Forum de mathématiques - Bibm@th.net

$\left\lbrace\begin{matrix}
f(x) = | -x + 1| \\
f(x) = x² - 4x - 3
\end{matrix}\right.$ =>$ x² - 4x - 3 =  | -x + 1| <=> x² - 4x - 3 -  | -x + 1| = 0$

si $ x > 1$ c'est à dire $- x + 1 < 0 $

$| -x + 1| = - (-x + 1) = x - 1$

$x² - 4x - 3 = x - 1 <=> x² - 4x - 3 - (x - 1) = 0 <=> x² - 4x - 3 - x + 1 = 0 <=> x² - 4x - x - 3 + 1 = 0$
<=>
$\left(x + \frac{5}{2}\right)² - \left(\frac{5}{2}\right)² - 2 = 0 <=> \left(x + \frac{5}{2}\right)² - \frac{25}{4} - \frac{8}{4} = 0 <=> \left(x + \frac{5}{2}\right)² - \frac{33}{4} = 0$

et là je cherche une(autre) fraction telle que son carré soit égale à $\frac{33}{4}$
c'est bien cela ?

$\left\lbrace\begin{matrix}
f(x) = x² - 4x - 3\\
f(x) = | -x + 1|
\end{matrix}\right.$ => $x² - 4x - 3 = | -x + 1|$

si $x < 1$ c'est à dire $-x + 1 > 0$
$| -x + 1| = -x + 1$

$x² - 4x - 3 - | -x + 1| = 0 <=> x² - 4x - 3 + x - 1 = 0 <=> x² - 3x -4 = 0 <=> (x - \frac{3}{2})²  - (\frac{3}{2})² - 4 = 0 $
$<=> (x - \frac{3}{2})² - \frac{9}{4} - \frac{16}{4} = 0 <=> (x - \frac{3}{2})² - \frac{25}{4} = 0 <=> (x - \frac{3}{2} +\sqrt{\frac{25}{4}}) (x-\frac{3}{2} - \sqrt{\frac{25}{4}}) = 0 $
$(x - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}) (x - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}) = 0 <=> (x - \frac{3+5}{2}) (x -\frac{3-5}{2})=0  <=>  (x - \frac{8}{2}) = 0 $ ou bien $ (x - \frac{-2}{2}) = 0 $
Les solutions sont x = 4 et x = -1

sachant que j'ai posé comme condition $x < 1$, je ne peux pas avoir de valeur négative donc j'élimine $x = 4$

5. Lire graphiquement les abscisses des points d'intersection des 2 demi-droites avec $C_{f}$.

Pour lire les abscisses des points, j'ai tracé une droite perpendiculaire à l'axe des abscisse et passant par le point d'intersection
j'obtiens x =-1et x =5,5

6. En utilisant la forme canonique retrouver algébriquement les solutions de l'équation f(x) = | -x + 1|
$\left\lbrace\begin{matrix}
f(x) = (x -2)² - 7 \\
f(x) = | -x + 1|
\end{matrix}\right.$ <=> $(x - 2)² - 7 -  | -x + 1| = 0$

$-x + 1 > 0 $ si $x < 1 $
alors $| -x + 1| = -x + 1$

$(x - 2)² - 7 - (- x + 1) = 0 <=> (x - 2)² + x - 8 = 0$
et là, je vois pas comment trouver $ x$

$ x = -4 =>f(x) = g(x)$
$ x = -3,3 => f(x) = g(x)$

$f(x) = g(x)$ pour des abscisses compris entre $]-\infty;-3,3]$ et $[0,3; +\infty[$
je peux ajouter :
$f(x) = g(x) > 0$ pour des valeurs de $x$ compris entre $]-\infty;-3,3]$ et $[0,3;+\infty[$

f(x) =  x² + 3x -  1
f(-4) = 3
f(-3,3) = 0
f(-3) = -1
f(-2) = -3
f décroît
f(-1) = -3
f(0) = -1
f(0,3) = 0
f(1) = 3
f croît

pour | x² + 3x -  1|
je prends les valeurs absolues de toutes les images précédentes ? c'est bien cela..

Bonjour,

y =  x² + 3x -  1
a =1; a>0 la parabole est tournée vers le bas
La parabole est décroissante sur $]-\infty;-\frac{3}{2}]$ et elle est croissante sur $[-\frac{3}{2};+\infty[$

y = | x² + 3x -  1|
La parabole est croissante sur $[-3,3;-\frac{3}{2}]$
elle admet un extremum qui est un maximum et il est atteint en $x = -\frac{3}{2}$
puis elle est décroissante sur $[-\frac{3}{2};0,3]$

Pour l'expliquer :
pour tracer f(x) =  x² + 3x -  1, j'obtiens des images négatives entre -3,3 et 0,3
f(-3,3) = 0
f(-3) = -1
f(-2) = -3
f(-1) = -3
f(0) = -1
f(0,3)=0

pour tracer f(x) = | x² + 3x -  1|
f(-3) = -1  alors | f(-1)| = - (-1)=1
f(-2) = -3 alors | f(-2)| = -(-3)=3
f(-1) = -3 alors | f(-1)| = -(-3)=3
f(0) = -1 alors | f(0)| = -(-1) = 1

Bonjour Yoshi,
Je n'ai pas pu te répondre tout de suite, car je n'avais pas la Wifi là où j'étais

| -x + 1|
Les deux cas à étudier sont
$-x + 1 < 0 $c'est à dire $-x + 1 < 0 <=> -x < - 1 <=> x > 1.$
et dans ce cas $-x + 1 = -(-x + 1) = x - 1$

$-x + 1 > 0$ c'est à  dire $- x + 1 > 0 <=> - x > - 1 <=> x < 1.$
dans ce cas $-x + 1 = -x +1$

j'ai voulu faire pareil avec | x² - 3x + 1|

Bonjour,

Puis-je écrire cette équivalence ?

$-3,3 < f(x) < 0,3 <=>  0,3 < - f(x) < 3,3$

oK
pour les variations de la fonction f(x) = x² + 3x - 1

f(x) est :
décroissante sur $]-\infty;-1,5]$
passe par un extremum qui est en fait un minimum et les coordonnées du sommet sont (-1,5; -3)
croissante sur $[-1,5;+\infty[$

Déterminons deux points de la courbe de f(x) ayant la même ordonnée
cherche les solutions de f(x) = 1
$x² - 3x + 1 = 1 <=> x² - 3x = 0 <=> (x-\frac{3}{2})² -\frac{3}{2} = 0 <=> (x-\frac{3}{2} + \sqrt{\frac{3}{2}}) (x-3/2 -\sqrt{\frac{3}{2}})=0 $
$<=> (x-\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}) (x -\frac{3}{2} -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})=0$$<=> x - 1,5 + 1,22 ) (x - 1,5 - 1,22)=0 <=> x = 0,28 $ou $x = -2,72$

Les solutions de l'équation f(x) = 1 sont $x = 0,28$ ou $x = -2,72$

Par conséquent,l 'abscisse du sommet est la moyenne de deux points ayant même ordonné

$\frac{-2,72+0,28}{2}=-1,22$

j'ai voulu essayer comme ça, mais je ne trouve pas -1,5
Vois-tu où se trouve mon erreur ?

Bonjour Yoshi

Si en exercice, je dois tracer la courbe représentative de f(x)

alors pour tracer la parabole d'équation $f(x) = x² + 3x - 1$, je dois faire un tableau de valeurs

$\begin{array}
{|c|cccccccccccccc|}
x & -\infty & & -4 &  & -3 &  & -2 &  & -1&  & 0 &  & 1 &  &  &
\\
{f(x)} &  &  & 3 &  & -1 &  & -3 & & -3 &  & -1 &  & 3 &  &  &
\\
{} &  &  & &  & &  & &  & &  & &  & &  & &
\end{array}$

La question qui me pose problème : avec les valeurs prises, et bien, je ne trouve pas l'extremum de la parabole
Tout ce que je sais, d'après mon cours,
si a > 0 alors la parabole est tournée vers le haut et passe par un extremum qui est un minimum

Je trace la représentation graphique de la fonction $f$ définie pour tout x par $f(x) = 3x+2$
ou encore
Soit f est une fonction affine définie pour tout $x$ par $f(x)  = 3x + 2$
$f(x)$ est croissante puisque a est positif
$f(x)$ est du signe de a pour $x > -b/a$
et $f(x)$ est du signe de -a pour $x < -b/a$

$-\frac{b}{a} = - \frac{2}{3}=-0,66$