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J'aurais plutôt appelé cela le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments, mais effectivement,
en probabilité, on parle de système complet...

Je ne suis pas sûr qu'il existe une formule facile, mais on peut obtenir une formule de récurrence.
On note [tex]N_{k,n}[/tex] le nombre de partitions contenant exactement k parties d'un ensemble En à n éléments, et [tex]N_n[/tex] le nombre total de ces partitions. On construit l'ensemble des partitions d'un ensemble à n éléments à partir de celui obtenu pour n-1 éléments de la façon suivante.

Soit [tex]E_{n-1}=\{1,2,..,n-1\}[/tex] l'ensemble à n-1 éléments et n le nom du nieme élément.

Une partition de En:

    * soit admet [tex]\{n\}[/tex] comme singleton,
    * soit a l'élément n dans une partie de plus d'un élément.

Le nombre de partitions contenant k parties du premier ensemble est exactement égal au nombre de partitions contenant k-1 parties de [tex]E_{n-1}[/tex], soit [tex]N_{n-1,k-1}[/tex] . Pour les partitions n'admettant pas {n} comme singleton, on les construit ainsi: on passe d'une partition contenant k parties de En-1 à k différentes partitions (contenant toujours k parties) de En en ajoutant l'élément n à chacune des k parties de cette partition.

Au total, on arrive à:

[tex]N_{n,k} = N_{n-1,k-1} + k N_{n-1,k}[/tex]

Il suffit de sommer tous les [tex]N_{n,k}[/tex] pour obtenir [tex]N_n[/tex].

A priori, les premières valeurs de [tex]N_n[/tex] semblent être 2,5, 15,52....

Je donne des indications pour les carrés parfaits :

  * Un carré parfait ne peut pas être le double d'un autre carré parfait. En effet, si on décompose x en facteurs premiers, et y en facteurs premiers, et si x^2=2y^2, alors l'exposant devant 2 est pair dans y^2, et impair dans 2x^2, ce qui est impossible!
  * Oui, 3^2=2*2^2+1.
  * C'est juste une identité à vérifier, pour la dernière, je n'ai pas le temps de réfléchir!

Au sujet de l'équation x^2-2y^2=1, on pourra regarder l'article sur l'équation de Pell-Fermat dans le DicoMaths.

1) C'est simplement une question de transcription...
A N s'écrivant 2^x*3^y, on associe le point de coordonnées (x,y).
Ainsi 1=2^0*3^0 correspond au point (0,0).
2^x=2^x*3^0 correspond au point (x,0), et ainsi de suite... (36=6^2=2^2*3^2 correspond au point (2,2)).

2)Parce que 6^k=2^(k)*3^(k), une puissance de 6 se décompose en facteurs premiers comme produit d'une puissance de 2 et d'une puissance de 3, c'est un élément de E.
La décomposition précédente montre qu'à 6^k est associé le point (k,k), les points associés aux puissances de 6 se trouvent donc sur la première bissectrice du repère!

Le théorème de Pythagore, ça ne te dit rien?

Ce que tu peux conclure, c'est que (racine 2/2)c=-(racine 2/2)c, et donc c=0, d'où a=0 et b=0...

Je ne comprends pas ce message....

Merci de la remarque. Effectivement, le graphe n'a pas l'air correct.
Je vais corriger cela.

Bon, je crois avoir élucidé pourquoi cela ne marchait pas chez Jérémy.
Tout fonctionnait bien sous Firefox/mozilla (vive les logiciels libres), mais mal sous IE.
J'ai qd même fait qqs corrections qui devraient faire fonctionner les choses sous IE.

Déjà, il faut prendre n>=1.
Ensuite, il y a plein de méthodes....
* la première est de comparer à une intégrale.
* la seconde (la plus élémentaire) est d'écrire que :
     [tex]\frac{1}{n^2}\leq\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.[/tex]
Comme les termes généraux sont positifs, il suffit de montrer la cv de la série de terme général 1/(n(n+1)).
Mais, en utilisant la décomposition précédente, on peut calculer la somme partielle de cette série (c'est télescopique) :
    [tex]\sum_{n=1}^N \frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{N+1}[/tex].
Si l'on fait tendre N vers l'infini, ceci admet une limite, donc la stg converge.

Pour ta première question,  il y a de nombreuses explications dans la partie "formulaire" de ce site (clique sur Accueil, puis dans le menu de gauche, il y a un lien vers le formulaire).
Pour la seconde, tu peux te reporter à un message qui date de qqs jours intitulé "equa diff" où JJ apporte une brillante réponse dans un cas particulier.

Il y a pour le moment 3 façons de piloter une variable :
* en utilisant un contrôle de variable graphique
* en utilisant un contrôle de variable texte
* en créant une animation.

Pour le moment, rien n'est prévu pour contrôler une variable avec le clavier, et à vrai dire, je ne prévois pas de le faire avant longtemps. Cela dit, si on me convainct de l'utilité de faire cela, pourquoi pas?
En quoi est-ce mieux que les possibilités qui existent déjà?

Frédéric.

Qu'appelles-tu forme rationnelle?
Pour simplifier la première expression, l'idée générale est de multiplier par la quantité conjuguée, c'est-à-dire ici
par (1+racine(2)), au numérateur et au dénominateur de la fraction. Dans ce cas, les racines disparaissent au dénominateur, car on obtient une identité remarquable de la forme (a-b)(a+b).