Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour Michel,

Effectivement, j'aurais pu venir à bout du calcul par moi-même. (Pardon de te décevoir !)
Mais ne sachant véritablement quelle direction prendre, et rédigeant mes calculs sur des brouillons brouillons, de plus avec une certaine fébrilité énervée, je n'avais pas suffisamment de hauteur et de calme pour comprendre l'enchaînement des calculs à appliquer, et voir leur structure.

Pour mieux les maîtriser, je me permets de détailler ici tes calculs, dont je te remercie vivement.

J'étais arrivé à l'égalité inverse de celle de Michel (pour moi, il était naturel de placer la racine à gauche car c'est elle que je devais élever au carré) ; je continuerai donc en suivant mon écriture initiale (en revenant aux coefficients initiaux :-).

$ 2 \sqrt {(x^2 + y^2 + 2f^2)^2 - 4f^2(x+y)^2} = 2(x^2 + y^2 + 2f^2) - k^2 $

En élevant les deux membres au carré, on obtient :
$ 4 \left[ (x^2 + y^2 + 2f^2)^2 - 4f^2(x+y)^2 \right] = \left[2(x^2 + y^2 + 2f^2) - k^2 \right]^2 $

En développant le membre de gauche par distributivité et le membre de droite par développement du carré de la somme de deux termes, on obtient :
$ 4(x^2 + y^2 + 2f^2)^2 - 16f^2(x + y)^2 = 4(x^2 + y^2 + 2f^2)^2 + k^4 - 4k^2(x^2 + y^2 + 2f^2) $

soit
$ - 16f^2(x + y)^2 = k^4 - 4k^2(x^2 + y^2 + 2f^2) $

soit encore
$ -16f^2(x^2 + y^2 + 2xy) = k^4 - 4k^2(x^2 + y^2) - 8k^2f^2 $
$ -16f^2(x^2 + y^2) - 32f^2xy = k^4 - 4k^2(x^2 + y^2) - 8k^2f^2 $

Comme le produit $xy$ est égal au coefficient $a$, et est donc constant, les termes en $x^2 + y^2$ des deux côtés doivent s'annuler, ce qui signifie qu'on doit avoir l'égalité
$ -16f^2(x^2 + y^2) = 4k^2(x^2 + y^2) $
ce qui entraîne que $k^2 = 4f^2$ et donc $k = 2f$

L'égalité précédente devient alors ($xy = a$)
$ -32f^2a = 16f^4 - 32f^4 $
$ -32f^2a = -16f^4$
d'où $f^2 = 2a$  et $f = \sqrt{2a}$

Les coordonnées des deux foyers sont donc $(\sqrt{2a} , \sqrt{2a})$  et $(-\sqrt{2a} , -\sqrt{2a})$
et la constante $k$ exprimant la différence des distances d'un point de l'hyperbole à ses deux foyers est égale à $2f$, soit $2 \sqrt{2a}$.

Géométriquement parlant, comme $ \sqrt{2a}$ est la distance entre le centre de l'hyperbole et un de ses sommets, pour déterminer précisément l'emplacement des foyers sur une hyperbole tracée sans aucune indication sur les axes, il suffit de tracer le cercle tangents aux sommets. Les intersections de ce cercle avec les deux axes indiquent les coordonnées des foyers.
D'autre part, la différence, en valeur absolue, des deux distances entre un point de l'hyperbole et ses deux foyers est tout simplement égale à la distances entre les deux sommets de l'hyperbole.

https://www.cjoint.com/c/NBqqmBKs0qD

Je sens que j'ai avoir plaisir à expliquer la fonction de référence $f(x) = \dfrac 1 x$, en particulier en leur montrant cette interprétation graphique !  :-)

Pour ce qui est des calculs, je vais apprendre à les maîtriser et les proposerai à des élèves de Terminale souhaitant intégrer une Prépa scientifique. (Cela leur donnera l'occasion de pratiquer le développement du carré de la somme d'un nombre quelconque de termes, et de mener jusqu'au bout un calcul long, bien au-delà de ce qui est demandé en DM.)

Bonsoir tout le monde, et en particulier Michel, Rescassol, Bernard,

Michel semble surestimer les capacités calculatoires de Borassus, et sous-estimer le côté rebelle de ce même Borassus aux calculs longs et fastidieux.  :-)
Merci, néanmoins, Michel ! Cela fait plaisir d'être autant apprécié.  (Aïe, mes chevilles ! :-)

Je me suis donc dit qu'il faut procéder autrement. (Je considère la courbe $y = \dfrac k x$, avec $k$ positif, pour pouvoir utiliser la distance entre le centre de l'hyperbole et l'un des sommets, généralement notée $a$.)

Les coordonnées des deux sommets s'obtiennent en considérant qu'ils sont les intersections de l'hyperbole avec la droite $y = x$, soit $(\sqrt{k}, \sqrt{k})$ et $(-\sqrt{k}, -\sqrt{k})$.

La distance $a$ est égale à $\sqrt{2k}$.

Dans l'article de Wikipédia consacré à l'hyperbole, j'ai vu dans la section « Relations entre les grandeurs caractéristiques d'une hyperbole » que la distance entre le centre de l'hyperbole et un de ses foyers, généralement notée $c$, est égale au produit de la distance du centre de l'hyperbole à un de ses sommets par l'excentricité : $c = ae$.

Voilà qui est très intéressant !

Comme l'hyperbole est équilatère, son excentricité est égale $\sqrt{2}$.

Donc $c = \sqrt{2k}* \sqrt{2} = 2\sqrt{k}$.

Les coordonnées des foyers sont donc celles des intersections entre le cercle de centre $O$ et de rayon $2\sqrt{k}$, et la droite $y = x$ :

$x^2 + y^2 = 4k$  avec  $y = k$,
d'où  $2x^2 = 4k$  et $x^2 = 2k$.

Les coordonnées des deux foyers sont donc : $(\sqrt{2k}, \sqrt{2k})$  et  $(-\sqrt{2k}, -\sqrt{2k})$.   Voili, voilou !  :-)

Je vérifierai par la suite, si le cœur m'en dit, la définition bifocale de l'hyperbole $y = \dfrac k x$ en utilisant les calculs déjà effectués.

Bonne fin de soirée.

Je n'ai pu m'y plonger que peu de temps, et dois partir dans un quart d'heure en ne rentrant que ce soir.

En mettant au carré les deux côtés membres de l'égalité, j'aboutis au premier abord à une expression que je n'ai pas le temps de transcrire, mais qui ne me semble pas aisée.

Please, dans un premier temps, je n'ai fondamentalement pas besoin de retrouver les coordonnées par moi-même.

Pouvez-vous simplement m'indiquer les coordonnées des foyers ? (Comme cela, je saurai mieux comment y aboutir.)
Je ferai alors vérifier que la courbe $y = \dfrac a x$ correspond bien à la définition bifocale.

Merci d'avance

Bonjour Roro,

L'extrait que je cite est bien sûr tiré de la page indiquée. J'ai donc bien cliqué sur le lien.  :-)

Le « et ?? » signifiait « En quoi cette étymologie m'aide à trouver les coordonnées des foyers ? »

Compris. Là je dois sortir pour quelque temps.
Je continuerai à mon retour.
Mais je perçois bien la façon d'opérer.

Bonjour tout le monde, Michel et Bernard en particulier.

« Ça s'arrange très bien. »
C'est vite dit ! Après un développement fastidieux et demandant beaucoup d'attention, j'aboutis, sauf erreur de ma part, à
$2x^2 + 2y^2 + 4f^2 - 2\sqrt{x^4 + y^4 + 4f^4 + 2x^2y^2 - 8xyf^2} = k^2$

J'observe que $\left(x^2 + y^2 + 2f^2\right)^2 = x^4 + y^4 + 4f^4 + 2x^2y^2 + 4x^2f^2 + 4y^2f^2$

D'où
$x^4 + y^4 + 4f^4 + 2x^2y^2 - 8xyf^2 = \left(x^2 + y^2 + 2f^2\right)^2 -4x^2f^2 - 4y^2f^2 - 8xyf^2$
$= \left(x^2 + y^2 + 2f^2\right)^2 - 4f^2(x + y)^2$
$= \left(x^2 + y^2 + 2f^2\right)^2 - \left[2f(x + y) \right]^2$

Arrivé là, qu'est-ce que j'en fais de cette différence de carrés ??

J'avais bien sût vu cet article mais n'y avais pas a priori trouvé la réponse à ma question.

But de la question : pouvoir expliquer à des élèves de Seconde ou de Première pourquoi la courbe $y = \dfrac a x$ est appelée hyperbole.

:-)

Je ne dispose pas de manuels de l'époque et ne peux donc véritablement comparer de façon critique.
Mais je me rends compte en permanence des insuffisances, parfois criantes, des manuels actuels.
Quelques exemples, parmi beaucoup d'autres, qui me viennent à l'esprit car fréquemment rencontrés, en vrac :

• Exemples contredisant dans leur structure ce qui a été encadré et mis en gras juste auparavant
  Exemples types : définition du multiple et exemple en contradiction flagrante avec la définition ; formule du binôme de Newton selon les puissances croissantes de $a$, accompagnée des exemples  $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$  et $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

• Formules présentées comme définition alors qu'elles ne sont que des conséquences de la définition
  Exemple type, qui déroute beaucoup les élèves : la définition d'emblée du produit scalaire par une des formules de polarisation (ploum !)

• Non explication de la logique de base d'un concept
  Exemple type : la définition du nombre dérivé en $a$ — j'apprends aux élèves à raisonner plutôt en $x_0$ — en tant que limite du taux d'accroissement, sans expliquer ce qu'est un taux, et sans donc expliquer que le taux d'accroissement est une comparaison relative entre la variation de la fonction et la variation de la variable qui génère la première, et que ce taux devient un coefficient de proportionnalité, appelé nombre dérivé en $x_0$, lorsque la variable $x$ devient infiniment proche de la valeur $x_0$.

• Références historiques n'apportant rien à la compréhension car on n'explique pas la logique de pensée de tel ou tel mathématicien lui ayant permis d'aboutir à tel théorème ou à telle formule

• Contradiction entre une formule et le "titre" de la formule
  Exemple type : l'équation de la tangente présentée (bêlée...) un nombre incommensurable de fois selon le modèle $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ alors que l'équation réduite d'une droite est $y = mx + p$.
  Les élèves sont tout étonnés de comprendre que l'ordonnée à l'origine de la tangente est $f(a) - f'(a)a$ car l'équation développée à partir de la formule de départ est $y = f'(a)x + f(a) - f'(a)a$.

• Un nombre incalculable d'exercices qui ne servent à rien car trop guidés — je les appelle "exercices GPS" : au prochain carrefour, prendre la deuxième sortie ; au feu rouge, prendre la rue "Trucmuche-Machin" à gauche — et ne permettant donc pas d'en comprendre la logique. A la fin l'élève se retrouve avec un gros « Et ??? »
  (Je dis souvent « A force de vous tenir par la main, on ne vous apprend pas à marcher. »)

• Des éléments permettant de comprendre la véritable logique d'une notion ou d'une formule cachés dans des exercices, donc non vus par tous ceux qui ne s'y attaquent pas (et ceux qui les résolvent ne comprennent pas forcément l'enseignement à tirer)
  Exemple type que j'ai découvert récemment — j'ai même repéré en marge par « Enfin !!! » — la signification de l'équation de la tangente en tant qu'approximation du premier ordre, alors que j'explique d'emblée à mes élèves de Première les formules de Taylor et de Maclaurin.

• etc. , etc.

Tout à fait !

Mais maintenant, nous le comprenons de façon étayée.

On peut faire le parallèle avec dividende et diviseur : le dividende (constant) peut être divisé par tout un lot de diviseurs.

Bonjour Bernard,

Compris ! :-)

Oui, c'est vrai, j'ai tendance à être (fortement) prolixe.  :-)

Bonjour Doc,

Excuse-moi, je n'adhère pas vraiment à cette vision d'un certain "âge d'or" au cours duquel l'enseignement des maths était incomparablement meilleur que l'enseignement actuel :
J'ai rencontré bien davantage de personnes de ma génération — je vais sur mes 72 ans —, ou plus âgées, qui ont un très mauvais souvenir des maths, que de personnes, comme toi, ayant perçu l'enrichissement dont ils avaient bénéficié.

S'il te plaît, ne me fais pas dire ce que je ne dis pas :
Ce que je dis, c'est que la facilité du calcul littéral, et son omniprésence par des formules ayant valeur d'écriture sainte, sans remise en cause possible, ont induit des biais de logique et de cohérence, et ce à tous les niveaux, même les plus savants, à côté desquels je suis "nanoscopique".

Je reprends mon exemple de la fonction affine appliquée à une situation d'abonnement suivi de l'achat d'unités à un prix unitaire.
La traduction littérale classique est $ax + b$, dans laquelle $a$ désigne le prix unitaire, $x$ le nombre d'unités achetées et $b$ le coût de l'abonnement.
La formulation logique, et malheureusement parfaitement inhabituelle, est $b + x \times a$.

A quel processus d'achat ou de vente correspondrait une logique $ax + b$ ?
A un achat ou une vente de $a$ unités au coût unitaire variable $x$ plus une commission fixe $b$.
(Cela pourrait correspondre à l'achat ou à la vente d'un nombre donné d'actions à un moment opportun, même si le calcul de la commission boursière n'est en réalité pas si simple.)

Je suis d'accord qu'il faut effectivement justifier la bonne utilisation de tel ou tel théorème, lorsque cela a effectivement un sens. (Mais là, on entre dans un autre débat.)

Je veux comprendre par quelle opération magique $a = k \times b$ lorsque $a$ est multiple de $b$ — c'est-à-dire lorsque le reste de la division de $a$ par $b$ est nul —, et $a = bq + r$ lorsque le reste n'est pas nul !!

PS : "Queysanne" me disait quelque chose. J'ai effectivement sur une de mes étagères le livre de Michel Queysanne "Algèbre - 1er cycle scientifique - Préparation aux grandes écoles", imprimé en 1964 aux éditions Armand Colin, qui a été mon livre de travail lors de mon basculement de licence de russe calamiteuse vers les maths.