Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour Ernst,

Oh que ta découverte est intéressante !!

Ce Nicolas-Louis de Lacaille serait donc à l'origine de l'adjectif ! « que j'ai appelé Népérien » ne laisse guère de doute.

Question subsidiaire : Quelle est éventuellement la courbe ayant le même rôle que $y = \dfrac 1 x$ pour un logarithme de base $a$ quelconque ?

Autrement dit, existe-t-il d'autres courbes pour lesquelles l'aire présente des caractéristiques de logarithme ?

Bonjour DeGeer,

Oui ! D'autant plus que, historiquement, c'est la fonction $e^x$ qui a été déduite par Euler du logarithme naturel, Euler considérant que toute fonction exponentielle de base $a$ est la fonction réciproque du logarithme de cette même base $a$ !

PS : Je ne vois par mes élèves que l'enseignement secondaire. J'ai assuré à un moment des suivis en différentes Premières années, mais n'ai pas continué suite à une alerte de santé on ne peut plus significative (arrêt cardiaque, heureusement survenu aux Urgences, et sans séquelles...)

Bien que DrStone ait visiblement envie de "papoter", j'ai vais commencer, vu l'heure — 1 h 25 — à songer à l'éventualité de me préparer au dodo.  :-)

Bonne et douce nuit !

Ah bon ? Je me souviens qu'on nous faisait étudier les lieux géométriques, sur lesquels je butais régulièrement. (J'étais, carnet scolaire à l'appui, 37ème sur une classe... de 37. :-)

Le prof de 4ème (ou de 3ème) nous avait alors conseillé « La géométrie du triangle » de Trajan Lalesco, que j'ai racheté il y a quelque temps...

Entièrement d'accord !
Je bous je ne sais combien de fois par semaine face à cet enseignement qui se veut rigoureux, et qui gagnerait tellement à être « plus permissif et moins borné » !
Pas plus tard que ce soir, j'expliquais l'étendue concrète des limites de $\dfrac {lnx} x$ et de $xlnx$, calculatrice à l'appui.

20 vs 1 milliard, ou 0.000001 vs -13,5...

Il faut donc factoriser par $e^{2x}$, écrire que la limite de $\dfrac {1} {e^{2x}}$ est égale à $0$, etc.

C'est précisément cet exercice qui m'a fait penser à la métaphore du poids d'une puce par rapport au poids d'un éléphant. ou plutôt d'un troupeau d'éléphants.

Voici les trois courbes sur GeoGebra.

Pour la troisième, on voit bien le méplat engendré par la limite...

Ce genre de démo (trop trivialement concrète) est malheureusement non autorisé !  :-(

Il faut donc procéder par changement de variable en bonne et due forme.

Bonjour tout le monde, bonjour Roro,

Je me rends compte à la suite de ton message que ma volonté permanente de me libérer des nombreuses formules indéfiniment répétées — j'utilise l'adjectif peu amène "bêlées" — entraîne, non seulement un indéniable énervement permanent contre l'enseignement des maths tel qu'il est pratiqué, mais aussi une attitude quelque peu péremptoire pouvant se traduire par quelque chose comme « Mais enfin ! comment les profs et les auteurs peuvent-ils ne pas voir l'évidence que, moi, je vois ??!! »

Donc, oui, une certaine indulgence est nécessaire !
Et l'attitude que je dois apprendre à pratiquer est plutôt « L'écriture courante est celle-ci. Je te propose cette autre lecture qui te permet de voir la concordance — plutôt que "cohérence" — de notions pouvant sembler différentes. »

En appliquant cette attitude à l'exemple cité, la reformulation moins "despotique" de la somme des $n$ premiers entiers naturels pourrait être :

« En remarquant que compter est la suite arithmétique de raison 1 et de premier terme 1 — c'est d'ailleurs la toute première suite arithmétique connue et apprise —, on peut écrire la somme des $n$ premiers entiers naturels sur le modèle de la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique : $n \dfrac {1 + n}{2}$.
Certes, cette écriture est totalement inhabituelle — moi-même j'utilise la formule classique $\dfrac {n(n+1)}{2}$ —, mais elle permet de se rendre compte qu'une formule, même si elle est systématiquement répétée, ne doit pas être prise à la lettre comme une vérité absolue. »

Merci donc, Roro, de ton intervention qui a pour moi une portée dépassant le cadre de mes cours et de ma présence quelque peu conséquente (trop ? :-) sur les forums Collège/lycée et Supérieur !

Je me permets toutefois un petit bémol :

Je vois, à travers les notes de cours et polycopiés, très peu d'enseignants faisant montre d'une certaine individualité — de mémoire, deux seulement, l'un d'un lycée public local de bon aloi, l'autre d'un lycée privé prestigieux.
Comme, en outre, les élèves ne cherchent malheureusement plus vraiment à comprendre et à apprendre par eux-mêmes, je doute du plaisir qu'ils auront à se faire eux-mêmes une idée si on ne les entraîne pas à "voir autrement".

Bonne journée de début de semaine.
Bien cordialement,
Borassus

PS : Merci encore, Roro !

Mais je vois dans des formulaires les deux expressions suivantes l'une après l'autre :

$u_0 + u_1 + u_2 + ... u_n = (n + 1) \dfrac {u_0 + u_n}{2}$

et

$1 + 2 + 3 + ... + n = \dfrac {n(n + 1)}{2}$

Soyons homogène (ou cohérent), voulez-vous :
Savoir compter de 1 à n est la toute première suite arithmétique qu'a connue l'humanité, et qu'assimile chaque petit enfant tout fier de compter sur ses petits doigts : la suite de raison $1$ et de premier terme $1$. (Mais la maîtresse ne dit pas à ses petits élèves « Aujourd'hui nous allons apprendre la suite arithmétique de raison $1$ et de premier terme $1$. Le sait-elle elle-même ?  :-)

Mais l'égalité $1 + 2 + 3 + ... + n = \dfrac {n(n + 1)}{2}$ provient d'un artifice de calcul (que la légende prête à Gauss, dont c'est aujourd'hui l'éphéméride), et ne traduit pas une logique de fond !

Pour être cohérent avec l'expression concernant la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique, il faudrait écrire la somme des $n$ premiers entiers naturels sous la forme $n \dfrac {1 + n}{2}$.

Mias, Monsieur, PERSONNE ne l'écrit comme cela !! C'est du n'importe quoi !

Bonsoir jelobreuil,

Je suis content de voir que je réveille de vieux souvenirs.  :-)

Effectivement, j'avais fait une erreur de saisie (ou de copier-coller).
Ta remarque m'a permis de découvrir une deuxième erreur à la troisième ligne : $a^2$ au lieu de $a^2x$.

J'ai donc corrigé les deux erreurs. Merci.

Bien amicalement aussi. B.

Voilà ! :-)

Même $-x +b$ ne leur sera pas évident...

PS : Je crois que je n'ai pas une seule tête blonde.  :-)