Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir Yoshi et merci, je pense que cette ligne et bonne , et je ne touche pas au reste ...si tu as une autre idée...passe une bonne soirée...

voila le test jusqu'à n= 600 000 000 mais avec cribl_mod 30:
crible _g: temps mis en secondes :
initialisation: 1",67
criblage des entiers de 1 à n : 213".89
extraction des premiers de n à 2n : 30",15
il y en a : 29 130 002

crible_mod30
initialisation: 7".39
famille de chaque Pi :187",85 ('c'est la recherche et la position de départ des restes R et leur Pi, par famille)
criblage des 8 familles de 1 à n : 34",71
extraction des premiers de n à 2n : 15",83
il y en a : 29 130 002

maintenant je fais le test avec Crible _G uniquement  en espérant qu'eratosthène ne va pas cribler au dela de Sqrt de 2n...
donc je vais voir combien de temps il met..
a tout de suite

Bonjour Yoshi
si je savais programmer je n'aurai pas demandé de l'aide ..je n'y comprend strictement rien en programme...
je ne comprend pas non plus ton interrogation au sujet de ce que vient faire Pi ([tex]\pi[/tex] ?)
Je pense que je me suis mal exprimé : Pi est un nombre premier appartenant à l'ensemble des nombres P(n)< à racine de 2n .

ce que je sais , c'est que le programme à été fait pour cribler les entiers de 1 à n congrus à 2n (mod P_i) avec P_i premier et < ou = sqrt de 2n.

Mon petit fils a impliquer Eratosthène de 1 à n et même de 1 à 2n afin de comparer le crible_G qui crible comme Eratosthène, mais : les congruents de P_i et non leurs multiples , c'est le même principe...! Si ce n'est que l'on part du reste R de 2n par P_i et puis on marque tous les congruents modulo P_i par pas de  P_i jusqu'a la lim n fixée au départ..

voila pourquoi on a besoin d'Eratosthène, mais uniquement les nombres premiers P_i < sqrt de 2n....

Je ne sais donc pas qu'elles lignes je dois occulter dans def eratosthene sans altérer le fonctionnement de mon programme....?

Pour cribler avec crible _g

on a besoins; des P_i <= sqrt de 2n
puis : des reste R de la division de 2n par P_i
ensuite , on part du reste R avec leur P_i et on barre par pas de Pi,  les entiers congrus à 2n (mod Pi) jusqu'à limite n fixée au départ, et on réitère avec le prochain P_i et son reste R..

à la fin on compte les entiers qui n'ont pas été barrés, comme dans Eratosthène...ce qui nous donne le nombre de premiers de n à 2n...

au lieu de marquer les entiers de 1 à n on les représente avec des 1 jusqu'a lim n

lorsqu'un entier est barré on remplace le 1 par 0 . à la fin on compte les 1 qui ne sont donc pas congrus à 2n mod P_i....!

Exemple_: n = 120 donc 2n = 240 , sqrt 240 = 15 ; donc les P_i sont {2,3,5,7,11 et 13}
les restes R sont  {0, 0, 0 ,2 , 9 et 6}

il n'y a pas de reste R =1, donc le premier entier 1, n'est pas marqué 0, et 2n - 1  est premier q.

pour les R = 0 on part directement de leur P_i : 2 et on marque tous les 2 nombres...puis 3 et on marque tous les 3 nombre idem pour 5...;
pour R = 2 et son P_i =7 , on part de 2 qui est déjà marque 0 et on marque tous les nombres par pas de 7...

puis pour  R = 9 et son P_i = 11, on part de 9 ou neuvième entier, qui lui aussi est marqué 0, on marque tous les nombres par pas de 11...

pour le dernier R =6 avec Pi = 13, on part du 6ème entier marqué 0 , et on marque tous les nombres par pas de 13 ...fin du crible , on compte les 1...!

tu peux remarquer que c'est Eratosthène mais dans les congruences....! d'où [tex]\pi(n)[/tex] vaut [tex]\frac{n}{Ln. n}[/tex] lorsque la lim n tends vers + l'infini...

Et: [tex]G(n)[/tex] la fonction qui compte les 1, de 1 à n vaut [tex]\frac{n}{Ln. 2n}[/tex] lorsque la lim n tends vers + l'infini... Car on crible avec les P_i <= sqrt de 2n et non de n.... Mais jusqu'à la lim n

C'est relativement simple....non ?

voici ce que cela donne avec pycharm :

https://www.cjoint.com/c/HAus2CetGwW

crible mod 30
https://www.cjoint.com/c/HAus3jDkFHW

@Yoshi, comment je joins un fichier PDF ...?

Tu devrais déjà démontrer ton affirmation...! que cette démonstration passe par la topologie et non par l'Arithmétique..!
d'après le postulat de Bertrand on sait qu'il y a au moins un nombre premier entre N et 2N , très bien, supposons que pour un entier 2N il n'y ai qu'un seul nombre premier q entre ce 2N et N comment ta topologie va permettre de démontrer qu'il appartient au seul couple (p;q) = 2N alors qu'il est quasiment certain qu'il formera un couple (C;q) = 2N où C est un nombre Composé, donc non premier....! Donc conjecture qui serait fausse dans cette hypothèse .... Bonne chance...

Déjà on peut prouver avec l'Arithmétique un corollaire du TNP (théorème des nombres premiers) que le nombre de premiers q entre N et 2N vaut environ (N / Ln 2N ), ce qui est nettement supérieur à 1.... moi je peux aussi dire sans passer par ta topologie que la densité de couples de premiers (p;q) =2N , vaut environ N / (Ln N)² ; et tu peux vérifier à partir de N =16 .

je suppose que ta topologie te permet d'arriver à cette estimation.....! comme elle te permet surement d'estimer que le nombre de couples (C+q) ou (p+q) = 2N quelque soit N > 15  vaut environ (N / Ln 2N )....! d'où en suite on en déduit que le  nombres de couples de premiers qui restent, vaut environ : N / (Ln N)² et dans certain cas ne vaut que au minimum (N / (Ln N)²) X 0,375 .

Par exemple je suppose que tu peux expliquer, grâce à la topologie pour qu'elle raison en référence à tes exemples:
pour 2N  =120 et 2N = 128 il ne reste que trois couples de premiers (p;q) = 128 au lieu de 12 pour 120....?

heureusement qu'il n'y avait pas que 2 nombres premiers entre N et 2N , au lieu d'un seul...car supposons qu'il n'y ait eu que q = 73 et 79 , et bien résultat Goldbach faux...!

cette estimation vient du nombre d'entiers N non congrus à 2N modulo P_i où P_i est un nombre premiers > 5, et inférieur à la racine carrée de 2N.... Donc qui donne le nombre de premiers q entre N et 2N; en écartant les entiers positifs multiples de 2, 3 et 5 en travaillant dans 26,666...% des entiers naturels ...etc etc...  dans l'arithmétique modulaire et non dans la topologie....chacun sa chance.....Bon courage.

Bonjour
j'ai une question qui va très bien avec ce sujet ," à vous de voir .."

Le théorème des nombres premiers TNP, nous indique que [tex]\pi(n)[/tex] vaut environ [tex]\frac{n}{Log. n}[/tex] ou,[tex]n\times\frac{1}{Log. n}[/tex] , et : Le crible d'Eratosthène nous donne le nombre [tex]\pi(n)[/tex] quelque soit la limite [tex]n[/tex] fixée...

On peut d'ailleurs vérifier avec ce crible, que [tex]\frac{\pi(n)}{n} > \frac{1}{log.n}[/tex]

Donc, si on construit une variante de ce crible d'Eratosthène pour donner le nombre de premiers [tex]\pi(q)[/tex] qu'il y a entre N et 2N
et tel que [tex]\frac{\pi(q)}{n} > \frac{1}{log.2n}[/tex]

Ce ne serait donc qu'un corollaire du TNP et cela serait suffisant comme preuve, pour affirmer que le nombre de premiers [tex]\pi(q)[/tex] entre N et 2N vaut environ :

[tex]\frac{n}{Log. 2n}[/tex], c'est à dire :,[tex]n\times\frac{1}{Log. 2n}[/tex],. Ce qui serait quand même bien meilleur, que de dire: il y a au moins un nombre premier entre[tex] N , et , 2N [/tex]...

Ce crible n'est pas une simulation, il existe, et c'est bien une variante d'Eratosthène..qui utilise le même principe..!

Une simulation connaissant le nombre de premiers qu'il y a entre ces deux limites, indiquerait le même résultat par exemple pour vérifier la fonction d'estimation  de [tex]\pi(q)[/tex]   : [tex]N\times\frac{1}{Log. 2N}[/tex].

N   ; 2N        :[tex]\pi(q)[/tex] 

15 ; 30         :  4
30 ; 60         : 7
60 ; 120         :13
120 ; 240         :22
240 ; 480         :40
480; 960         :71
960; 1920    :132
1920 ; 3840    :239
3840 ; 7680    :463
7680 ; 15360    :808

POUR INFO:
Ci dessus , extrait du crible pour les limites indiquées, le crible comme pour Eratosthène,  crible jusqu'à la limite [tex]N[/tex]  fixée et non [tex]2N[/tex]; mais il utilise les nombres premiers [tex]P_i[/tex] < [tex]\sqrt{2N}[/tex]..

Le paramétrage utilise celui des triplets Pythagoriciens : avec [tex]p, q, m, n [/tex]. Entiers impairs
On construit [tex]T_1 ; T_2 ; T_3 [/tex] pour ce dernier triangle on utilise les coordonnées de [tex]T_1[/tex] et [tex]T_2[/tex]

[tex]T_1[/tex] : [tex]m = 5[/tex] et [tex]n  = 1[/tex] ce qui donne :

[tex]X_1 = \frac{(m² - n²)}{2} = 12[/tex] ; [tex]Y_1 = m*n = 5[/tex] ; [tex]Z_1 = \frac{(m² + n²)}{2} =13[/tex]

[tex]T_2[/tex] : [tex]p = 3[/tex] et [tex]q = 1[/tex] :

[tex]X_2 = \frac{(p² - q²)}{2} = 4[/tex] ; [tex]Y_2 = p*q = 3[/tex] ; [tex]Z_2 = \frac{(p² + q²)}{2} = 5[/tex]

T_3 : [tex]α = 11[/tex] et [tex]β = 3[/tex]

On calcul [tex]α[/tex] et [tex]β[/tex] avec la formule :
[tex]A = mq + pn  = 8[/tex]
[tex]B = mp – qn  = 14[/tex]

Ce qui donne :
[tex]α  = \frac{(B + A )}{2}  = 11[/tex]
[tex]β = \frac{(B - A )}{2}  = 3[/tex]

d’où pour :

[tex]X_3 = \frac {(α ² - β ²)}{2} = 56[/tex] ; [tex]Y_3 = α * β = 33[/tex] ; [tex]Z_3 = \frac{(α ² + β ²)}{2} = 65[/tex]

On obtient le scalène de côté [tex]a; b ; c’ [/tex]:
[tex]13 ;14 ;15[/tex]  dont l’aire est un entier.

avec :
[tex]a =\frac{(m² + n²)(p² - q²)}{16}[/tex] = [tex]\frac{X_2 Z_1}{4}[/tex]
[tex]b =\frac{(m² - n²)(p²+q²)}{16}[/tex] = [tex]\frac{X_1 Z_2}{4}[/tex]
[tex]c' =\frac{(mq+pn)(mp - qn)}{8}[/tex] = [tex]\frac{X_3}{4}[/tex]

l'aire S' :
[tex]S' = \frac{(m²-n²)(p²-q²)(mq + pn)(mp - qn)}{256} [/tex]= [tex]\frac{x_1 X_2 X_3}{32}[/tex]

diamètre du cercle circonscrit:
[tex]2R = \frac{Z_3}{4}[/tex] = [tex]\frac{Z_1 Z_2}{4}[/tex]

bonne continuation...

@Syrac
ceci en gros n'est très important, il y a beaucoup de méthodes pour raccourcir les suites .

par exemple des qu'une itération d'une suite X, appartient à une sous suite  A; la suite X est finie, donc son nombre de termes est réduit..Ce qui correspond  à ton arbre..et il y en a 4 principaux ou toutes les branches, feuilles...etc viennent se rattacher..

Mais cette piste n'a jamais rien donné...jusqu'à présent.

Pas plus que la forme du premier terme ...

Ce qui est intéressant c'est le fait que Syracuse soit une structure arithmétique simple; ordonnée par des suites arithmétiques et géométriques..
Dans le premier tableau qui est une feuille Excel , la suite géométrique 6 * 3^n-1 sur la ligne 0; donne la raison R des suites arithmétiques, pour chaque rang des vols 2i dans les entiers relatifs pairs...

Exemple: prend les vols i impairs : -1 ; -5 ; et 3 soit 2i = -2; -10; 6 au deuxième rang  les valeurs des itérations pour ces 3 vols, est :
-2 ; -20; et 16.
soit pour les vols -x, -y et z au rang 2:  (2*-2) - (-20) = 16 , ce qui donne pour le rang 2, une suite arithmétique de raison R = 18; avec un écart entre les vols de 2².
donc l'exposant n=2, est donné par le rang n=2...

Tous les vols sont en relation par leurs itérés au rang n; et ce depuis le vol i = 1 et -i = -1
on peut aussi faire un plan..etc
quelque soit un vol Z il a toujours au rang n une relation avec les deux vols -X et -Y; à partir à partir d'un certain rang, délimité par la suite géométrique 6 * 3^n-1, où l'exposant n est l'indice n du rang , et pour ce rang on a la raison R = 6 * 3^n-1 de la suite arithmétique,..
le début part du vol -i = -1
le nombre de suites arithmétiques pour un rang n, est calculable.. la somme des raison R forme une suite géométrique 6 de raison 4.
ce qui donne la aussi : 6*4^n-1

par exemple au rang 1, on a une suite A, de R 6;

au rang 2 on a 2 suites A, de R = 6 et 18; au rang 3 ; 4 suites A de R : 6, 18, 18,54...

au rang 4 on a 2^4-1 suites A dont la somme des raisons vaut 6*4^n-1 = 384
les raisons R sont : {162, 18, 18, 6, 54, 54, 54, 18}

Ce groupe de suites arithmétiques, change à chaque rang d'itérations , par exemple au rang 6 d'un vol Z, on sait que pour ce rang, il y a 2^6-1 suites arithmétiques, qui relient tous les vols ayant 2⁶ d'écart au rang 6, et dont les raisons sont de :
6*3^1-1 à 6 * 3^6-1....

Ce sont les vols 2ⁿ - 1 qui sont intéressants.("c'est curieux que l'on retrouve les nombres de Mersenne...dans cette structure, car c'est à partir de ces vols, que le groupes de suites A (arithmétique) change au rang n ") ie; on connais la valeur de l'itération paire à ce rang n+1 pour le vol i = 127; soit 2⁷ -1 ; on aura  au rang 7, valeur de l'itération : 6*3^7-1 - 2 = 4372 et au rang 8: 2186.
ensuite cela peut remonter ou descendre, car il faut que cela corresponde au rang n+1 avec les deux autres vols -X et -Y.
dans le cas contraire, ce n'est pas une structure arithmétique .... et puis encore....!

Dans ces conditions, il n'y a plus rien d'aléatoire....! c'est une structure ordonnée, depuis 1 est -1....

Et franchement, je ne vois plus du tout ce qu'il y a à démontrer...car l'hypothèse d'un vol qui aurait une suite d'itérations infinies, c'est à dire qu'il ne redescend pas au rang n= 4, puis 2....devient stupide, et une autre boucle est autant absurde..

c'est d'ailleurs pour cette raison que dans les entiers négatifs, il y a trois boucles...voila de quoi s'amuser...

Que l'on est pas trouvé au départ, que Syracuse était une structure arithmétique simple ok.

Mais maintenant que cela a été démontré par Jules Renucci... qu'est ce que l'on peut dire sur cette structure, qu'elle est désordonnée, qu'il existe peut être un vol tartempion qui invalide ces suites géométriques et arithmétiques.. et qui invalide la relation entre 3 vols, et qu'il existerait une 4ème boucle dans les vol négatifs..

Pourquoi pas ; dans ce cas une structure arithmétique est fausse, même si elle a été démontrée... tant qu'à faire.
Je pensais que des arguments convaincant, pouvaient prouver, et bien non... des arguments convaincants ne veulent rien dire et la rigueur dans ce cas non plus; car il existe peut être, quelque chose de plus rigoureux dont on n'en a aucune idée....je rigole....

Dans l'exemple de l'AS2 de J.R; il a détaillé, pour faire remarquer que la longueur d'une séquence finit sur un 4m ; et on repart sur une tête de séquence.. .D'où seules les têtes de séquence sont à analyser...et suffisante .
est ce que tu as reçu le mail avec le deuxième lien...?

Au cas où, je le joins ci dessous.. il donne plus de détail sur l'AS2, et autre...

http://cjoint.com/?DFrkoPwySSQ

c'est une bonne représentation d'une suite de Syracuse, et son fonctionnement.  jusqu'à la fin du cycle 4; 2; 1.
mais il y a eu tellement d'études faites sur les "vols" de Syracuse , qu'il est impossible de résoudre la conjecture par cette voie ...

D'ailleurs l'AS2 (algorithme de Syracuse 2) utilise aucun entier impair, ce qui a permis de démontrer que cette conjecture est une structure arithmétique très simple; voire le travail de Jules Rennucci sur ce sujet...

Dommage que tu ne parles pas des entiers négatifs , car tu verrais que quelque soit un vol 2i  (i impair), les itérés d'un rang r sont en relation avec deux autres vols 2i, et ont eu une infinité de prédécesseurs  ou de successeur comme on veut...au même rang.

La structure arithmétique de Syracuse est ordonnée par des suites géométriques et arithmétiques.

Par exemple si tu prends la vol X,i = 5  soit 2i = 10, est l'itération de rang R = 3 (avec uniquement les itérations paires) l'itération paire de rang 3 vaut : 4
l'itération R =3 pour les deux vols Zi et Yi distant de 2³
ce qui donne Zi = 13, 2i = 26 et: pout Yi =-3 , 2i = -6

2Xi - Yi = Zi , au rang 3
soit :
(2*4) - (-2) = 10.
quelque soit la suite de Syracuse, au rang n elle relie deux suites de Syracuse au même rang n avec un écart de 2ⁿ.

donc parler de suite avec des rangs aléatoires , est absurde..de part cette structure...

quelque soit un vol 2ⁿ - 1 ; la valeur de l'itération au rang d'indice n est égale à : 6 * 3^n-1 - 2.
En ne tenant compte que des itération paires bien entendu..ie; de l'AS2.

par exemple:
le vol i = 2⁷ - 1 ; soit 2i = 254 la valeur de l'itération au rang 7 vaut : 6*3^7-1 - 2 = 4372
c'est à dire la 15ème itération.
d'où le vol Yi = -129 aura la valeur à l'itération, de rang 7 : -4176
la raison de la suite arithmétique est de 4174 = 6*3^7-1.

On retrouve bien l'égalité au rang 7: 2Xi - Yi = Zi = 4172
(2*-2) - (-4176) = 4172

la question que l'on peut aussi se poser : comment une structure arithmétique aussi bien ordonnée , pourrait tout d'un coup être fausse..?
dans ce cas cela prouve que la structure arithmétique de Syracuse n'en est pas une , ce qui serait absurde car démontrée....

Ou mieux, la suite arithmétique Un, de raison -4, qui existe depuis le vol i = 1 est qui est toujours vraie  qui soit disant est une conséquence de la fonction 3x + 1...etc  n'est ce pas plutôt la fonction de Syracuse, qui est conséquence de cette suite arithmétique Un de raison -4...?

Car il est trivial de remarquer que 2 - 2i  = -4n  et que la fonction des suites de Syracuse n'a pas d'autre possibilité que de respecter cette structure arithmétique. Puisque quelque soit le vol i, on peut le relier à deux autres vol i' et i'' par leur Rang n , n' et n'' ; mais surtout dans l'ensemble des entiers relatifs....

-4n : c'est le bilan des différences positives et négatives entre les itérations paires de l'AS2... se terminant sur 4, puis 2 au rang n et n-1

En conclusion, cela paraît être une grosse farce, où il n'y a rien à démontrer....
Tout comme il est absurde de chercher un record d'altitude constant, les vols i de la forme 2ⁿ -1 dépasseront toujours un tel vol, puisqu'il suffit de faire tendre l'exposant n vers l'infini et on obtient une ascension constante qui est égale à 2*n + 1. Et si l'exposant a un milliard de chiffres, je ne te dis pas la valeur de l'itération à ce rang n....bonne continuation
cordialement
L.G