Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour, Sauf erreur on peut procéder de la façon suivante:

l'ensemble $\{n - (\frac{\pi}{2} + k\pi) \mid n,k\in\mathbb{N}\}$ est dense dans $\mathbb{R}$.

Conséquence : Pour tout $k\in\mathbb{N}^*$, il existe $n_k\in\mathbb{N}$ tel que :
$$\left|n_k - \left(k + \frac{1}{2}\right)\pi\right| < \frac{1}{k^2}$$
En divisant par $ \left(k + \frac{1}{2}\right)\pi$ on deduit que
$$n_k \sim \left(k + \frac{1}{2}\right)\pi$$

Cherchons un  équivalent de $\cos(n_k)$

Posons $\varepsilon_k = n_k - \left(k + \frac{1}{2}\right)\pi$. Alors $\varepsilon_k \to 0$ et $|\varepsilon_k| < \frac{1}{k^2}$.

Mais :
$$\cos(n_k) = \cos\left(\left(k + \frac{1}{2}\right)\pi + \varepsilon_k\right) = (-1)^{k+1}\sin(\varepsilon_k)$$ donc la suite en question ne peut tendre vers zéro

Quand $\varepsilon_k \to 0$, $\sin(\varepsilon_k) \sim \varepsilon_k$, donc :
$$|\cos(n_k)| \sim |\varepsilon_k| $$

Finalement
$$|u_{n_k}| \sim \frac{1}{ \left(k + \frac{1}{2}\right)\pi \cdot |\varepsilon_k|} \, \text {et}\,   |\varepsilon_k| < \frac{1}{k^2}$$, donc :
$$|u_{n_k}|  \xrightarrow[k\to\infty]{} +\infty$$

Je vous lis et je ne me précipite pas pour donner mon retour.
Bridgslam a  vu qu’on pouvait prouver que 8 divise n assez facilement. En revanche, démontrer que 7 divise n demande davantage d’efforts. .   Je reviendrai quand les recherches se seront calmées.

Bonjour; j'ai laissé une peu de temps avant de proposer une solution mais Bravo à tous
Je propose ceci :
Supposons qu’il existe un tel quadruplet d'entiers naturels non tous  nuls
Choisissons la solution pour laquelle la quantité $x^2 + y^2$ est la plus petite possible.
Soit $(a, b, c, d)$ cette solution choisie. Alors :

$$a^2 + b^2 = 3(c^2 + d^2) \Rightarrow 3 \mid (a^2 + b^2) \Rightarrow 3 \mid a \text{ et } 3 \mid b.$$

Ainsi, on peut écrire $a = 3a_1$ et $b = 3b_1$.

En remplaçant, on obtient :
$$a^2 + b^2 = 9(a_1^2 + b_1^2) = 3(c^2 + d^2) \Rightarrow c^2 + d^2 = 3(a_1^2 + b_1^2).$$

On a donc trouvé une nouvelle solution $(c, d, a_1, b_1)$ telle que
$$c^2 + d^2 < a^2 + b^2,$$
ce qui contredit le choix initial de la solution minimisant $x^2 + y^2$.

Bonjour,
On écrit souvent, par habitude mécanique, « il faut » au lieu de « il suffit»

Bonjour,

Il semble aussi que $p_{n+3}<p_1....p_n$ pour tout $ n \ge 3$
peut etre on peut généraliser plus

Ta preuve est juste.
On peut aussi appliquer Bertrand de la façon suivante pour tout $ n\ge1$
$p_{n+2}< 2p_{n+1}\le  2^{n+2}$ et pour $ n\ge 4$,  $2^{n+2}<(n+1)!=\prod_{i=1}^n (i+1)$ et $1+i\le p_i$ pour tout $ i\ge 1$ donc $p_{n+2}< \prod_{i=1}^n p_i$
On verifie que l inegalité est vraie pour n=3