Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Pour moi, un jeu sans hasard n'est pas un jeu (il faut qu'il y ait incertitude sur l'issue de la partie).
Si les échecs étaient un jeu sans hasard, la seule incertitude serait donc de savoir qui tire le pion blanc !

Jolie polémique en perspective !

@Maleval
Désolé d'avoir un peu squatté ce sujet dont l'objet est finalement assez éloigné de la discussion entre Léon et moi.
Je n'ai rien de pertinent à dire sur les relations que tu as postées, ni sur la portée philosophique ou mystique de certaines identités mathématiques.

@Leon
Si jamais tu as un exemple, pourrais-tu plutôt ouvrir un nouveau sujet pour ne pas polluer celui-ci (quitte à mettre un lien pour ceux qui lisent ce fil et veulent suivre)

Il faut voir l'exemple. La période permet en réalité de ne s'intéresser qu'à une portion finie de la suite, le reste étant identique par périodicité. Je n'ai donc pas l'impression qu'on pourra vraiment formuler des événement portant sur le comportement à l'infini.

Pour l'exemple, c'est juste une variante des événements cylindriques que je mentionnais.
Le cadre fini permet déjà de répondre à l'exemple que tu donnes. Tu l'as juste présenté formellement sous des atours de cadre infini dénombrable.
Ce que je cherche, c'est un exemple avec des événements non cylindriques, donc qui portent sur des caractéristiques vraiment liées à l'infini.

-- EDIT --
D'ailleurs, dans ton exemple, $\Omega$ n'est pas $\mathbb{N}^*$, c'est plutôt $\displaystyle \cup_{N=0}^{\infty}\big( [\![1,5]\!]^N \times \{6\}\big)$ (qui est dénombrable en tant q'union dénombrable d'ensembles dénombrables). Et les événements auxquels tu t'intéresses sont en effet les singletons de cet ensemble.
Une autre approche est de considérer $\Omega = [\![1,6]\!]^{\mathbb{N}}$, l'équiper de la tribu générée par les événements cylindriques et de regarder la probabilité des événements cylindriques du type $A_k = [\![1,5]\!]^{k-1} \times \{6\}\times [\![1,6]\!]^\mathbb{N}$.
On retrouve d'ailleurs $\displaystyle P(A_k)=P( \{6\})\Pi_1^{k-1} P([\![1,5]\!]) = \frac{1}{6}(\frac{5}{6})^{k-1}$

-- CORRECTION --
Dans le cas où $\displaystyle \Omega = \cup_{N=0}^{\infty}\big( [\![1,5]\!]^N \times \{6\}\big)$, les événements que tu mentionnes ne sont pas les singletons de cet ensembles mais les ensembles $A_k = [\![1,5]\!]^{k-1} \times \{6\}$, la tribu est simplement $\mathscr{P}(\Omega)$. La probabilité d'un élément $\omega \in \Omega$ est alors donnée par $P(\{\omega\})=(\frac{1}{5!})^{\pi(w)}\frac{1}{6}$ où j'ai noté $\pi(\omega)$ l'unique entier $N$ tel que $\omega \in  [\![1,5]\!]^N \times \{6\}$

Je viens de lire quelques articles sur le Net. Je pense que j'avais quelques confusions entre la notion de "mesure" qui serait définie sur des parties dénombrables, et là, clairement, la définition via des série positives convergentes n'est pas satisfaisante, et des probabilités qui seraient définies sur un ensemble $\Omega$ dénombrable muni d'une tribu et d'une mesure des éléments de cette tribu.

Dans le cas de l'étude de l'écriture décimale des réels, on peut l'aborder de deux manières :
- étude du "poids relatif" des chiffres de '0' à '9'. Le meilleur cadre est à mon sens la densité qui a été donnée par Ostap, qui dans le cas trivial de la constante de Liouville donnera une densité de 1 pour le chiffre '0' et une densité nulle pour les autres chiffres
- cadre probabiliste pour poser des questions genre 'Quelle est la probabilité qu'un nombre $\in ]0,1[$ ait '1' dans son écriture décimale aux rangs pairs', il faut donc considérer $\Omega = \{0,1,\cdots,9\}^{\mathbb{N}}$ (qui n'est clairement pas dénombrable), l'équiper d'une tribu et d'une mesure.

Donc, une expérience de lancers infinis de dé (ou de choix aléatoire d'un chiffre en '0' et '9') ne rentre clairement pas dans le champs des probabilités "infini dénombrable". Un des article présente une probabilisation de cet espace comme suit :
- il considère chaque lancer $k$ comme probabilisé par $(\Omega_k=[\![1,6]\!], \mathcal{P}(\Omega_k), P_k)$ avec $P_k$ la probabilité uniforme par exemple.
- il considère ensuite $\Omega = \Pi_{k=1}^{+\infty}\Omega_k$ (lire produit cartésien
- il considère ensuite les événements "cylindriques" : un événement peut être vu comme $A = \Pi_{k=1}^{+\infty} A_k$ avec $A_k \subset \Omega_k$. Un événement est dit cylindrique si à partir d'un certain rang $k$, $A_k = \Omega_k$.
- il considère la tribu générée par les événements cylindriques et l'équipe de la probabilité $P(A)=\Pi_{k=1}^{+\infty} P(A_k)$. Le produit est bien défini car à partir d'un certain rang, $P(A_k)=1$.
La notion d'événement cylindrique limite néanmoins l'intérêt de cette approche, on ne peut envisager que des questions portant sur un nombre fini d'étapes (probabilité d'obtenir 1, puis 2, puis 5 fois 6 par exemple).

Je n'ai pas encore trouvé d'exemple concret (qu'on puisse rattacher à une expérience de pensée) d'un espace $\Omega$ infini dénombrable avec une tribu et une probabilité

Si je dois garder un point, c'est que les ensembles finis n'aient pas une mesure nulle.
Quand on s'intéresse aux propriétés d'ensembles infinis, ce qui se passe sur quelques points ne devrait pas changer notre point de vue.

Un exemple parmi d'autre pour illustrer pourquoi, bien que ça me coûte, je ne te réponds pas.
D'abord sur la rigueur du vocabulaire : un nombre ne peux pas être infini ou infini dénombrable. Un nombre est un nombre.
Sur le fond cette fois, pourquoi est-ce qu'un ensemble dont on ne peut pas calculer le cardinal (par manque d'information) peut être considéré comme "infini dénombrable" ?

J'ai bien précisé qu'il n'y a pas d'ordre canonique, donc impossible de fixer une bijection "canonique".

Supposons que j'aie un ensemble infini de patates avec différentes sortes (voir ici, je ne savais d'ailleurs pas qu'il y avait autant de sortes de pommes de terre) et que je sois en train de fixer des probabilités sur les parties de cet ensemble, il serait quand même curieux que mes probabilités dépendent de la manière dont j'ai numéroté les pomme de terre !

Justement, c'est tout le point.

Je connais assez bien les probabilités dans le cas fini et dans le cas continu. Je ne les connais pas dans le cas infini dénombrable.
ça heurte mon intuition de dire que les propriétés d'un ensemble infini (les nombres premiers par exemple) vont changer parce qu'on enlève quelques points. Deux ensembles infinis devraient avoir les mêmes propriétés (au sens de cette probabilité) s'ils ne diffèrent qu'en un ensemble fini d'éléments.

--EDIT--
D'ailleurs, avec ce type de définition pour $P(\{k\})$, on aurait des problèmes, il me semble, pour définir une distribution uniforme. Supposons que je veuille une variable qui soit uniformément répartie sur les nombre premiers (je note $\mathscr{P}$ l'ensemble des nombre premier). Avec une telle approche, l'équiprobabilité s'exprime comme $\forall p,q \in \mathscr{P}, P(\{p\}) = P(\{q\})$. Si je note $\varepsilon$ cette probabilité commune, on aurait alors $\displaystyle P(\mathscr{P}) = \sum_{p \in \mathscr{P}} P(\{p\}) =  \varepsilon | \mathscr{P}| = +\infty$ !!

--EDIT2--
Autre limite de l'approche, elle me semble spécifique au cas de $\mathbb{N}$, je ne vois pas comment elle se généralise à d'autres ensembles infinis dénombrables ($\mathbb{N}\times \mathbb{N}$, $\mathbb{Q}$, ensemble infini de patates, ...)

--EDIT3--
Autre bizarrerie, comme la série des restes converge vers zéro, alors, pour toute partie de $X \subset \mathbb{N}$, je peux rendre "sa mesure" $P(X) = \sum_{k \in X} P(\{k\})$ aussi petite que je veux en enlevant un nombre fini d'éléments de $X$. Donc, la "mesure" des nombre premiers dépendra de l'endroit à partir duquel on commence à les regarder !
Je crois que la densité telle que mentionnée par Ostap rend mieux compte de cette notion de "mesure" des parties infinies de $\mathbb{N}$ (les parties finies ayant une densité nulle), elle n'est pas sigma-additive (on peut d'ailleurs montrer facilement qu'on ne peut pas avoir une mesure sigma-additive qui soit nulle sur les parties finies).

@Ostap,
Je connais très peu ce domaine (hyper riche) de la théorie des nombres.

Le nombre de Liouville que cite Léon possède des résultats surprenant vu avec ce prisme : la densité du chiffre '1' est nulle et la densité de '0' est égale à '1'. Avec la mesure de Lebesgue, on identifie les fonctions qui ne sont différentes que sur un ensemble de mesure nulle. On aurait donc envie de traiter ce nombre comme 'essentiellement' nul ! (il n'est différent de zéro que sur un nombre de points de densité nulle).

Pour revenir au sujet initial, je ne vois toujours pas comment définir une probabilité sur des ensembles infinis dénombrables.

Comment définit-on la notion de "répartition" ou "fréquence" dans le cas d'ensemble infinis de mesure nulle (ensembles dénombrables par exemple) ?
Supposons que dans l'écriture décimale de $\pi$, qui comporte donc un nombre infini de chiffres, chaque chiffre dans $\{0,1,\cdots,9\}$ apparaisse un nombre infini de fois (il me semble que ce résultat à d'ailleurs été montré, mais je ne trouve plus où je l'ai lu, mais ce n'est pas important, ici, je cherche une définition), comment définirait-on la fréquence d'apparition d'un des chiffres ?

C'est toujours triste de voir quelqu'un relativement jeune partir et ça l'est d'autant plus quand c'est un grand esprit qui s'éteint.
Je souhaite beaucoup de courage à ses proches.