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Bonjour Joumana,

Je vois bien que X est une variable aléatoire réelle (var), fonction compliquée de deux var indépendantes , mais je ne vois pas le lien entre X et Y.

Y est elle une var qui suit une loi exponentielle ? Y est elle liée aux deux var indépendantes delta et théta ?

A priori, X et Y ne sont pas liées (elles sont indépendantes, non ?), et donc on a E(X/Y) = E(X), non ?

De fait, je ne vois pas bien ta demande.

+

Hello tutti,

une (fausse) piste :

http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=2589

Re,

de manière plus générale, voici quelques principes de base.

Tout d'abord, un taux est toujours exprimé en  % sur une année. Les complications apparaissent quand il s'agit de définir le montant des intérêts à calculer sur une durée inférieure à l'année. Par exemple, sur le marché monétaire interbancaire, la convention de taux est la suivante : nombre exact de jours (une des deux bornes exclue) rapportée à une année de 360 jours. En clair, un taux nominal annuel de 12 % sur un an coûte en réalité 12*365/360 pour cent euros empruntés, soit 12,17 € pour une année non bissextiles. Sur des durées plus longues, dans le cadre des emprunt obligataire, les coupons "tombent" annuellement en Europe et semi annuellement aux USA ...

C'est ainsi que les actuaires en sont venus à définir la notion de taux actuariel de la manière suivante.

Si I est le montant d'intérêts payés pour un prêt de montant K d'une durée de n jour(s), le taux actuariel txact annuel équivalent vérifie l'équation :

[tex](1+\frac{I}{K}) = (1+txact)^\frac{n}{365}[/tex] pour une année normale.

C'est, en quelque sorte, le mètre étalon du gardien de la méridienne.

Pour les crédit hypothécaires, on retient la notion de taux proportionnel, ou bien base 30/360, à savoir que l'année compte 12 mois de 30 jours chacun. C'est le même principe pour le calcul obligataire.

Nota : pour la Sécurité Sociale (branche Maladie), une année compte 13 mois de 28 jours ... Pour la branche Vieillesse, une année est composée de 4 trimestres qui peuvent être composés d'un seul mois ...

Soient M le montant emprunté, m l'échéance constante acquittée selon une périodicité infra annuelle p (12 si mensuelle, 4 si trimestrielle, 2 si semestrielle et 1 si annuelle) , au taux annuel TAUX, soit au taux période proportionnel [tex]x = \frac{taux}{p}[/tex], on a alors :

[tex]M = \sum_{k=1}^n \frac{m}{(1+x)^k}[/tex]

S'agissant des prêts d'épargne logement, le taux période est, par convention, un taux mensuel équivalent au taux annuel, soit :

[tex]x = (1+taux)^{\frac{1}{12}}-1[/tex]

PS : j'ai coutume d'appeler cette opération "la division actuarielle !... ".

Concernant les prêts à taux 0 % de l'État, les conventions de calculs sont aussi en taux mensuel équivalent.

Remarque : Les taux période des crédits hypothécaires belges sont tous calculés selon la méthode dite des taux équivalents, et non selon la méthode dite des taux proportionnels. Ceci cache une subtilité financière qui a fait en partie la fortune des banques jusqu'au dernier quart du vingtième siècle, et quand les taux étaient supérieurs à, disons,  7/8 %.

Si les échéances sont définies de manière distinctes, on a toujours :

[tex]M = \sum_{k=1}^n \frac{m_k}{(1+x)^k}[/tex]

A chaque date p, on peut calculer le capital restant dû :

[tex]CRD_p = \sum_{k=1}^{n-p} \frac{m_k}{(1+x)^k}[/tex]

Si les échéances sont distinctes et s'il y a plusieurs taux différents durant la période de remboursement du crédit, on montre qu'on a encore :

[tex]M = \sum_{k=1}^n \frac{m_k}{\prod_{j=1}^k (1+x_j)}[/tex]

Ce résultat s'obtient pas la résolution de l'équation de base du déroulement périodique d'un tableau d'amortissement (TA) de #8.

Si les échéances mensuelles croissent selon un taux annuel constant (il peut même avoir plusieurs paliers), on voit qu'il suffit de connaître la première échéance pour en déduire toutes les autres.

De fait, les programmes informatiques s'en trouvent simplifiés, ainsi que les formules dont se servent les actuaires en finance ou en assurance.

Re,

Pour faire simple et démarrer avec le cas cité (crédit PAP consenti par le CFF via le CDE pour des raisons amusantes à connaître), j'ai calculé la première échéance en utilisant Excel et son utilitaire intégré "valeur cible" de la manière suivante (Rq : l'échéance initiale étant proportionnelle au montant emprunté, un TA pour 10 ou 100.000 suffit, voire pour 1 €), pour une durée n en années et un montant M :

Formule de récurrence d'un TA :

[tex]CRD_{i+1}=(1+TX_i)\times CRD_{i} - ECH_i[/tex] pour i compris entre 0 et 4n (nombre de trimestre). (je n'ai pas trouvé assez vite le bon code latex ...)

On a par, définition
[tex]M_0 = M[/tex] et [tex]M_{4n} = 0[/tex]

Dans le TA, le calcul de l'échéance débute deux ans après le différé d'amortissement. On peut toutefois faire le calcul sans la phase d'anticipation, cela ne change en rien les résultats comme établi plus tard.

Pour chaque date i, on prend bien soin de retenir le taux trimestriel proportionnel correspondant :
[tex]TX_i = Taux_i/4[/tex] avec les périodes indiquées plus haut, et la bonne échéance majorée de 4 % l'an en utilisant une petite congruence modulo 4.

Une fois qu'on a déroulé le tapis (i. e le Capital Restand Dû = CRD) sur 80 lignes, on détermine la valeur initiale de ECH(1) telle que le CRD en "i" = 80" est égal à 0 ET CRD(79) > 0 !... (utiliser la fonction valeur cible d'Excel, assez robuste dans les cas de fonctions qui se "comportent bien").

Pour complément, on a, toujours par définition :

Intérêts de la période (i+1) : INT(i+1)=CRD(i)xTaux(i)/4

Amortissement de la période i : AMORT(i+1) = CRD(i+1) - CRD(i)= ECH(i+1) - INT(i+1)

Principe financier = on paie d'abord les intérêts dû sur (i+1)  (prix de la location du capital de montant CRD(i)), la différence par rapport à l'échéance de la période est appliquée au remboursement du principal.

Par prudence, on vérifie que la somme des amortissements : le capital emprunté par tout moyen possible, les erreurs difficiles à détecter se cachent souvent dans le nom respect de ce principe.

PS : je développerai les formules actuarielles de base plus tard. Elles sont assez simples sur le fond.

@++

Re,

ça ne m'étonne pas, les calculs développés par le "Bonneau et Wisniak" (depuis 1995)  sont en taux actuariels, et pas proportionnels.

Quant à l'heureux bénéficiaire, je pense qu'il a payé un peu trop ...Mais chut, je pense qu'il y a prescription ...

Sinon, en termes de formulaires et autres méthodes financières, il y a eu beaucoup de progrès réalisés, et sans tomber dans un formalisme exagéré, on peut donner des bases logiques, saines et robustes.

Je pense qu'on peut toucher un public assez large (au moins ceux que je fais souffrir régulièrement ...)

Sinon, dès que j'ai le temps, je posterai, sous latext, les formules à utiliser pour déterminer cette échéance initiale.

On pourrait d'ailleurs ouvrir une rubrique sur les calculs financiers et les formules actuarielles ad hoc ?
T'en penses quoi, Fred ?

J'ai vu : ce sont encore des attrapes nigauds, comme les recommandations sur la forme des numéros, ceux qui sont sortis il y a peu ...

Les tirages sont indépendants, les huissiers de la Française des Jeux y veillent jalousement.

Deux liens :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Loto

http://fr.wikipedia.org/wiki/Euro_Millions

Hi Laurent,

voila ce que je peux te dire, d'un strict point de vue combinatoire :

Combien peut on faire de grille de 6 numéros distincts choisi parmi les nombres de 1 à 49 ?

On a [tex]\binom{49}{6} = 13.983.816[/tex]

Quand les 6 numéros ont été tirés, une grille parmi les presque 14 millions est gagnante.

Avec 5 numéros gagnants seulement, on a :

    [tex]\binom{43}{1}\times\binom{6}{5} = 43\times6 = 258[/tex] grilles gagnantes.

Avec 4 numéros gagnants seulement, on a :

    [tex]\binom{43}{2}\times\binom{6}{4} = 903\times15 = 13.545[/tex] grilles gagnantes.

Avec 3 numéros gagnants seulement, on a :

    [tex]\binom{43}{3}\times\binom{6}{3} = 12.341\times20 = 246.820[/tex] grilles gagnantes.

Avec 2 numéros gagnants seulement, on a :

    [tex]\binom{43}{4}\times\binom{6}{2} = 123.410\times15 = 1.851.150[/tex] grilles gagnantes.

Avec 1 seul numéro gagnant , on a :

    [tex]\binom{43}{5}\times\binom{6}{1} = 962.598\times6 = 5.775.588[/tex] grilles gagnantes.

Tu remarqueras que ce dénombrement est fait sous l'hypothèse qu'on connaisse le résultat du tirage ... Je serai curieux de voir comment, en 511 grilles, on est sûr d'avoir 3 numéros gagnants, mais je peux manquer d'imagination.

Je vais regarder de plus précise ces systèmes réducteurs.

Hello tutti,

je propose la solution géométrique suivante (qui doit être celle de nerosson en moins bavard :-) :

On prend le rectangle ABCD

On tend une corde fixe entre E et F, milieux respectifs des cotés  [AD] et [BC].

On tend une autre corde fixe entre G et H, milieu respectif des cotés [AB] et [DC].

Je relie le mouton sur l'axe [EF] au moyen d'une corde fixe dont la longueur est égale à la moitié de AD ou BC ;

Je relie le mouton sur l'axe [GH] au moyen d'un corde fixe dont la longueur est égale à la moitié de AB ou DC.

Le mouton peut brouter tout le rectangle ET que le rectangle.

Il faudra détacher 3 fois le mouton par rapport au premier sous rectangle pour qu'il broute tout le champ.

Pour mieux visualiser, on peut imaginer que les deux cordes fixes soient reliées en leur milieu par un croisillon en acier galvanisé pour assurer une tension maximale.

Carpe Diem

Je complète un peu plus : dans mon acception, le critère de Bayes est la maximisation d'une fonction d'utilité sous contrainte d'une distribution de probabilités a priori subjectives  sur les événements pouvant affecter aléatoirement les conséquences de ma décision.

Cette distribution de proba est la synthèse de tout ce que je peux savoir sur ces événements, notamment par des observations du passé ainsi que mon propre jugement construit en particulier sur des informations autres que celles tirées de la simple observation du passé.

Donc l'illustration est "simple" et en même temps "difficile" car subjective par définition.

On peut prendre comme souvent une fonction d'utilité u(x) (fonction de l'espace des décisions vers celui des valeurs réelles ) la racine carré de x (= bénéfice attendu >0) et une distribution de proba. a priori un peu améliorée.

En effet, l'inconvénient majeur des autres critères de décision est que U(x) =x, ce qui traduit assez mal l'aversion ou la propension au risque (dans le cas de la fonction identité, on est risque-neutre sans le savoir vraiment).

et ci dessous aussi :

http://www.douillet.info/~douillet/02co … node3.html

Bonjour Lili67

pourrais tu commencer par nous définir ces différents critères pour qu'on puisse essayer à t'aider ?

En effet, les approches et méthodes bayesiennes sont tellement multiples que la simple évocation du critère de Bayes ne me permet pas de comprendre celui auquel tu fais référence.

D'avance, merci.

Pour mes petits camarades, voici les exemples de critère de décision classique :

http://sciences.ows.ch/exercices/ThJeux.pdf