Forum de mathématiques - Bibm@th.net

bonne idée
La belle Miranda a choisi un autre partenaire.

Salut

En effet, Au delà des années 1980 , la somme ne peut atteindre l'âge.
Il suffit d'envisager les âges par dizaines:
Dans les années 1980 puis 1990 et enfin 2000.

Bonjour Jpp

Si t1,t2 et t3 désignent respectivement les temps au trot, sur les ponts et au galop à l’aller,
On obtient t1= t2 = 1/7, t3 = ¼ et la longueur des ponts l = 5/14 km

N.B. les fractions enseignées au CM2 oui mais comprises seulement à partir de la 5ième.

bonjour IPP
Est-ce que le changement d'allure a lieu uniquement au retour?

Merci

Bonjour Yassine

Ceci peut t'aider: pyramide

Bonsoir

C"est une figure de Desargues non?

Cf l'adresse suivante:http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/ts/point_inaccessible.html

Bye

Re
Pour répondre à Yoshi, je crois que d'une part la probabilité est uniforme et que d'autre part, sauf erreur, la probabilité que B tombe au milieu est nulle car sur le segment, la mesure d'un ensemble fini est nulle non?
Par ailleurs, si l'un des points est le milieu, l'inégalité est fausse puisque la longueur de l'un est la somme des deux autres.

A++

bonsoir Freddy

Il y a 3 façons au moins de considérer cette corde c'est bien sûr le paradoxe de Bertrand.

Au travail pour mon exercice!

Bye

Bonjour à tous

Je vais d’abord répondre aux questions, puis, je donnerai une solution qui utilise les réponses, en particulier en comparant les désagréments obtenus avant et après la permutation de deux couples de données consécutifs ainsi que le suggère les questions.
Voici les questions que Luigi se pose pour satisfaire Rita et pour minimiser son travail :

    1) Si j’avais à réparer 2 appareils ayant le même nombre de désagréments, quel serait l’ordre de réparation ?
    2) Si j’avais à réparer 2 appareils dont les durées et les désagréments sont proportionnels, quel serait l’ordre de réparation ?
    3) Si je répare 2 appareils quelconques parmi les 5 proposés, pourrais je utiliser les réponses aux questions 1) et 2) ?
    4) Si je décide d’utiliser le résultat 3) de ma réflexion, puis-je le généraliser aux 2 fois 5 données de mon problème ?

Solutions
Cas de 2 appareils

1° A égalité de désagréments, Luigi choisira de commencer par réparer l’appareil de durée la plus courte, sinon il choisira indifféremment l’un ou l’autre en cas d’égalité de durées. D’ailleurs il vérifie  de la façon suivante : appelons a1, b et a2, b les 2 couples . Pour comparer les désagréments, il calcule leur différences D1-D2 = a1(b+b)+ a2*b – a2(b+b)-a1*b= a1*b-a2*b = (a1-a2)b.
En conséquence, D1≤D2  <==> a1≤a2 car b>0.
2° Si les couples sont proportionnels, Luigi comprend rapidement que dans ce cas, l’ordre est indifférent. Il se dit que si l’on multiplie  (ou divise) la durée par un nombre non nul , le désagrément (pour Rita) est multiplié (ou divisé) par le même nombre . Vérification immédiate: on a a1,b1 et k*a1, k*b1 pour les couples. Il calcule D1-D2=  a1(b1+kb1)+k*a1*kb1- k*a1( kb1+b1)-a1*b1= 0
En Conséquence D1=D2 et Luigi a parfaitement raison de commencer par l’un ou l’autre indifféremment.
3° Le problème est : s’il prend 2 appareils, ils n’entrent pas forcement dans le cadre 1° ou 2°! Après un moment d’hésitation, il multiplie les termes des deux couples par des  nombres  en s’arrangeant pour que les désagréments soient identiques (1°) . Mais Luigi est lucide et sait que s’il remplace un couple par un autre dont les termes sont proportionnels, le désagrément n’est plus le même et s’interroge sur les désagréments obtenus ; Il désigne a1,b1 et a2, b2 les couples, et D1, D2 leurs désagréments avant et après permutation. Puis il calcule D1-D2 et trouve a1*b2-a2*b1.
            Il désigne a1*b2,b1*b2 et a2*b1, b2*b1 les couples, et D’1,D’2 leurs désagréments avant et après permutation. Puis, il calcule D’1-D’2 et trouve b1*b2(a1*b2-a2*b1).
                                                         

A ce stade de la réflexion, il est en mesure de donner un résultat clé : D1 ≤ D2 si et seulement si a1/b1≤a2/b2

             a1    a2 
<==>det            ≤ 0
              b1   b2

Cas de 5 appareils

4°Pour minimiser ses calculs, Luigi décide , à partir d’un ordre quelconque, de permuter les réparations consécutives de 2 appareils et de comparer les désagréments obtenus. Il montre que
                                                                            
Théorème :
quel que soit i , 0< i < 5, si Di est le désagrément d’un ordre quelconque et Di+1 celui obtenu en permutant les couples consécutifs ai,bi et ai+1, bi+1,
                                    ai    ai+1
Di ≤Di+1 < = >  ai/bi ≤ ai+1/ bi+1 <== > det                     ≤ 0
                     bi    bi+1
Pour cela il n’a que 4 différences Di – Di+1 à calculer à partir de D1 , en permutant successivement les indices 1 et 2, 2 et 3 , 3 et 4 , et enfin 4 et 5 .(calculs sans problèmes)
Il peut ainsi définir l’ordre optimal des réparations et démontrer que tout autre ordre implique un désagrément supérieur sans calculer les 5 ! ordres. Ce qui l’amène à la solution en partant d’un ordre quelconque

Preuve : Ordonnons dans l’ordre croissant les quotients ak/bk et appelons :
t1      t2    t3       t4    t5
d1    d2    d3     d4      d5     la suite ordonnée des couples obtenus.

Appelons Dm le désagrément correspondant.

Montrons que Dm = min E, E désignant l’ensemble des désagréments
                
En effet, pour un ordre des (ak, bk) le total des désagréments D1 = Dm
                                                       ai       ai+1 
si et seulement si tous les déterminants           bi         bi+1        sont négatifs.

Sinon, si l’ un au moins de ces déterminants est strictement positif, en permutant les deux colonnes,
le désagrément obtenu D2 < D1 d’après le théorème.
On réitère une permutation si l’on a un autre déterminant strictement positif  et on obtient D3 < D2 < D1.
Après un nombre fini de L permutations, on obtient :
Dm =DL< D(L-1) < D(L-2) <    …< D3< D2 <  D1.

C.Q.F.D.
En conclusion, il suffit simplement d’ordonner les 5 quotients ak/bk dans l’ordre croissant

Ce qui donne pour le cas particulier :

3        2        5        4           6
    +        -        +        -               D1= 287   + et – désignant le signe de chaque déterminant consécutif.
2        3        4        9           5

Pour illustrer la démonstration,
on permute de gauche à droite SUCCESSIVEMENT LES COUPLES dont le déterminant est strictement positif:

2        3        5        4            6
    -        +        +        -        D2= 282
3        2        4        9             5

puis

2        5        3        4        6
    -        -        +        -        D3=280
3        4        2        9        5

2        5        4        3        6
    -        +        -        +        D4=261
3        4        9        2        5

2        4        5        3        6
    +        -        -        +        D5=232
3        9        4        2        5

   
4        2        5        3        6
    -        -        -        +                                                                                                                                                                            D6 = 226
9        3        4        2        5

4        2        5        6        3
    -        -        +        -        D7 = 223
9        3        4        5        2

4        2        6        5        3
    -        -        -        -         D8=Dm = 222 (fin)
9        3        5        4        2

            Le bon ordre : O,LV,TV,LL,F désagrément 222
        Remarques : l’ordre le plus mauvais (décroissant) est F,LL,TV,LV,O et correspond à un désagrément de 336. La méthode obtient le résultat sans passer par un tri préalable

A+

Salut Freddy

Je vois que tu as très bien posé le problème et même commencé sa résolution. Tes remarques pertinentes permettent de progressser dans l'analyse et d'aboutir à une méthode de résolution (je ne parle pas du principe de Bellman que je ne connais pas mais qui a ouvert ma curiosité)
Sauf erreur de ma part , tu as trouvé l'ordre O,TV,LL,LV,F qui engendre un désagrément de 237.
J'en ai un : LV,O,LL,F,TV qui vaut 232.

Par ailleurs, connaissant le problème, je n'ai aucune difficulté à répondre à celui que tu as proposé

Bye

Evaristos