisée un grand nombre de fois. La loi des grands nombre dit que le résultat tend vers sa probabilité.
à comparer à
La loi faible des grands nombres est également appelée théorème de Khintchine (rarement utilisé).
On considère une suite ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}} $ de variables aléatoires indépendantes définies sur un même espace probabilisé, ayant même variance finie et même espérance notées respectivement $V(X)$ et $E(X)$. La loi faible des grands nombres stipule que, pour tout réel $\varepsilon$ strictement positif, la probabilité que la moyenne empirique ${\displaystyle Y_{n}\equiv {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}} $ s'éloigne de l'espérance d'au moins $\varepsilon$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini.
Théorème — ${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\quad \lim _{n\to +\infty }\mathbb {P} \left(\left|{\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}-E(X)\right|\geqslant \varepsilon \right)=0.}$.
Autrement dit, ${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}$ converge en probabilité vers $E(X)$.
Ce résultat est très important en statistique, puisqu'il assure que la moyenne empirique est un estimateur convergent de l'espérance.
A un moment, quand on veut faire des mathématiques, et pour éviter toute confusion, il faut formaliser éviter le floue inhérent au langage.
C'est quoi le résultat d'une expérience ?
Pourquoi un résultat (qui à priori pourrait être un nombre quelconque) convergerait-il vers une probabilité ?
Il converge dans quel sens, en loi, presque surement ?
La démonstration de la loi faible est donnée ici et celle de la loi forte ici. Est-ce que tu as une formalisation mathématique de ce que tu avances (ne me renvoi pas vers ton site, j'ai lu ton papier et il n'y a pas le début du commencement d'une formalisation mathématique) et d'éventuelles démonstrations ?
#865 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Un jeu débile » 17-07-2016 11:36:22
@freddy : Nope
#866 Re : Café mathématique » La loi des grands nombres » 16-07-2016 12:42:39
Oui, je suis d'accord. Mon point est que j'ai pris l'habitude de taper le dollar et du coup je vais très vite comme ça.
Il y avait aussi mon autre argument pour le copier/coller depuis un texte LateX. Par exemple, le pb que Freddy a posé, je travaille dessus dans www.writelatex.com. Si jamais je trouve un truc (ce qui n'est pas garanti à ce stade, mais ça, c'est une autre histoire !), je pourrais rapidement le poster sur le forum, sans avoir à faire des transformations.
#867 Re : Café mathématique » La loi des grands nombres » 16-07-2016 10:22:35
@Yoshi,
La thématique étant toujours aux probabilités, la probabilité que j'aie à taper \displaystyle est quand même très faible (voire nulle me concernant, car je garde la présentation par défaut de Latex). De plus, il me semble que Fred avait répondu qu'il était possible qu'il fasse quelque chose.
Par ailleurs, je rédige régulièrement des papiers en LateX, et j'ai pris l'habitude de taper au kilomètre en utilisant le dollar. Devoir s'arrêter, sélectionner un texte et cliquer sur une icone, c'est une perte de productivité certaine.
Imagine sous Python, si à chaque fois que tu veux taper un mot clé du langage, tu devais sélectionner une zone de texte et cliquer sur un menu !
#868 Re : Café mathématique » La loi des grands nombres » 15-07-2016 21:13:00
@yoshi
En ajoutant la balise \displaystyle, on arrive au même résultat avec la monnaie de l'oncle Sam : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \mathbb{E}(X_n) > X_0$
C'est le look and feel $\LaTeX$ qui veut ça (pour ne pas générer des interlignes trop grandes)
#869 Re : Café mathématique » La loi des grands nombres » 15-07-2016 19:40:01
La "paradoxe" de St-Petersbourg est plutôt lié au problème d'espérance infinie.
Il me semble que l'exemple doit montrer une espérance de gain positive et un ruine certaine. Chose que je formaliserai comme
un processus stochastique $(X_n)$ représentant la fortune du joueur ($X_0$ déterministe et positif) avec $\lim_{n \to +\infty} \mathbb{E}(X_n) > X_0$ et $P\left[\inf \{n\ |\ X_n \leq 0 \} < +\infty \right]=1$.
#870 Re : Café mathématique » Dlzlogic et les probabilités vs les forums de maths » 15-07-2016 19:09:31
Ou alors il faut m'expliquer ce que ça change que le présentateur ait su ou pas qu'il allait ouvrir une mauvaise porte change, puisque la porte ouverte ne cache pas le trésor et que le candidat le voit.
D'abord, je ne dis pas que le présentateur sait ou pas qu'il va ouvrir une mauvaise porte. Je dis que le présentateur ignore où se trouve le trésor. Il arrive donc que de temps à autre (avec une proba de 1/3), il ouvre la porte du trésor. Dans ce cas, que le candidat change ou pas, ça ne change rien (c'est le cas de le dire), il sera perdant. Ton programme ne prend pas en compte ce cas (c'est normal, il est programmé pour la variante "télé" du jeu).
#871 Re : Café mathématique » Dlzlogic et les probabilités vs les forums de maths » 15-07-2016 16:48:53
@yoshi : Notre ami Dzl étant coutumier des approximations, je me permet d'ajouter mon grain de sel (ou de sable) dans cette discussion.
Dans la version "populaire" du jeu (Let's make a deal, et Bigdil pour l'adaptation française), le candidat connait toutes les règles, et notamment que le présentateur va ouvrir une portant ne cachant pas de trésor. Je ne vois l'intérêt d'un jeu télévisé où le candidat choisirait une porte et verrait le présentateur ouvrir une autre porte sans qu'il soit au courant que ce dernier ne risque pas de dévoiler le trésor (est-ce que le présentateur joue également et pourrait gagner s'il ouvre la bonne porte ? Ce candidat a-t-il été mis à l'isolement et n'a jamais regardé le jeu avant en tant que spectateur ?).
Une variante, inventée uniquement à des fins de discussion, suppose que le présentateur ne sait pas où se trouve le trésor. Et donc, la question est : si la porte ouverte par le présentateur ne contient pas le trésor, le candidat a-t-il intérêt de changer ? La réponse est non dans ce cas.
Ce que tu as simulé (ou du moins c'est ma compréhension), suppose toujours que le présentateur ouvre une porte vide (tu incrémentes le gain en cas de changement et de mauvais choix initial).
Il n'est pas précisé ce qui se passe quand le présentateur choisit (ça arrive une fois sur 3) la porte cachant la voiture. Si le jeu recommence, alors on est ramené au jeu initial (on peut tout simplement ignorer les essais fructueux pour le présentateur).
#872 Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Un jeu débile » 15-07-2016 16:13:20
- Yassine
- Réponses : 35
Le thème du moment étant les probabilités, je vous propose cet exercice glané sur le net.
Je dois vous avouer que bien que je comprend la solution, je me surprend régulièrement à dérouler la réponse naïve (et fausse) de cet exercice.
Et donc, par pur sadisme, je vous donnerai la réponse naïve pour qu'elle vienne perturber votre réflexion.
On considère un jeu qui se joue à deux joueurs. Le premier joueur choisit deux nombres réels distincts comme il lui plaît (insistons bien sur ce point : les nombres ne sont pas nécessairement tirés au hasard). Puis il tire à pile ou face : si la pièce tombe sur pile, il communique le plus petit nombre au second joueur, sinon, il lui communique le plus grand. C'est la seule information dont dispose le second joueur. Son but est de déterminer si la pièce était tombée sur pile ou face, autrement dit, si l'autre nombre était plus grand ou plus petit.
On demande s'il existe une façon pour le second joueur de faire son choix qui lui assure d'avoir raison avec une probabilité strictement supérieure à 1/2.
Réponse naïve (et fausse)
C'est absolument impossible ! Tout ce qu'on communique au second joueur, c'est un nombre réel, et on lui demande de déterminer si un autre nombre réel (absolument sans rapport, et qui ne lui est pas donné) est plus grand ou plus petit. C'est absurde !
Votre mission, si vous l'acceptez, c'est de trouver une procédure (recourant éventuellement au hasard) qui donne un léger avantage au second joueur.
#873 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Peut - on battre le hasard ? » 15-07-2016 15:54:00
Toujours pas de progrès sur ce problème.
Je suis parti sur une piste que me semble très compliquée et je ne suis pas sûr de voir le bout !
@freddy : petite demande d'indication : est-ce que la solution est genre deux lignes où est-ce un développement un peu plus long ?
#874 Re : Entraide (supérieur) » tan(x) - x » 14-07-2016 17:41:55
#875 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Peut - on battre le hasard ? » 11-07-2016 16:16:19
ça semble intéressant comme problème.
Juste pour préciser : $x$ positif, c'est $x > 0$ ou $x \geq 0$ ?
Je ne sais pas d'ailleurs s'il y a une convention largement établie régissant l'emploi de positif, strictement positif et positif ou nul ?