Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour Zebulor.
Merci beaucoup d'avoir pris le temps de me répondre.
Malheureusement je me sens un peu frustrée parce que je ne sais pas si j'arrive à avoir une réponse à ma question.
Ce n'est pas du tout la réponse qui ne va pas, parce que je vois bien qu'elle est bien détaillée et rigoureuse, mais je crois que je fais un blocage.
En fait je ne sais pas si tu t'y connais en microéconomie mais en gros on a;
-  la fonction de production qui à chaque combinaison de travail et de capital fait correspondre un niveau de production.
C'est donc une fonction de R^2 dans R.
- Les isoquantes de production, qui correspondent aux courbes de niveaux de la fonction de production et qui sont les lignes d'intersection de la surface représentative cette fonction de production avec un plan d'équation z = p qui modélise un niveau de production fixé.
- Donc les isoquantes de production sont représentées sur un repère avec l'abscisse qui représente la quantité de travail utilisé et en ordonnée la quantité de capital utilisé, et les isoquantes relient toutes les combinaisons de travail et de capital qui permettent un niveau de production fixes. 
Les isoquantes sont décroissantes car si on augmente la part de travail, on doit réduire la part de capital pour rester sur un niveau de production fixe. La dérivée première négative
Les isoquantes sont convexes. Ceci s'explique par le fait que les combinaisons de facteur capital et travail sont en générale plus productive quand elles sont équilibrées que lorsqu'elle ne le sont pas. Donc plus on aura de travail (c'est à dire plus on sera à droite sur l'axe des abscisses) moins une hausse de l'utilisation du travail devra être compensé par une grande quantité de capital pour rester sur un même niveau de production. On a donc la dérivée première qui est de moins en moins négative, c'est à dire une dérivée seconde positive et donc une courbe convexe.
- On a les droites d'isocoût qui relient toutes les combinaisons de facteur travail et capital permettant un niveau de coût inchangé.
Si on note
pl : le prix du travail
pk ; le prix du capital
l: la variable de la quantité de travail utilisé
k : la variable de la quantité de capital utilisé
CT : le coût total

On a CT( K, L) = L. Pl + K. Pk
et donc les droites d'isocoût ont pour équation K = CT/PK – L. PL/PK

On cherche graphiquement à minimiser les coût pour un niveau de production donné, donc on cherche, sur l'isoquante de production, quelle combinaison de facteur travail et capital permet un niveau de coût minimum.

Et il est admis de dire que cette combinaison qui minimise les coût se trouve au point de tangence de l'isoquante et d'une des courbes d'isocoût.

J'aimerais comprendre pourquoi (en fait je le comprends intuitivement très bien mais ça reste très imprécis dans la mesure où je n'arrive pas à l'expliquer avec des mots rigoureux).

> Qu'est-ce qui fait que l'isoquante n'admet, parmis les droites d'isocoût qu'une seule tangente ?
> Pourquoi une droite d'isocoût qui n'est pas tangente avec l'isoquante modélise soit un coût qui ne permet pas de réaliser le niveau de production souhaité, soit un coût qui n'est pas minime ?
> Pourquoi une droite d'isocoût ne peut pas intercepter qu'une seule fois une courbe convexe (pourquoi c'est forcément 2 fois ou pas du tout ou tangente)