Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Excuse mes retards : mon écran est lézardé avec une vilaine tache noire qui prend des proportions inquiétantes. Qui plus est, mon disque dur est vérolé (plantages à répétitions, je mets deux heures à poster un misérable message). Il faut absolument que j'investisse ...
Quand je clique sur ton lien, je n'obtiens qu'une feuille de travail GeoGebra ... vide.
Ce qui m'intéresse :
-Les équations des 4 droites que tu as utilisées pour vérification.
-Les 4 points $P,Q,R,S$ obtenus par calculs qui ne semblent pas être les sommets d'un carré.
-Le fichier GeoGebra correspondant (au pire sous forme d'une image si tu n'arrives pas à poster un lien direct).
Ceci dans le but de confirmer certains soupçons dont je ne manquerai pas de faire état dans un prochain message.

Bonjour à tous et merci à vous deux : je me sens moins seul ...
>>Imod Curieusement (Bac C 73) j'ai subi de pleins fouet la réforme "Maths modernes" et je n'ai jamais entendu parler de la Géométrie de grand papa pendant mes études. Je ne m'y suis mis que (beaucoup) plus tard et la discipline m'a plu.
Si mes élucubrations géométriques peuvent intéresser ne serait-ce qu'un quidam qui passe ici et l'inciter à approfondir la matière, je serai pleinement satisfait.
>> Bernard-maths J'ai du mal à te comprendre :

Tu avoueras que c'est un peu court ...
En Géométrie, les calculs sont souvent nécessaires. Mais ils faut qu'ils aboutissent ! Autrement dit, tu dois mettre les mains dans le cambouis pour convaincre ton auditoire.
Et pas que : tous calculs faits, il faut les interpréter géométriquement et revenir à la figure pour en déduire (ici) une construction.
C'est cette étape (la plus difficile) qui est souvent ignorée.
Ce sont ces aller-retours permanents entre calculs et figures qui sont l'âme de la "belle Géométrie".

Bonjour à tous,
Je fais remonter une dernière fois ce sujet. On oublie le tétraèdre "de Rupert" pour se concentrer sur la question que je reformule ici sous une forme moins contraignante :

Je vous vois venir : "le vieux filou a commencé par le carré".
Non, non, pour vous en convaincre, voici un lien où on peut "bouger" (dans certaines limites) les 4 points $A,B,C,D$ :
https://www.geogebra.org/m/s5wbtxeg
Je vous avoue que j'en suis encore au stade "recherche". Les "discussions" sont difficiles ...

Bonjour Imod,
Ce que j'ai compris relativement à l'article Wiki que tu as publié :
Il ne tient pas compte de l'ordre chronologique des choses. La première partie "Solution" et la perspective font état de la solution optimisée par Pieter Nieuwland où le trou est une section carrée de côté $\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$, ses diagonales de longueur $\dfrac{3}{2}$ représentant l'arête du tétraèdre régulier "maximal" traversant le cube d'arête 1. Les 12 directions possibles du trou sont définies par les vecteurs dont j'ai parlé au message 50. C'est la situation décrite dans ce fil.
La situation originale de Rupert est un trou  "moins bon" de section carrée de côté $\sqrt{6}-\sqrt{2}$, les 4 directions possibles étant les grandes diagonales du cube. L'arête du tétraèdre régulier "maximal" traversant le cube unité vaut dans cette situation $2\sqrt{3}-2\approx 1.464$
Voici cette situation en descriptive où on peut remarquer en magenta l'hexagone régulier projection de la figure sur un plan d'équation $x-y+z+d=0$ (normale = direction d'une des grandes diagonales) et le rapport $\dfrac{ab}{AB}=2\sqrt{3}-2$

Bonsoir,
Ah! Je ne connaissais pas. En effet très similaire. Merci pour le lien et très bonnes fêtes ! :)

Bonjour,
Je savais que ça allait être une galère : je n'ai pas été déçu ...
Le pire est qu'en respectant certains canons de la perspective, la figure devient difficilement lisible.
Ainsi la section du "trou" bleu à gauche de la figure est un carré.
Malgré ses défauts je publie tout de même :

Joyeux Noël à tous !

Bonsoir,
Un hasard malencontreux a fait que deux sommets du carré semblent figurer aux milieux de deux arêtes du cube sur ma dernière figure.
Dans cette situation, on est effectivement pas très loin de $\sqrt{2}$ pour l'arête du tétraèdre.
Mais ce n'était qu'un exemple. En voici un autre où l'arête du tétraèdre est nettement supérieure à $\sqrt{2}$

Bon, je n'ai pas encore trouvé le courage de m'attaquer à la "perspective édifiante (coton)" mais je ne désarme pas ... :)

Comme écrit plus haut, la figure dans l'espace est difficile à visualiser et il va falloir que je réalise une perspective édifiante (ça va être coton ...)
Plus aujourd'hui : je n'ai plus le temps. Demain peut-être ...

Merci jpp pour ton retour que j'espérais. J'ai bien compris.
Un petit côté rassurant : ta vue de dessus et la partie magenta de ma dernière figure sont identiques à une similitude près.
Je pense tout de même qu'il est très difficile, pour un quidam qui découvre ce fil, de comprendre ce qui se passe à moins qu'il ait une vision de l'espace exceptionnelle.
Il reste que nous avons fait, toi comme moi, des présupposés : par exemple, on peut envisager le cas où le tétraèdre régulier a sa projection sur un plan orthogonal à l'axe du "tunnel" en forme de triangle isocèle. Bien sûr moins "bon".
Encore merci pour ton sujet qui m'a bien plu.
P.S. J'ai une nouvelle fois du mal à comprendre ce qui se passe avec le compteur de vues : un robot ?

Bonjour Bernard-maths,
Et heureux que tu ne sois pas trop fâché ...
J'étais "sans certitude" mais je suis maintenant certain de mon 1.5. C'est trop beau pour être faux.
J'ai ajouté un lien GeoGebra dans mon dernier message : peut-être permet-il de mieux comprendre mes élucubrations ? ...

Bonsoir à tous,
Tout d'abord un hénaurme méa culpa à l'intention de Bernard-maths :
J'ai d'abord pensé que tu étais hors sujet faute d'avoir moi-même compris le problème.
Mon tempérament sanguin me joue des tours régulièrement.
Tu étais en fait totalement dans le sujet. J'espère que tu voudras bien me pardonner mon message inutilement agressif que j'ai posté sous le coup d'une colère tout à fait injustifiée.
Ça, c'est fait.
Et donc, j'ai regardé d'un peu plus près en pensant "c'est un problème taillé pour la géométrie descriptive"
Je n"ai pas abouti. J'ai tout de même réalisé une épure que voici :

Le cube est présenté en position générique avec ses faces parallèles et perpendiculaires aux plans de projection (les deux carrés à droite de la figure).
On projette orthogonalement ce cube sur un plan défini par ses traces horizontales et frontales $\alpha H$ et $\alpha F$. Les deux projections horizontales et frontales sont visibles respectivement en bleu et rouge sur la figure.
Enfin, on rabat en vraie grandeur cette figure plane dans le plan horizontal de projection : c'est la figure en magenta.
Si j'ai bien compris, la suite consiste à inscrire un carré dans le contour apparent de la figure en magenta.
Je poste maintenant un lien où on peut modifier le plan de projection via les points $H$ et $F$.
Cube projeté sur un plan
Entendons-nous bien : je n'ai rien trouvé du tout. Je propose juste ici un outil exploratoire. Utile ou pas ? Je ne sais pas.
[Edit] Finalement, après avoir inscrit un carré dans l'hexagone magenta contour et fait varier le plan de projection, j'arrive à une valeur maximale de $1.5$ pour l'arête du tétraèdre. Sans aucune certitude ...

Bonjour,
Je reviens sur la construction du point $H$ de notre ami Imod en me plaçant dans le cas plus général de deux cercles $(O_1)$ et $(O_2)$ quelconques.
On cherche le lieu des centres des cercles qui coupent diamétralement les cercles $(O_1)$ et $(O_2)$.
On prouve facilement (faites-le !) que ce lieu est la droite symétrique de leur axe radical par rapport au milieu $I$ de $[O_1O_2]$ :

Dans le cas qui nous occupe, l'axe radical est la tangente commune aux deux cercles en leur point de contact $T$ et $H$ est le symétrique de $T$ par rapport à $I$. Le point $O$ est l'intersection de la perpendiculaire en $H$ à $[O_1O_2]$ avec une des tangentes communes.
Sangaku
[Edit] Ajout d'un lien _{(un peu à l'intention de Rescassol)}.