De Borassus

Borassus · Entraide (collège-lycée)

Bonsoir à tous, et bonsoir Black Jack,

Maintenant que je suis rentré de cours et ai dîné, je peux exposer mes réponses :

Black Jack a écrit :

Pas besoin de faire un roman pour détailler ces 4 lignes qui coulent de source.

Qui coulent de source pour une personne comprenant aisément et rapidement les étapes d'un calcul !

Comme j'écris non pas aux éminents spécialistes intervenant dans ce forum mais aux lycéens qui suivent tant bien que mal nos débats — j'espère qu'ils en tirent quand même quelques connaissances et compréhensions —, et comme je sais ô combien d'expérience à quel point ils sont loin de comprendre ce qui est censé couler de source, même sur des points d'une évidence totale, j'ai rédigé le développement des calculs comme je le fais d'habitude avec mes élèves — j'ai écrit pour eux je ne sais combien de milliers de pages manuscrites —, en décomposant soigneusement les étapes, même les plus élémentaires. (J'ai hésité pour $lne$ mais, connaissant mon public, ai préféré le garder.)

Black Jack a écrit :

tout tirage en longueur est inutile et devrait même être sanctionné pour perte de temps

A propos de la perte de temps, puis-je malicieusement faire remarquer à BJ que le temps que j'ai pris pour rédiger "mon roman" — et encore j'ai vite abandonné l'écriture laborieuse en LaTeX — a précisément pour source directe le peu de temps que ce même BJ a consacré à rendre lisibles ses expressions (avec, en prime, l'omission d'un facteur) ?..

Pour ce qui est du tirage en longueur, j'ai pu observer deux catégories d'auteurs :
ceux dont on lit confortablement les développements, en ayant l'impression d'être en permanence guidé, même dans le détail ;
et ceux, bien moins courtois, qui obligent leurs lecteurs, du moins ceux qui s'accrochent, à se battre ligne par ligne pour comprendre la façon qui les fait aboutir de telle expression à telle autre. (C'était à ce type d'auteurs — "on voit à l'évidence que" ; "on en déduit immédiatement que" — que je faisais allusion.)

Autrement dit, il y a les auteurs qui prennent le temps de permettre à leurs lecteurs d'économiser le leur ; et il y a ceux qui estiment du haut de leur « coulement de source » que leurs lecteurs ne méritent que le juste minimum syndical.
_______________

Pour en revenir à la question technique, je comprends tout à fait ton argument, Black Jack :
la règle de l'Hospital — ou plutôt, semble-t-il, de Jean Bernoulli du fait d'un arrangement financier avec son "génial marquis" d'élève — ne nécessite pas d'apprentissage particulier, notamment de formules qu'il faut mémoriser ou savoir retrouver.
Je l'ai donc testée pas plus tard que ce soir avec un élève de Terminale à qui j'ai expliqué la détermination de précisément cette limite objet de nos échanges. (Mais, au lieu de passer par le logarithme de la fonction, j'ai utilisé la structure fort utile $a^b = e^{b \cdot lna}$, ce qui permet d'aboutir directement à la limite.)

Petite note au passage : Pour lui, pourtant assez bon élève, le passage de $\frac 1 {sinx} \left[ \frac {ln(1 + x) - x} x \right]$ à $\frac {ln(1 + x) - x} {xsinx}$ ne coulait pas immédiatement de source...

Tu as cependant, me semble-t-il, raison sur ce point : la règle dite "de l'Hospital" mériterait d'être davantage enseignée, par exemple en Terminale au moment où on étudie les limites de fonctions, incluant les indéterminations de type zéro sur zéro, ou infini sur infini.
(Les exercices de détermination zéro sur zéro relèvent souvent de l'expression d'un nombre dérivé. La règle de l'Hospital peut apporter une autre façon de procéder.)

Je traiterai donc de la "règle du génial Marquis" avec mes élèves de Terminale.

Merci donc, Black Jack, d'avoir fait évoluer ma pratique pédagogique !

(Pratique que je cherche en permanence à faire évoluer !
Je déteste notamment les polycopiés transmis aux élèves par les profs, qui figent durablement ces derniers, d'année en année, dans leur train-train.
Pour ma part, j'improvise et innove sans cesse, même lorsque j'ai été prof face à une classe, ou lorsque j'anime des stages pendant les vacances scolaires.)

Borassus · Entraide (collège-lycée)

Bonjour bobbycat

Puis-je, pour commencer, te rappeler qu'un premier message commence par "Bonjour" ou "Bonsoir", suivant l'heure à laquelle est rédigé le message, et peut même être personnalisé, comme l'est celui-ci ?

Ceci dit, merci de t'être prêté au jeu que j'ai proposé.

Ah, le sacro-saint programme !!
Pourtant, la règle de divisibilité que je mentionne est au programme de Première en Russie (même s'il s'agit, selon le comptage des classes russe, plus logique que le comptage français, de la 10ème classe, la dernière classe de l'enseignement secondaire étant la 11ème.)

Fichtre : Une idée politique ? Dis-moi, je suis impatient de connaître cette idée ! :-)

Les congruences sont quant à elles encore moins au programme de Première puisqu'elles sont vues maintenant en Terminale Maths expertes.

Il y a cependant plus simple, et moins "spécialisé" : à partir de l'indication fournie, et avec un peu d'observation, l'exercice se résout facilement pour peu qu'on maîtrise un tant soit peu les techniques de factorisation...

A bientôt ? :-)

Borassus · Entraide (collège-lycée)

Bonsoir tout le monde, et bonsoir Black Jack,

Pour ma propre gouverne, j'ai voulu, pour les comprendre, refaire les calculs indiqués en les écrivant de façon plus lisible, et en les développant pas à pas. (Pour ne pas passer trop de temps à saisir les calculs en LaTeX, je les ai menés à la main sur papier.)

______________________________

Quatre lignes, quatre lignes...

Cela me rappelle les auteurs qui se permettent des joyeusetés du style « On voit à l'évidence que [...] » ou « On en déduit immédiatement que [...] » alors qu'il faut procéder à plusieurs étapes de calcul intermédiaires pour comprendre en quoi c'est "évident" ou "immédiat".

PS : Je préfère l'écriture $\dfrac 1 {\sqrt{e}}$ qui est plus signifiante que le simple $e^{-\frac 1 2}$.

Borassus · Entraide (collège-lycée)

Borassus a écrit :

Quant au niveau, j'explique les développements limités dès la Première en partant de la fameuse équation de la tangente $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$ qui, en inversant l'ordre des termes, n'est rien d'autre que le développement de Taylor d'ordre 1.

J'ai vu une seule fois, cachée dans un exercice d'un manuel de Première ou de Terminale (je ne me souviens plus), la notion d'approximation de premier ordre. J'avais inscrit en marge « Enfin !!! Mais caché dans un exercice !! »
Je ne retrouve pas dans l'immédiat le manuel en question. Je vous montrerai la copie de cette page lorsque j'aurai retrouvé le manuel en question.

Borassus · Entraide (collège-lycée)

Borassus a écrit :

Non, je n'avais pas une autre idée en tête, sinon de montrer que la limite relève d'une indétermination de type $1 ^\infty$ (si $x > 0$).

En fait, si, j'avais quelque chose en tête, c'était d'essayer d'utiliser $\dfrac {sinx} x$, mais j'ai rapidement abandonné cette voie qui semblait infructueuse.

Borassus · Entraide (collège-lycée)

C'est fantastique : on explique aux élèves que $\lim_{x \to 0} \dfrac {sinx} x = 1$, mais on n'explique pas que cela signifie que pour $x$ très proche de $0$, $sinx \approx x$ !

Plus généralement, on n'explique pas que lorsqu'un quotient $\dfrac {N(x)} {D(x)}$ tend vers une valeur finie $\alpha$ lorsque $x$ tend vers $x_0$, cela signifie, par simple "produit en croix", que lorsque $x$ est très proche de $x_0$, $N(x) \approx \alpha D(x)$ !!

Borassus · Entraide (collège-lycée)

Roro a écrit :

@Borassus : pour l'ordre 1, oui c'est juste la tangente. Pour l'ordre 2 c'est moins "évident"...

J'explique, avec exemples graphiques à l'appui, que pour améliorer l'approximation, il suffit de "tordre" la tangente pour obtenir une courbe du second degré, puis du troisième degré, puis du quatrième degré..., améliorant ainsi de mieux en mieux l'approximation en $x_0$.

Par contre, je n'explique pas, du moins oralement, comment s'obtiennent les coefficients $\dfrac {f^{(k)}(x_0)} {k!}$.

Borassus · Entraide (collège-lycée)

Black Jack a écrit :

En 4 lignes ... avec la formule du génial Marquis. [...]

Autre approche effectivement (qui serait plus confortablement lisible en LaTeX. :-)

Mais, en développements (très) limités : $ln(1 + x) \approx x - \dfrac {x^2} 2$ et $sinx \approx x$ ...

Borassus · Entraide (collège-lycée)

Bonjour Roro,

Merci de cette précieuse contribution !

Le limite est donc $e^{-1/2} \approx 0,606$, ce que confirme notre incontournable ami GeoGebra.

Roro a écrit :

Je n'ai pas forcément envie de faire le changement de variable proposé par Borassus car je préfère utiliser les développements limités en $0$ plutôt qu'en $+\infty$, mais il a peut être une autre idée en tête.

Non, je n'avais pas une autre idée en tête, sinon de montrer que la limite relève d'une indétermination de type $1 ^\infty$ (si $x > 0$).

Quant au niveau, j'explique les développements limités dès la Première en partant de la fameuse équation de la tangente $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$ qui, en inversant l'ordre des termes, n'est rien d'autre que le développement de Taylor d'ordre 1.
Cela passe comme lettre à la poste, et je ne me suis jamais heurté à l'incompréhension d'un(e) élève.

Borassus · Entraide (collège-lycée)

Bonjour reiman

Dans un premier temps, en posant $X = \dfrac 1 x$, l'expression $(1 + x)^{\frac 1 x}$ se transforme en une limite bien connue...

(Cette observation préliminaire est trop tentante pour être omise, d'autant plus du fait de la présence de $e$ au dénominateur. La suite est pour l'instant effectivement moins évidente.)

Borassus · Café mathématique

Questions, sinon :

Est-ce que je ne suis pas trop présent sur nos forums ?

Est-ce que proposer comme je l'ai fait tout à l'heure un exercice vu sur un manuel, russe ou non, et qui me semble intéressant, est une démarche pertinente ?
(Il est fort possible que je n'aie pas de réponses de la part de lycéens qui auront, par curiosité, voulu se frotter à l'exercice. Ils écrivent pour demander de l'aide sur tel ou tel exercice qu'ils ont concrètement à résoudre ; pas pour résoudre un exercice qu'on leur propose.)

Borassus · Café mathématique

Zebulor a écrit :

les verbes de mouvement sont difficiles à maîtriser en russe... et entre le perfectif, l'imperfectif...

Да, Зебюлор, действительно, эти правила не простые! :-)

Borassus · Café mathématique

Bernard-maths a écrit :

On peut aussi ajouter la divisibilité par 7 avec : n⁷ -54 n⁵ + 249 n³ - 196 n ... qu'en pensez-vous ?

Bonsoir,

Certes, le polynôme se factorise en $(n - 7)(n - 2)(n - 1)n(n +1)(n + 2)(n+ 7)$. Il est donc divisible par 2, par 3, par 4, par 5.

Mais je ne vois pas pour l'instant comment déterminer la ou les conditions pour lequel il est divisible par 7.

Pour n = 0, n = 1, n = 2, le polynôme est égal à 0, et est donc divisible par 7.
La première valeur de n pour laquelle le polynôme est divisible par 7 est 5. (Le polynôme est alors égal à -60 480, et 480 - 60 = 420 est divisible par 7.)

Merci de me donner une piste.

PS : Je ne suis pas un grand fan de l'arithmétique...

Borassus · Entraide (collège-lycée)

Petite indication toutefois : parmi n entiers consécutifs, un seul est divisible par n.

Borassus · Café mathématique

J'ai un doute : je ne sais si les élèves de Terminale Maths expertes savent que parmi n entiers consécutifs, un entier, et un seul, est divisible par n...

(J'ai voulu vérifier, mais ne trouvant pas mes manuels de Maths expertes, je me suis souvenu que je les ai prêtés à un élève, et qu'ils sont toujours chez lui.)

Borassus · Café mathématique

Bernard-maths a écrit :

On peut rajouter : et divisible par 120

Bien sûr, on peut définir une tripotée de diviseurs à partir de ces premiers. :-)

Borassus · Café mathématique

Bonjour Bernard

Bernard-maths a écrit :

nie panimayou i nie gavariou parouski ...

Mais, Bernard, c'est déjà d'un bon niveau ce que tu écris là ! :-)

Borassus · Entraide (collège-lycée)

Bonjour chers amis lycéens !

Voici pour agréablement commencer la semaine un joli petit exercice d'arithmétique que j'ai trouvé dans un manuel russe d'algèbre destiné aux élèves de la classe correspondant à notre Première.
(Je suis bilingue français-russe de langue maternelle russe et ai demandé à une amie de me ramener de Russie des manuels de maths correspondant aux classes de fin d'études secondaires.)

« Démontrer que pour tout entier naturel $n$, le nombre $n^5 - 5n^3 + 4n$ est divisible par 2, par 3, par 4, par 5, par 6 et par 8. »

Dans l'attente du plaisir de lire vos propositions de résolution,
bien cordialement,
Borassus

PS : Les éminents mathématiciens de ce site de très haute tenue sont priés de laisser nos amis lycéens proposer leurs solutions. :-)

PPSS : Je crois que vous me verrez souvent vous faire part d'exercices piochés dans ce manuel... :-)

Borassus · Café mathématique

Bonjour Doc,

DrStone a écrit :

Si on laisse de côté les caractères qui dépassent du cartouche violet (j'enlève 4 points sur 20 juste pour ça : je n'arrive pas à voir autre chose !)

Tu as l'œil ! Je n'avais pas remarqué !

DrStone a écrit :

[...] il-y-a quelque 45 ans en arrière, lorsque les manuels de mathématiques contenaient, non pas des coloriages, mais des… mathématiques !

Effectivement, l'ouvrage est très mathématique, dans sa formulation et dans son mode de pensée.

DrStone a écrit :

Penses-tu pouvoir nous partager quelques pages que tu trouverais intéressant au fil de ta lecture ? ^_^

Oh que oui ! Car les premières pages que j'ai lues apportent des choses intéressantes, notamment des exemples d'exercices résolus.
Je pense qu'il y a en effet largement de quoi partager, et pas seulement dans ce café mathématique !

Par exemple, exercice que je compte de ce pas proposer à nos amis lycéens :
« Démontrer que pour tout entier naturel $n$, le nombre $n^5 - 5n^3 + 4n$ est divisible par 2, par 3, par 4, par 5 et par 8. »
La démonstration est plutôt jolie.

Borassus · Café mathématique

Le texte est très disert, avec un gris typographique assez foncé, comme le montre la copie ci-dessous, et le manuel contient relativement peu d'illustrations.

Bien que le le papier soit de qualité supérieure à celle de l'époque soviétique, où la moindre annotation au stylo se transformait en grosse tache, il reste de qualité moyenne : un coup de gomme, même léger, efface les caractères ! (Je souligne et annote au crayon, notamment les termes et expressions que je ne connais pas, et suis donc parfois amené à effacer une petite annotation.)

Borassus · Café mathématique

Bonjour de beau temps (enfin !)

(c'est-à-dire, selon le système russe de comptage croissant des classes, plus logique que le système français, de 10ème et 11ème)

Quelqu'un parmi vous sait-il pourquoi on a en France ce décompte décroissant des classes, initialement à partir de la 11ème ?

Bonne journée.
Borassus

Borassus · Café mathématique

Bonsoir tout le monde, et bonsoir Doc,

DrStone a écrit :

L'évocation de la Russie m'a rappelé qu'on m'avait envoyé, il y a quelques années, le post d'une personne qui avait pris le temps d'écrire les grands axes du programme de mathématiques qu'elle avait subit. Ayant conservé le lien dans un coin, je me permets d'évoquer ici le contenu pour le programme de primaire/secondaire.

Etant bilingue français-russe de langue maternelle russe, j'ai demandé à une amie de m'apporter de Russie des manuels de maths de niveau Première et Terminale (c'est-à-dire, selon le système russe de comptage croissant des classes, plus logique que le système français, de 10ème et 11ème) pour acquérir le vocabulaire mathématique russe, que je ne connais que très peu, et aussi pour appréhender les approches pédagogiques de l'enseignement russe.

Elle m'a apporté les deux tomes d'algèbre de la 10ème classe, correspondant donc à notre Première.
J'ai commencé à le lire aujourd'hui.

Toute premières constatations :

Le texte est très disert, avec un gris typographique assez foncé, comme le montre la copie ci-dessous, et le manuel contient relativement peu d'illustrations.

Le premier tome commence par l'arithmétique, traitée, en tout premier abord, de façon bien plus conséquente que ce que je vois avec mes (maintenant rares) élèves ayant pris en Terminale l'option Maths expertes.

Détail intéressant : En russe, $a$ est divisible par $b$ s'écrit $a \vdots n$, notation que je n'avais jamais vue auparavant.

Bonne journée de début de semaine.

Borassus · Entraide (collège-lycée)

Bonsoir,

Glozi a montré que le maximum de billets achetés est 19.

Peut-on déterminer le minimum de billets achetés ?

Borassus · Entraide (collège-lycée)

Bonsoir Vam,

Ce serait la raison pour laquelle l'exponentielle (en base $e$) est maintenant enseignée en Première, et le logarithme (népérien) en Terminale ?

Comme je dis souvent : « Cette année nous étudierons pile ; l'année prochaine nous étudierons face. »

Borassus · Entraide (collège-lycée)

Hello Ernst,

Merci de ce lien ! J'ai beaucoup ri ! :-)

C'est d'une justesse linguistique remarquable !
J'ai peine à imaginer combien des traducteurs pourraient souffrir pour traduire cet article ! :-)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#676 Re : Entraide (collège-lycée) » limite énigme » 06-03-2024 22:57:14

#677 Re : Entraide (collège-lycée) » Divisibilité de n^5 - 5n^3 + 4n par 2, 3, 4, 5, 6 et 8 » 06-03-2024 14:48:10

#678 Re : Entraide (collège-lycée) » limite énigme » 05-03-2024 18:31:42

#679 Re : Entraide (collège-lycée) » limite énigme » 05-03-2024 12:17:35

#680 Re : Entraide (collège-lycée) » limite énigme » 05-03-2024 12:02:06

#681 Re : Entraide (collège-lycée) » limite énigme » 05-03-2024 11:57:22

#682 Re : Entraide (collège-lycée) » limite énigme » 05-03-2024 11:37:36

#683 Re : Entraide (collège-lycée) » limite énigme » 05-03-2024 11:30:36

#684 Re : Entraide (collège-lycée) » limite énigme » 05-03-2024 11:23:46

#685 Re : Entraide (collège-lycée) » limite énigme » 05-03-2024 08:22:20

#686 Re : Café mathématique » Niveau en maths France vs USA » 04-03-2024 23:11:05

#687 Re : Café mathématique » Niveau en maths France vs USA » 04-03-2024 23:02:41

#688 Re : Café mathématique » Niveau en maths France vs USA » 04-03-2024 23:00:45

#689 Re : Entraide (collège-lycée) » Divisibilité de n^5 - 5n^3 + 4n par 2, 3, 4, 5, 6 et 8 » 04-03-2024 21:40:41

#690 Re : Café mathématique » Niveau en maths France vs USA » 04-03-2024 17:38:19

#691 Re : Café mathématique » Niveau en maths France vs USA » 04-03-2024 17:19:56

#692 Re : Café mathématique » Niveau en maths France vs USA » 04-03-2024 15:16:09

#693 Entraide (collège-lycée) » Divisibilité de n^5 - 5n^3 + 4n par 2, 3, 4, 5, 6 et 8 » 04-03-2024 15:14:15

#694 Re : Café mathématique » Niveau en maths France vs USA » 04-03-2024 15:00:04

#695 Re : Café mathématique » Niveau en maths France vs USA » 04-03-2024 08:39:24

#696 Re : Café mathématique » Niveau en maths France vs USA » 04-03-2024 08:34:27

#697 Re : Café mathématique » Niveau en maths France vs USA » 03-03-2024 23:27:54

#698 Re : Entraide (collège-lycée) » Joli problème. » 03-03-2024 20:34:02

#699 Re : Entraide (collège-lycée) » A quel moment le logarithme naturel est devenu "logarithme népérien" ? » 03-03-2024 20:31:59

#700 Re : Entraide (collège-lycée) » A quel moment le logarithme naturel est devenu "logarithme népérien" ? » 29-02-2024 23:04:28

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