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Rebonjour,

Question : Comment concrètement définir deux vecteurs orthogonaux $\vec {v_1}$ et $\vec {v_2}$, tous deux orthogonaux au vecteur normal $\vec n(a, b,c)$, et ayant pour origine le centre $C(\alpha, \beta, \gamma)$ ??

En effet, leurs coordonnées $(x_1, y_1, z_1)$ et $(x_2, y_2, z_2)$ doivent vérifier les équations suivantes :
$a(x_1 - \alpha) + b(y_1 - \beta) + c(z_1 - \gamma) = 0$     ($\vec {v_1}$ orthogonal à $\vec n$)
$a(x_2 - \alpha) + b(y_2 - \beta) + c(z_2 - \gamma) = 0$     ($\vec {v_2}$ orthogonal à $\vec n$)
$(x_1 - \alpha)(x_2 - \alpha) + (y_1 - \beta)(y_2 - \beta) + (z_1 - \gamma)(z_2 - \gamma) = 0$     ($\vec {v_1}$ orthogonal à $\vec {v_2}$)

Merci d'avance de vos indications

Bonjour à tous,

GeoGebra 3D trace bien le cercle indiqué de centre (1,1,1), de rayon 4 et de vecteur normal (1,1,1) mais j'ai du mal à le voir dans la bonne perspective.

Oups ! Je me suis rendu compte que j'avais oublié les coordonnées du vecteur $\vec n$.

Donc, l'équation qui réunit les deux équations, celle de la sphère et celle du plan, est :
$\left[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 - r^2 \right]^2 + \left[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) \right]^2 = 0$

Bonjour Doc,

Excuse-moi, je n'ai pas répondu de suite car j'étais en vacances à Saint-Malo durant la semaine.

Entièrement d'accord avec ton approche !
Certains énoncés introduisent la réponse de façon plus voilée en utilisant dans une question une expression devant normalement être calculée précédemment par l'élève.
Mais "Sachant que" est mieux.

J'explique souvent à mes élèves qu'ils ont tout intérêt, preuve à l'appui, à immédiatement tirer le maximum de déductions des informations données en début d'exercice, avant même de lire la première question. En effet, ce travail préparatoire permet ensuite de répondre à une bonne partie, si ce n'est à la totalité, des questions.
Et il est toujours plus facile de répondre à une question à laquelle on a déjà répondu !  :-)

J'ai à maintes reprises rencontré des exercices qui se traitaient d'emblée en totalité à partir des seules informations données en début d'énoncé. (L'élève était tout étonné(e) de voir que les questions ne servent en fait qu'à tenir la main, et n'apportent rien de plus.)
Parfois, seule la dernière question — la seule intéressante, en réalité — peut faire preuve d'une certaine originalité inattendue.

C'est intéressant : cette expression, qui se traduit dans sa logique par « un point, plus un vecteur, plus un autre vecteur », utilise la notation $A + \vec u$ qui a fait débat dans la discussion https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=16728 intitulée « Coordonnées d'un point/espace affine, que j'utilise maintenant couramment avec mes élèves, et en pensée lorsque je leur écris des explications d'exercices, notamment dans la version $\vec {AB} = B - A$.

Tout d'abord, ne rencontrant avec mes élèves que des plans et des points correspondant à des situations particulières (donc avec des coefficients explicites), je n'avais pas véritablement mémorisé que le terme constant est tout simplement égal à $-ax_0 - by_0 - cz_0$ !
(Je l'avais bien sûr vu en passant quelque part, mais ne l'avait pas suffisamment intégré pour l'appliquer dans mes cours.)

La forme $a(x -x_0) + b(y - y_0) +c(z - z_0)$ est BEAUCOUP plus explicite que la forme traditionnelle $ax + by + cz + d = 0$.
Pourquoi fait-on apprendre la seconde et pas la première ??!!

Pour en revenir à l'article, la représentation paramétrique $p + r\cos t \vec (v_1) + r\sin t \vec (v_2)$ me plaît beaucoup car elle entre dans la même logique que la représentation paramétrique d'une droite, d'un plan, ou d'un cercle dans le plan $Oxy$ !
Je vais très probablement la tester à mon retour des petites vacances que je m'offre à Saint-Malo de demain à lundi.

Pour ce qui est de la seconde représentation $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2$   avec  $(x - x_0) + (y - y_0) + (z - z_0) = 0$ , qui effectivement correspond à l'intersection de la sphère de centre $(x_0 , y_0, z_0)$ et de rayon $r$ avec le plan de vecteur normal $\vec n$ passant par le centre, comment concrètement réunir les deux équations ??

Concernant la troisième façon de faire, je ne comprends pas bien en première lecture ce que signifie "équation dégénérée".
Mais l'équation répond, semble-t-il, à ma question ci-dessus. Un peu comme dans le plan, en exprimant $y$ en fonction de $x$ par $(y - y_0)^2 = R^2 - (x - x^2)$ qui, de fait, fait implicitement la "jonction" de deux demi-cercles à diamètre horizontal. C'est en ce sens qu'il faut comprendre "équation dégénérée" ?

Comment alors déterminer exprimer cette intersection ??

C'est peut-être la bonne explication à ce manque d'homogénéité. Bon diagnostic, Docteur !  :-)

C'est vrai qu'on pourrait trouver plein de synonymes et de périphrases pour les maths :
Pourquoi, par exemple, toujours utiliser "équation" alors qu'on pourrait l'appeler "question d'appartenance d'une variable à un ensemble de solutions"  ?

PS : J'aime beaucoup la précision entre parenthèses...  :-)
J'aime aussi «  ça trifouille, ça bafouille, ça tambouille »

Bonjour DeGeer,

Ah oui, j'avais oublié Justifier !

Je l'ai donc ajouté au titre de la discussion.

Merci grandement de ces explications qui me permettent de mieux asseoir ma propre compréhension. (Et donc ma capacité à expliquer ! On ne comprend réellement quelque chose que si on sait l'expliquer !)

Le problème de fond est que ces raisonnements sont véritablement plus ou moins expliqués en Terminale, non pas en option Maths, mais en Maths expertes. Et je sais par expérience qu'ils déroutent la minorité d'élèves qui maintenant suit cette "filière".

Donc, oui, on peut voir « des tas d'élèves qui font des flèches partout » sans comprendre !

Cette équivalence ouvre en effet de belles perspectives de raisonnement.

Ô combien !! Je dis très souvent à mes élèves « La matière la plus importante en maths est le français, et francise, et surtout leur demande de franciser dans une langue simple, accessible à une "Madame Michu", les formules dont on les gave ad nauseam.

Merci pour le lien. Je m'y plongerai.

PS : Dans la mesure où le sujet peut intéresser pas mal de lycéens, je vais prolonger explicitement cette discussion en en créant une autre intitulée « Quelles différences entre démontrer, montrer, vérifier ? »
A tout à l'heure, donc, dans cette discussion.

Merci Glozi pour ces explications pédagogiques, et merci d'avoir pris la peine de les rédiger ! (J'aimerais trouver ce genre d'explications sur les notes de cours et les polycopiés de mes élèves....)
Et pardon de n'y avoir pas répondu plus tôt faute de disponibilité.
(Merci aussi à Tripolis, Bernard, DeGeer, Damien.Gomes et Roro.)

Compris ! Merci.

Je perçois cependant comme une certaine confusion, qui me déplaît, entre le symbole $\Leftrightarrow$ utilisé en tant que "si, et seulement si", comme c'est le cas dans ce paragraphe, et le même symbole utilisé à tout bout de champ en tant qu'équivalence de calcul. J'y reviendrai dans un instant.

Tout à fait d'accord ! Je déteste l'obligation faite aux élèves d'aligner toute une série de $\Leftrightarrow$ à chaque étape de calcul. Je préfère la formulation "par équivalences successives".
D'autant plus que, oui, il faut attentivement veiller à ce qu'on « puisse logiquement déduire ce qui se trouve à droite de ce qui est à gauche et vice versa ».
On leur demanderait d'écrire systématiquement #@$% , obligatoirement dans cet ordre, qu'ils comprendraient tout autant la signification réelle du symbole.

C'est là où je bloque : $3x = 9$ entraîne $x = 3$ parce qu'on a besoin d'exprimer $x$.
Mais cette égalité entraîne aussi $12x + 1 = 37$ si on a besoin d'exprimer d'exprimer $12x + 1$.

A l'inverse, à partir de $x = 3$ on peut déduire une infinité d'égalités, par exemple $x^3 - 2 = 25$ si on a besoin dans le calcul d'exprimer $x^3 - 2$.

J'ai peut-être mal compris, mais pour moi équivalence signifie qu'une expression entraîne nécessairement l'autre : par exemple, les affirmations

« En géométrie plane, si un triangle est rectangle, le carré de la longueur du plus grand côté — je ne le désigne volontairement pas par "hypoténuse" pour pouvoir utiliser l'affirmation réciproque — est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. »

et

« En géométrie plane, si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, le triangle est rectangle.»
sont équivalentes, car l'une implique nécessairement l'autre.

(Je précise "En géométrie plane" car je m'amuse à demander à mes élèves d'imaginer un triangle avec trois angles droits. :-)

Tout est dans le ET ! C'est précisément ce ET qu'oublient les élèves ! (Et moi-même, si je n'y prends pas garde.)

Tout à fait ! Bien compris ! Je retiens l'exemple pour l'expliquer.

Tout à fait ! Bien compris !

Je retiens l'exemple pour l'expliquer.

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En définitive, j'indiquerai systématiquement à mes élèves qu'ils doivent par précaution limiter par $0$ une inégalité relevant d'une inversion, sauf s'il n'y a aucun risque d'ambiguïté.
Et les renverrai à cette discussion.  :-)

Bonne semaine à tous.

On va peut-être réussir à se mettre d'accord :

L'objet de ma discussion n'était absolument pas de m'interroger sur le bien-fondé en logique formelle de telle ou telle assertion, et je ne me rendais absolument pas compte en la rédigeant que j'allais provoquer un débat aussi "savant".

Je voulais simplement prévenir les élèves lycéens qu'une résolution de type $\dfrac 1 x > \dfrac 1 4 \Rightarrow x < 4$ est fausse !!  (La résolution, pas l'implication !!)

Quant aux équivalences, je ne comprends absolument pas cette "équivalentite aiguë" qui consiste à écrire dans le développement d'un calcul une succession d'équivalences se terminant, par exemple, par
$3x = 9 \Longleftrightarrow x = 3$
car il ne me semble pas que $x = 3$ entraîne de facto, et de façon unique, $3x = 9$ .