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finalement ,je n'ai rien compris j'ai essayé mais j'arrive pas , on utilise Fubini ?

s'il vous plait
merci

[tex]G[/tex] est la fonction de green positive du problème aux limite [tex]u'''(t)=0, u(0)=u(p)=\int_0^1 w(s)u''(s)ds[/tex] , avec [tex]w(t)[/tex] est croissante et strictement positive sur [0,1]

ok, merci c'est bon j'ai compris

pourquoi [tex]f_k(x)\circ \varphi^{-1}_{k+1}(x)[/tex] n'a pas de sens c'est écrit comme ça sur le document ?

s'il vous plait

Salut,
en dimension 1 :

Posons[tex] f_0=f[/tex] et [tex]U_0=K_0=\emptyset[/tex] ,et montrons le résultat par récurrence sur [tex]k[/tex] , la propriété est trivialement vraie pour [tex]k=0[/tex] .
Supposons qu'elle est vraie au rang [tex]k\geq 0[/tex]:
D’après la démonstration du lemme 1.1 on peut choisir[tex] a_1[/tex] arbitrairement petit tel que l'application de [tex]U_{k+1}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex] définit par [tex]x\rightarrow f(x)-a_1(\varphi_{k+1})_1(x)[/tex] n'ait pas de points critiques dégénérés .

Définissons [tex]f_{k+1}[/tex] comme suit :
                    [tex]f_k - \rho_{k+1}(x) (a_1(\varphi_{k+1})_1 (x))[/tex]    , [tex]x\in U_{k+1}[/tex]
[tex]f_{k+1}(x)[/tex]=
                    [tex]f_k(x)[/tex]                                          , [tex]x\in (Supp \rho_{k+1})^c[/tex]

On définit ainsi une fonction [tex]C^{\infty}[/tex] , qui vérifie i par hypothèse de récurrence

Après la normalement
[tex]f_{k+1}(x)-f_k(x)= -\rho(a_1(\varphi_{k+1})_1(x))[/tex] et
[tex]f_{k+1}(x)\circ \varphi^{-1}_{k+1}(x)=(f_k(x)\circ \varphi_{k+1}^{-1}(x))-(\rho_{k+1}(x)\circ\varphi^-1_{k+1}(x))(a_1 x)[/tex]
[tex](f_{k+1}(x)\circ \varphi^{-1}_{k+1}(x))'-(f_k(x)\circ \varphi_{k+1}^{-1}(x))'=-(\rho_{k+1}(x)\circ \varphi^{-1}_{k+1})'(a_1 x)-a_1(\rho_{k+1}(x)\circ\varphi^{-1}_{k+1}(x))[/tex]
[tex](f_{k+1}(x)\circ \varphi^{-1}_{k+1}(x))''-(f_k(x)\circ \varphi_{k+1}^{-1}(x))''=-(\rho_{k+1}(x)\circ \varphi^{-1}_{k+1}(x))''(a_1x)-2a_1(\rho_{k+1}(x)\circ\varphi^{-1}_{k+1}(x))'[/tex]
Donc quitte a choisir a_1 petit on peut supposer que [tex]f_{k+1}[/tex] soit une [tex](C^2,\varepsilon)[/tex]-approximation de [tex]f_k[/tex], donc une [tex](C^2,(k+1)\varepsilon)[/tex]-approximation de f d'ou ii.
par construction[tex] f_{k+1}[/tex] n'a pas de points critiques dégénéré dans [tex]K_{k+1}[/tex].
enfin quitte a choisir a_1 suffisamment petit on peut appliquer le lemme 1.2 a[tex] f_k[/tex] et [tex]\cup_{1\leq i\leq k}K_i[/tex] , d'ou iii

dans un premier temps est-ce que cette adaptation est juste?

S'il vous plait
Merci.

Dans le début de la démonstration il est dit que pour k=0 la propriété est trivialement vraie ,
pourquoi ?, quel est l’hypothèse sur f ?

s'il vous plait

Merci

Re,
[tex]\varphi_{t+s}=\phi_t\circ \phi_s[/tex] parce que [tex]\phi_t[/tex] est la solution d'un système autonome ?

S'il vous plait

Merci

ok, merci beaucoup je pense que sa devrait aller !
juste une petite question a propos de la démonstration du théorème, dans la suite de la démonstration :
"Comme l’ensemble K est compact, il existe un recouvrement fini par de tels voisinages U. Si on prend $\varepsilone_0 > 0$ comme le plus petit des [tex]\varepsilon[/tex] associés à chacun des voisinages [tex]U[/tex], et que l’on pose [tex]\varphi_t(q) = q[/tex] pour [tex]q \in K[/tex], cette équation différentielle a une unique solution
[tex]\varphi_t(q)[/tex] pour tout [tex]|t| < \varepsilon_0[/tex] et tout [tex]q \in M[/tex]. On sait également par un résultat du cours sur les
équations différentielles ordinaires que cette solution est lisse comme fonction des deux
variables [tex]q[/tex] et [tex]t[/tex]. De plus, si [tex]|t|, |s|, |t + s| < \varepsilon_0, \varphi_{t+s} = \varphi_t  \circ \varphi_s[/tex]. Maintenant si [tex]|t| > \varepsilon_0[/tex],
il suffit de considérer [tex]t[/tex] comme un multiple de [tex]\varepsilon_0/2[/tex] plus un reste [tex]r[/tex] tel que [tex]r < \varepsilon_0/2[/tex]. On a alors:
[tex]t = k(\varepsilon_0/2) + r[/tex] avec [tex]k > 0[/tex] et on pose
[tex]\varphi_t = \varphi_{\varepsilon_0/2} \circ ... \circ \varphi_{\varepsilon_0/2} \circ \varphi_r[/tex]
où la transformation[tex] \varphi_{\varepsilon_0/2}[/tex] est appliquée [tex]k[/tex] fois. Si [tex]k < 0[/tex], on remplace [tex]\varphi_{\varepsilon_0/2}[/tex] par [tex]\varphi_{-\varepsilon_0/2}[/tex] que
l’on applique [tex]−k[/tex] fois. D’où, la transformation [tex]\varphi_t[/tex] est définie pour tout t. "

1) le lemme dit que si X est un champ de vecteurs lisse sur une variété M , qui s'annule a l’extérieur d'un ensemble compacte génère un unique groupe de difféomorphisme à 1 paramètre de M

dans cette deuxième partie il est entrain de construire ce groupe ?   

une deuxième question  pourquoi :[tex]|t|, |s|, |t + s| < \varepsilon_0, \varphi_{t+s} = \varphi_t  \circ \varphi_s[/tex] ?

S'il vous plait

Merci

Je croits que le théorème  3.13  explique bien la situation
http://www.google.dz/url?sa=t&rct=j&q=& … 5796,d.ZGU

je connais le portrait d'orbite de phase , l'orbite d'une ED autonome ,...
mais je n'ai aucune base sur la géométrie différentielle (notre prof n'étais pas bon, personne ne comprenais chez lui ), mais pour un exposé c'est pas un tirage au sort que je suis tombé sur ce sujet , le prof a dit que c'est un sujet très difficile est donc personne n'a voulue l’échanger avec moi .
et le 5 ou le 13 mais je doit exposer et je n'ai pas compris comment expliquer le fait que l’équation différentielle admet une solution locale ...