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Dans le sens "si" (condition suffisante)
$f$ scindé dans $K_m[X]$ : les racines de $f$ sont directement des éléments de $K_m$
On sait que $K_m=K_{m-1}[\alpha_{m}]$ avec $\alpha_m \in K_m$ et $\alpha_m^{p_{m}} \in K_{m-1}$
Donc les éléments de $K_m$ (et en particulier les racines de $f$) s'expriment comme des combinaisons (finies) d'éléments de $K_{m-1}$ et des puissances de $\alpha_m$, qui est lui même une racine $p_{m}$-ième d'une éléments de $K_{m-1}$. Donc les éléments de $K_{m}$ s'obtiennent à partir de ceux de $K_{m-1}$ par les opérations de corps et d'extraction de racines.
De manière similaire, les éléments de de $K_{m-1}$ s'obtiennent à partir de ceux de $K_{m-2}$ par les opérations de corps et d'extraction de racines.
Et ainsi de suite jusqu'à arriver à $K_0=K$. Donc, les éléments de $K_m$ s'obtiennent à partir de ceux de $K$ par les opérations de corps et d'extraction de racines.

Dans le sens "seulement si" (condition nécessaire), je dois réfléchir un peu plus, j'ai un doute.

Bonjour,
Quelques remarques sur ce que tu as écris :
1-

: c'est trop vague. $h=1$ est une condition qui marche bien, mais je ne pense pas que c'est ce que tu cherches ! Il faut préciser un peu
2-

: Attention, ton produit scalaire doit être défini positif ! Si tu prends $h = -1$, alors $(f,f)=-\int f^2 \le 0$ !
3-

: je ne vois pas de lien entre ce que tu supposes et la conclusion. Il n'y a pas d'erreur formelle dans ce que tu as écris, mais une erreur de bon sens. La phrase "Si le conjecture de Riemann est vraie alors \sin(0)=0$ est logiquement vraie, mais heurte notre bon sens.
Après, le "donc l'application n'est pas définie." semble tomber du ciel !

Dans la mesure où ton produit scalaire est défini via une intégrale, et que celle-ci est insensible à la valeur de la fonction en un point, ta condition ne s'exprimera pas "ponctuellement". Par rapport à ton intuition : je pense que la fonction $h(x)=(x-\dfrac{1}{2})^2$ marche très bien, bien qu'elle s'annule en un point.

Je commencerais pas montrer que la fonction $h$ est positive : indication, si elle est strictement négative en un point, alors, elle sera négative sur un voisinage de ce point (continuité) et on pourra donc trouver une fonction $f$ nulle en dehors de ce voisinage et valant $1$ sur ce voisinage, donc ...

Tu peux ensuite montrer que la fonction $h$ ne peut pas s'annuler sur un intervalle ouvert (même technique que ci-dessus).

En gros oui, mais attention à la formulation : Plutôt que de dire "qu'une valeur bien qu'elle soit négative sera toujours positive au final", on dira plutôt "que la valeur absolue d'une valeur, bien que la valeur soit négative, sera toujours positive au final".

La valeur absolue d'un nombre, c'est soit le nombre lui-même s'il est positif ou nul, soit son inverse s'il est négatif. C'est donc une grandeur toujours positive ou nulle. Exemple $|+3|=+3$ et $|-3|=+3$.

Dans ton exemple, $f(x)$ est positive si $-5\le x \le -3$ ou $3\le x \le 5$ et et négative si $-3 < x < 3$
Donc, la fonction $|f(x)|$ coïncidera avec $f(x)$ sur $[-5,-3] \cup [3,5]$ et sera égale à $-f(x)$ sur $]-3,3[$.
Ce qui revient à garder le graphe identique à gauche de $-3$ et à droite de $3$ et à prendre son symétrique par rapport à l'axe des $x$ entre $-3$ et $3$ et calculer l'aire avec ce nouveau graphe. Tu devrais trouver $8$

Désolé d'insister, mais ta formule ne marche ni dans le cas de boules indiscernables ni dans le cas discernables.
Si j'ai une boule  (ce cas élimine l'effet de indiscernabilité), ta formule donne $\binom{n}{n-1}=\binom{n}{1}=n$. Or clairement, comme les urnes sont indiscernables, il n'y a qu'un seul rangement possible (une boule dans une urne quelconque).

Dans le cas où tout est discernable (boules et urnes), le nombre est simplement $n^r$. En effet, un rangement est une application d'un ensemble de $r$ éléments (les boules discernables) vers un ensemble de $n$ éléments (le numéro de l'urne où sera rangé la boule).

Bonjour erichof,
En fait, pour bien comprendre cette équivalence, tu peux commencer par remplacer le mot "division" par le mot "multiplication par l'inverse".
Du coup, comme tu le dis à juste titre, la congruence est compatible avec la multiplication, on a le droit de multiplier par l'inverse, lorsqu'il existe. C'est comme pour les entiers, on n'a pas le droit de diviser par zéro parce qu'on ne peut pas multiplier par l'inverse de zéro.
Il faut maintenant te poser la question sur l'existence de l'inverse de 3, module 26. Qu'en penses-tu ?

Re,
Je sais que la fonction $f(x)=1-x$ vérifie la contrainte. La question est de connaitre toutes les fonctions, et donc de trouver des conditions nécessaires.
La seule propriété $\forall x, f(f(x))=1-f(x)$ ne permet pas de conclure que $\forall x, f(x)=1-x$
Par exemple, une fonction définie par $\forall n \in \mathbb{Z}, f(n)=1-n$ et $\forall x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}, f(x)=[x]^2+25$ vérifie bien $\forall x, f(f(x))=1-f(x)$

[EDIT]
Correction pour freddy : remplacer $\mathbb{N}$ par $\mathbb{Z}$

Salut

Bonjour,

Bonjour waly ndiaye,
As-tu essayé la contraposée ?
Par exemple, pour le cas 1) on te demande de montrer :
$\left(\forall X \in \mathcal{P}(E),\ A \cup E = E\right) \implies A = E$.
La contraposée de cette assertion est :
$A \neq E \implies \left(\exists X \in \mathcal{P}(E),\ A \cup E \neq E\right)$.
Ce qui est, je pense, beaucoup plus simple.