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#6751 Re : Entraide (collège-lycée) » [Résolu] Cmt trouver le dernier chiffre de nombre ?? » 13-10-2005 05:16:48
Tout repose sur le principe suivant : le dernier chiffre d'un nombre N est l'entier a compris entre 0 et 9
tel que N=10k+a, où k est un autre entier...
Pour le premier exercice :
6^2=36 a pour dernier chiffre 6.
36^2=... a pour dernier chiffre 6.
Il faut montrer par récurrence que 6^n a toujours pour dernier chiffre 6.
C'est vrai pour n=1. Si c'est vrai au rang n, alors 6^n=10k+6, où k est un entier.
Alors,6^(n+1)=6(10k+6)=60k+36=10(6k+3)+6... a bien pour dernier chiffre 6.
Second exercice :
9^2=81.
9^3=729
On retrouve que 9^3 a pour dernier chiffre 9. On va démontrer le résultat suivant :
pour tout entier n, 9^(2n+1) a pour dernier chiffre 9.
C'est vrai pour n=0.
Si c'est vrai au rang n, alors
9^(2n+1)=10k+9.
9^(2n+3)=81(10k+9)=10*(81k)+289=10*(81k+28)+9,
qui a bien pour dernier chiffre 9.
Comme 1947 est impair, 1947 s'écrit 2n+1, et le dernier chiffre de 9^1947 est 9.
Je te laisse faire les autres exemples. Si tu sais ce que c'est qu'une congruence,
on peut résoudre cet exercice avec ce vocabulaire et c'est sans doute plus commode.
#6752 Re : GeoLabo, laboratoire de géométrie » geoweb et javascript » 11-10-2005 21:25:04
Bonjour,
Ce n'est pas possible actuellement, mais cela est effectivement une idée à envisager.
Pour le moment, le développement de GeoLabo se concentre autour de son interface,
pour la rendre plus commode d'utilisation et plus intuitive.
Frédéric.
#6753 Re : Entraide (collège-lycée) » [Résolu] integrale » 11-10-2005 07:42:58
Je suis d'accord avec toi pour la valeur de I(0) et de I(1).
Pour la valeur de I(n), voici comment je procèderais :
* Etape 1 : je linéarise [tex]cos^n(x)[/tex] en l'écrivant comme une somme de cos(kx).
* Etape 2 : je calcule l'intégrale de cos(kx)/(1+x^2), en écrivant que c'est la partie réelle de exp(ikx).
* Etape 3 : pour calculer cette dernière intégrale, j'intègre sur le contour que tu décris, il n'y a qu'un pole,
et des résultats généraux (ou un passage en polaire) impliquent que l'intégrale sur le demi-cercle tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
J'ai demandé à Maple ce qu'il savait faire. Je m'y suis peut-être mal pris, mais il n'a pas eu l'air de vouloir calculer ton intégrale.
En revanche, voici ce qu'il propose pour l'intégrale linéarisée :
[tex]\int_{\mathbb{R}}\frac{\cos(nx)}{1+x^2}dx=(-1)^{n+1}\pi\sinh(1)[/tex]
Il ne te reste plus que l'étape facile (linéariser) à effectuer!
#6754 Re : Entraide (collège-lycée) » [Résolu] integrale » 10-10-2005 07:28:07
Quel est ton niveau de connaissance en mathématiques.
Le moyen de calcul le plus rapide pour cette intégrale utilise la variable complexe
et le théorème des résidus....
#6755 Re : Entraide (collège-lycée) » [Résolu] Probleme pour chercher un symbole sur la calculatrice » 08-10-2005 12:13:52
Moi je ne peux pas t'aider, mais si tu souhaites que quelqu'un t'aide, il faut peut-être donner la marque et le modèle de la calculatrice...
#6756 Re : Café mathématique » Nouveaux forums » 07-10-2005 10:40:26
Ca marche presque....
En fonction de la disponibilité de certains serveurs, c'est parfois un peu lent, c'est tout!
#6757 Re : Entraide (collège-lycée) » [Résolu] Intégration d'exponetiel moins 1/2*x² Au secours !!! » 07-10-2005 10:39:23
La méthode la plus facile utilise effectivement les coordonnées polaires.
On note :
[tex]I(a)=\int_{D_a}e^{-(x^2+y^2)}dxdy[/tex]
[tex]J(a)=\int_{C_a}e^{-(x^2+y^2)}dxdy[/tex]
où D_a est le disque de centre 0 et de côté a, et C_a est le carré centré en 0 de côté a.
En comparant la taille des carrés et du disque, on doit avoir quelque chose comme
J(a)<=I(a)<=J(2a)
EN particulier, les limites de J et I en l'infini sont égales.
Maintenant, l'intégrale sur le carré peut se décomposer très facilement en produit d'intégrales, et on a :
[tex]I(a)=\left(\int_{-a}^a e^{-x^2}dx\right)^2[/tex]
En passant à la limite en l'infini, on a le carré de l'intégrale demandé.
Maintenant, il n'est pas dur de calculer I(a) en passant en coordonnées polaires, car l'intégrale se transforme en
[tex]\int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^a re^{r^2}drd\theta[/tex],
et cette fois on sait trouver directement une primitive de re^{r^2}....
Il reste les calculs à ajuster!
#6758 Re : Entraide (collège-lycée) » [Résolu] Relation » 06-10-2005 07:33:53
On a :
[tex](a_1+a_2+a_3+a_4+...+a_n)^2=a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+...+a_n^2+2\sum_{i<j}a_ia_j[/tex]
Maintenant, puisque (|a_i|-|a_j|)^2>=0, on a 2|a_i||a_j|<=a_i^2+a_j^2.
Si on injecte cette inégalité dans la somme, où on a (n-1) termes a_i pour chaque i, on trouve :
(a_1+a_2+a_3+a_4+...+a_n)²<=n(a_1²+a_2²+a_3²+a_4²+...+a_n²).
Pour une inégalité dans l'autre sens, cela dépend essentiellement du signe des termes. S'ils sont tous positifs, il suffit de développer le carré comme fait au début de ce message, puis de remarquer que la somme est forcément positive.
J'espère que cela répond à ta question.
#6759 Re : Entraide (collège-lycée) » [Résolu] Cout et bénéfice aidez moi SVP... je suis perdue. » 06-10-2005 07:26:48
Je n'ai pas vérifié tous les calculs, mais cela a l'air correct!
#6760 Re : Entraide (supérieur) » theoreme de superposition des solutions » 05-10-2005 07:56:24
Dans mon esprit, le théorème de superposition des solutions est le suivant :
si on considère une équation différentielle linéaire homogène (sans second membre), si u et v sont deux solutions de cette équation, alors toute combinaison linéaire au+bv est encore solution.
Maintenant, on parle aussi de superposition des solutions dans le contexte suivant : si on considère une équation différentielle avec second membre, alors toute solution est somme d'une solution particulière de l'équation, et de la solution générale de l'équation sans second membre.
Voici un exemple : on considère l'équation différentielle y'-y=-x.
On résoud d'abord l'équation homogène y'-y=0, dont (toutes) les solutions sont données par : y(x)=a*exp(x).
On cherche ensuite une solution particulière de l'équation : y'-y=-x. La forme de l'équation nous invite
à chercher une solution qui soit un polynôme de degré 1, et on constate que y(x)=x+1 est solution.
D'après le principe de superposition des solutions de l'équation, les solutions de l'équation différentielle sont exactement
les fonctions de la forme : y(x)=a*exp(x)+x+1.
#6761 Re : Entraide (collège-lycée) » [Résolu] Problème... » 04-10-2005 18:27:24
Ben, n'exagère pas. Ce forum ne consiste pas à dire : voici mon DM, faites le moi et j'aurai une bonne note!
Par exemple, la question 2)a) est TRES facile, et la 2)b. n'est pas difficile non plus si on réfléchit 5minutes....
#6762 Re : Cryptographie » Le forum Cryptographie » 03-10-2005 18:58:30
Qu'appelles-tu la cryptographie hybride?
#6763 Café mathématique » Nouveaux forums » 01-10-2005 18:02:01
- Fred
- Réponses : 6
A partir d'aujourd'hui, de nouveaux forums plus modernes sont accessibles sur le site BibM@th.net!
Leur principale avantage est de permettre l'insertion de formules mathématiques au format Latex.
Avouez que : [tex]\frac{\sqrt{x^2+1}}{4\sin(3x+a_2)}[/tex], c'est plus clair que racine(x^2+1)/(4sin(3x+a_2)....
Les règles restent les mêmes, courtoisie, politesse, on n'écrit pas tout en majuscules ni en style SMS, on prend le temps de remercier, on ne "balance" pas un sujet sans autre indication..... Les modérateurs seront sans pitié!
Frédéric.
#6764 Cryptographie » Le forum Cryptographie » 01-10-2005 17:52:56
- Fred
- Réponses : 15
La cryptographie s'émancipe et a désormais son propre forum sur la BibM@th.
Postez ici toutes vos questions ou commentaires sur les codes secrets!
#6765 GeoLabo, laboratoire de géométrie » Nouveau forum consacré à GeoLabo » 26-09-2005 15:38:49
- Fred
- Réponses : 5
Bonjour,
Le forum de la BibM@th est en pleine reconfiguration, et GeoLabo a désormais droit à son forum propre.
N'hésitez pas à l'utiliser pour poser vos questions sur le logiciel, suggérer des améliorations, signaler
des bugs, ou proposer des utilisations possibles!
A bientôt!
Frédéric.