Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir et bonne année 2026
Bon pour des raisons pratiques j'ai préféré rechanger les noms de certains points de façon que tous les points de nom X soient tous situés dans le même demi-plan délimités par la droite (IM) et tous les points de nom X' soient tous situés dans le même demi-plan délimités par la droite (IM) et tels que le point de nom X' soit le symétrique du point de nom X par rapport à l'axe (IM)
Avec ce changement
Le point qui s'appelait C' prend le nom de D'
Le point qui s'appelait D' prend le nom de C'
Le point qui s'appelait E prend le nom de E'
Le point qui s'appelait E' prend le nom de E
Le point qui s'appelait J prend le nom de K'
Le point qui s'appelait K prend le nom de J'
Le point qui s'appelait J' prend le nom de J
Le point qui s'appelait K' prend le nom de K

On a deux autres coniques définies par six tangentes (cinq tangentes suffisent évidemment)

... de plus C,C',D,D',H,G et C,C',D,D',N,N' sont chacun coconiques

Dans la figure ci-dessous :

Les six points C,C',D,D',H,G sont ceux de la conique de couleur verte

Les six points C,C',D,D',N,N' sont ceux de la conique de couleur orange

Bon après je ne remarque rien d'autre et au final tout cela pour un simple triangle isocèle.

Bien cordialement,
Dominique

Bonjour Jelobreuil et Rescassol et bonjour à tous

En fait Jelobreuil je n'ai pas réfléchi à cette question car je n'avais juste besoin que de faire apparaitre deux quadrilatères complets qui me semblaient "remarquables" à partir d'un triangle isocèle et je suis tombé sur ce petit résultat de droites convergentes.
Au passage bonne année à tous.
Je dois faire quelque chose qui n'est pas en rapport avec cela car je me suis aperçu que j'ai trouvé autre chose que ce petit résultat pour réaliser le bidule que je cherche à faire.

Ci-dessous on voit apparaitre un faisceau de huit droites issues de E et idem issues de E' avec d'autres convergences de droites

Bien cordialement
Dominique

Ahhhh la honte je n'ai même pas été fichu de lui donner le lien de l'album complet (impardonnable car c'est mon congélateur psychique depuis 50 ans en plus)

The Dark Side Of The Moon

De toute façon le "prisme" éclaire dans la nuit que pour vous alors on sait qu'on doit vous suivre chère Vassillia
Bonne continuation à vous (et encore merci Vassillia)

PS : pour les axes focaux en fait je ne suis pas obligé d'avoir leurs écritures
Il y a une involution qui permet d'avoir un axe de symétrie pour une conique bifocale
si les axes focaux sont parallèles la démonstration se réduit tout simplement à montrer que les axes de symétrie de ces hyperboles sont parallèles ou perpendiculaires

Merci Rescassol
Je viens juste de trouver le lien adéquat (grâce à tes indications)
liste des droites centrales

Bonjour Jelobreuil et Rescassol

Entre parenthèses

Sur les-mathématiques . net il y a certainement un document qui en parle  car j'ai fait une recherche google  et je suis tombé sur un lien les-mathématiques.net mais voilà en cliquant il le télécharge tout de suite et je ne peux pas l'ouvrir
Il s'agit d'un dossier système
Voilà l'adresse du lien :

les-mathematiques.net/vanilla/uploads/dump_data/2007/0107/05/2768

Je ne place pas le lien car tout le monde n'a peut être pas envie qu'en cliquant il telecharge direct et en plus
Chose bizarre il fait 500 mégaoctet???? 

Comme je ne peux pas l'ouvrir je vais le supprimer

Mais bon tant pis ... je fais avec les moyens du bord et puis après on verra bien

Fin de la parenthèse

Bonjour

Donc j'en arrivais qu'étant donné que T (alias donc X(65)) est l'orthocentre du triangle $F_aF_bF_c$ il arrive donc ce qui était demandé par Jelobreuil
$(F_aD_a)\perp (F_bF_c)$ , identiquement $(F_bD_b)\perp (F_cF_a)$ ,  identiquement $(F_cD_c)\perp (F_aF_b)$
son point $K$ est le point $D_a$ de ce propos
son point $D$ est le point $F_a$ de ce propos
son point $E$ est le point $F_b$ de ce propos
son point $F$ est le point $F_c$ de ce propos
et ce qui est demandé est  $(DK)\perp (EF)$

Bref j'en arrive donc à cette droite (ST) donc alias (X(57)X(65))
( je n'avais pas encore calculé ce point T alias X(65) et je ne savais rien de lui)
Le temps passe et j'y reviendrai plus tard

Bonsoir Rescassol (je suis revenu et je suis arrivé à temps là-bas)

ah du coup je ne m'y prends pas du tout comme vous Rescassol

Voici ma méthode (qui fonctionne mais sans logiciel)

Je dispose de la formule des coordonnées barycentriques d'un point M que je suppose être un centre
Je calcule ces coordonnées en prenant a=6,b=9,c=13
Puis je calcule les coordonnées barycentriques normalisées $(u:v:w)$ de ce point donc là avec $u+v+w=1$
Ensuite je pose $d=8\sqrt {35} $
cette valeur de $d$ est le déterminant (positif) d'une matrice de passage d'une base orthonormée e vers ... (que je choisis adéquatement sans même calculer cette matrice car je n'ai besoin que de ce déterminant (elle est virtuelle ma base) ) ... donc vers là encore une base virtuelle dont la première colonne donne les coordonnées (sur cette base virtuelle e) du vecteur virtuel (différent de mon triangle ABC mais je garde les notations $\overrightarrow {AB} $ qui est la différence du deuxième point d'un triangle (virtuel) $B(virtuel)$ de type 6_9_13 avec le premier point $Avirtuel$ de ce triangle virtuel dans lequel $BC=6,CA=9,AB=13$ et la deuxième colonne donne les coordonnées (toujours sur cette base virtuelle e) du vecteur virtuel $\overrightarrow {AC} $ qui est la différence du troisième point $Cvirtuel$ avec le premier point $Avirtuel$ de ce triangle virtuel de type 6_9_13

bref je dispose de $d=8\sqrt {35} $ sans me soucier de la virtualité de ce triangle que je n'ai même pas besoin de positionner quelque part sauf dans ma tête

La première coordonnée trilinéaire normalisée de mon point est tout simplement le rapport $\dfrac {du}{a}=\dfrac {8\sqrt {35} u}{6}$

Cette coordonnée étant la mesure algébrique du bipoint dont le premier terme est le point M et le second terme est le projeté orthogonal de ce point M sur la droite (BC) virtuelle elle aussi

Merci Rescassol

Donc là pour la suite du propos je vais nommer S le centre X(57) et T le centre X(65) comme il est dit dans l'image précédente

J'en profite au passage pour donner les coordonnées barycentriques de $\  D_a\  ,\  D_b\  ,\  D_c$

$D_a=\left(a^2-2ca.cos\  \beta \  :\  \left(b-c\right)\left(a-c.cos\  \beta \  \right)\  :\  c.cos\  \beta \  .\left(b-c\right)\right)$

et permutation circulaire pour $\  D_b\  ,\  D_c$