Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir Ernst, et bonsoir à tous

Très malheureusement, oui !
Il faut à chaque redémontrer la roue !
Ecrire des choses évidentes n'est pas mathématique ! (Cf la discussion sur le poids d'une puce comparé à celui d'un éléphant. :-)

Merci Doc,

Tu ne fais pas dans la demi-mesure ! Je n'en demandais pas tant ! Je pensais deux ou trois, pas tout un catalogue !
Je vais néanmoins en repérer quelques-unes qui semblent à première vue intéressantes.

Tu étais sur place quand cette terrible catastrophe a eu lieu ?!

" Un peu plus" que ce que j'en ai dit...

Je me serais bien passé de cette atypicité. (Moi aussi, j'aime créer mes néologismes. :-)

Je ne pense pas du tout faire de la vulgarisation mathématique, et ne sais pas le faire.

Je veux simplement montrer qu'une fois la logique d'une notion réellement comprise, elle peut être appliquée beaucoup plus loin que le niveau officiel de l'élève. Je t'assure que l'élève est plus que fier de se voir résoudre facilement un exercice bien au-dessus de ce qu'il voit en classe !

Ce n'est donc pas de la vulgarisation, mais bien un message concret et motivant disant « Tu vois, ce n'est pas parce que c'est étudié dans une classe (nettement) supérieure à la tienne que c'est forcément plus difficile ! »

Je n'ai pas souvenir d'avoir utilisé le terme "coloriage", terme que, par contre, tu as utilisé dans un de tes posts, et auquel je n'adhère pas vraiment.
Et je n'ai, semble-t-il, jamais parlé de "vastes blagues", ou de quelque chose d'approchant.

Les reproches que je fais ne sont pas de cet ordre, ou de cette tonalité. Je suis désolé si j'ai pu donner cette impression.

Certes, mais c'est le principe même du manuel démonstratif que je réfute.
Sans doute par indigestion...

Bonjour Doc, bonjour à ceux qui suivent cette discussion,

Oui, j'ai parcouru les pages que tu as eu la gentillesse de nous communiquer.
Quitte à te décevoir, je ne partage pas du tout ton enthousiasme, et n'ai donc pas vraiment eu de plaisir à parcourir — plutôt que lire — ce cours :

Du fait de mon parcours mathématique quelque peu particulier — 1ère C, Terminale A (avec, quand même, l'option maths), Bac A, années de licence de russe, acquisition en autodidacte à partir de 23 ans des connaissances mathématiques jusqu'en Maths Spé, et un peu au-delà, enseignant à domicile et en stages depuis douze ans —, je suis complètement hermétique et réfractaire, et le devient chaque jour davantage, à cette "démonstratite" systématique qui consiste à vouloir démontrer, très souvent de façon parfaitement anachronique, chaque notion utilisée.
(Il y a une foultitude de choses pour lesquelles je n'ai pas besoin de démonstration ; lorsque je monte un escalier, je n'ai pas besoin qu'on m'explique que je gravis une suite arithmétique de raison positive avec paliers éventuels. [ajouté]De même, lorsque j'utilise un tournevis, je n'ai pas besoin qu'on me démontre son principe physique. [/ajouté] Je caricature, bien sûr, mais l'idée est là.)

Ce qui m'importe, c'est de comprendre, et donc, surtout, de faire comprendre, la logique et la raison d'être de ces notions, l'historique de leur élaboration — plus que les dates et les auteurs, c'est le processus de raisonnement qui me semble véritablement riche d'enseignement, lorsque toutefois il m'est intellectuellement accessible —, le couplage de chaque notion avec celles qui l'environnent, indépendamment des niveaux scolaires, l'utilisation concrète de telle ou telle notion en tant qu'outil de raisonnement pour pouvoir résoudre un exercice ou un problème en élaborant un fil conducteur prégnant.
Je passe donc très rapidement sur les démonstrations, qui me "gonflent" profondément, encore plus que mes élèves, pour concentrer mes explications sur la logique d'ensemble des notions vues en classe.

Une démonstration n'a donc pour moi véritablement d'intérêt que lorsqu'elle prouve une notion contre-intuitive, comme par exemple la somme infinie des inverses des carrés égale à $\dfrac {\pi^2} 6$ — qu'est-ce que $\pi$ vient faire là-dedans ??!! —, ou lorsqu'elle permet de retrouver facilement une formule facilement oubliable. (Par exemple, je me refuse catégoriquement à mémoriser les théorèmes de la médiane alors que je peux les retrouver en quelques minutes ; je les oublie d'ailleurs à peine sorti de chez un(e) élève à qui je viens de les expliquer.)

Pour revenir aux notions de logarithmes et d'exponentielles, j'explique qu'une fonction exponentielle de base $a$ est le prolongement aux nombres réels de la notion de suite géométrique de raison $a$.
Pour cela, j'utilise l'expérience de pensée d'une population de bactéries doublant chaque semaine, que j'ai trouvé dans un manuel de Terminale ES (de mémoire, c'est la seule fois où un manuel ait orienté ma démarche pédagogique) :
Une semaine avant le début de l'observation, la population était deux fois moindre ; deux semaines avant, elle était quatre fois moindre ; donc, contrairement à ce qu'on enseigne, un rang négatif a un sens.
Si on prend comme unité une journée de vingt-quatre heures, l'expression générale d'un terme est $P_0 \times 2^{\frac n 7}$ ; si on prend comme unité l'heure, l'expression générale est $P_0 \times 2^{\frac n {7 \times 24}}$ ; si on prend pour unité la minute, l'expression générale est...
Par extension, on construit ainsi la fonction exponentielle de base 2.
La fonction exponentielle de base $e$ — qu'on présente comme étant la seule — est donc une fonction exponentielle parmi une infinité d'autres, sa particularité très féconde étant que sa dérivée est elle-même.

Quant au couplage fonction logarithmique - fonction exponentielle, j'explique qu'au départ un logarithme est un procédé calculatoire imaginé au début du XVIIème siècle par l'astronome et mathématicien écossais Napier (le nom sans doute imprononçable pour un Français a donné Neper) permettant de convertir des produits ou des quotients en sommes ou en différences à l'aide de tables très précises établies à l'aide de techniques de calcul sophistiquées.
Un peu plus tard, on s'est rendu compte que l'aire sous la courbe $y = \dfrac 1 x$, comptée à partir de 1, présente des propriétés logarithmiques : GeoGebra à l'appui, je montre que l'aire de 1 à 6 est égale à l'aire de 1 à 2 plus l'aire de 1 à 3. L'attention et l'étonnement de l'élève sont alors au plus haut !
Cette observation a donné lieu au logarithme dit "naturel", dont la base était inconnue, la base d'un logarithme étant le nombre pour lequel le logarithme est égal à 1.

Ce n'est approximativement qu'un siècle et demi plus tard que Leonhard Euler — je dis à mes élèves qu'Euler est aux mathématiques ce que Mozart est à la musique, et qu'en plus il a été aveugle les trente dernières années de sa vie, ce qui est encore plus terrible que la surdité de Beethoven ! — a donné aux logarithmes un rang de fonction en institutionnalisant que la fonction logarithme de base $a$ et l'exponentielle de cette même base $a$ sont réciproques l'une de l'autre. (Il a ainsi établi le lien entre deux logiques différentes : fonction pour l'exponentielle, procédé calculatoire pour le logarithme.)

Cherchant à déterminer l'expression de l'exponentielle de base quelconque $a$ en tant que fonction réciproque du logarithme correspondant, il a déterminé, pour le cas particulier qu'était pour lui le logarithme naturel, que sa base a pour expression $1 + \dfrac 1 {1!} + \dfrac 1 {2!} + \dfrac 1 {3!} + \ldots$ et a attribué à cette base la lettre $e$, probablement parce que les lettres précédentes étaient déjà prises.
En dérivant le développement $e^x = 1 + \dfrac x {1!} + \dfrac {x^2} {2!} + \dfrac {x^3} {3!} + \ldots$, on s'aperçoit que la dérivée de $e^x$ est la fonction elle-même.

La limite $lim_{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac 1 n \right)^n$, considérablement plus lente que le développement en série, qu'on présente classiquement comme étant la définition du nombre $e$ a été élaborée par Jacques Bernoulli, l'aîné du clan, qu'Euler n'a pu connaître. (Par contre, il a été en contact étroit avec la fratrie cadette de Jacques, notamment Jean.)
La démarche d'Euler a permis de faire le lien entre cette limite et le développement en série de $e$.

[Ajouté] Pour ce qui est de la dérivée de $ln x$, elle provient de la définition même du logarithme naturel : on s'est rapidement aperçu que le nombre dérivé en $x_0$ d'une aire à partir d'une valeur donnée sous la courbe représentant une fonction est la valeur de la fonction pour $x_0$. Donc, tout naturellement, la dérivée de $ln x$ est $\dfrac 1 x$, et la primitive à constante nulle de $\dfrac 1 x$ est $lnx$.
(J'explique que c'est du même ordre est d'affirmer que le méridien de Paris a une longueur d'exactement 40 000 km, puisque le mètre a été défini lors du processus révolutionnaire comme étant la dix-millionième partie du quart du méridien de Paris.)

Je peux vous assurer que ces mathématiques narratives, et non démonstratives, sont autrement plus intéressantes pour les élèves que les démonstrations barbantes vues en classe !

Pour terminer, je rappelle, comme le soulignait à un moment Michel, que les élèves ayant suivi la filière menant à "Maths Elem" représentaient une toute petite proportion d'une tranche d'âge. Ce qui signifie que ce qui était possible alors ne l'est plus actuellement.

Bon dimanche.
Bien cordialement,
Bor.

Bonjour yoshi,

Il y a de quoi s'amuser effectivement !
Je m'y plongerai, sans doute avec délice, dès que j'aurai la disponibilité ad hoc.

PS : Pardon, yoshi, si je t'ai quelque peu froissé en proposant mes rédactions...

Bonjour,

J'utilise aussi la notation prime pour expliquer à un élève débutant en matière de dérivation les phases successives de la dérivée d'un polynôme :

$\left( 5x^4 - 7x^3 +  - 11x + 6 \right)'$
$= (5x^4)' + (- 7x^3)' + (3x^2)' + (- 11x)' + (6)'$
$= 5 \times (x^4)' + (-7) \times (x^3)' + 3 \times (x^2)'  + (-11) \times (x)' + (6)'$

tout en indiquant que cette façon d'écrire est "entre nous", et que l'élève ne doit pas l'utiliser sur une copie.

Bonne journée.
B.

Bonjour très cher Doc :-)

Ah bon ?
Et comment lis-tu $(cos x)'$ ? $cos' x'$ ?

[Ajouté]
Qu'est-ce qui empêche d'écrire
$$\left( \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}-x}+\frac{x^3}{\sqrt{x^2+2x-3}} \right)'$$

Pour ce qui est du marchand de tissus, je propose la rédaction suivante :

La longueur de tissu vendue avec bénéfice est égale à $22,5 + 34,5 = 57$ m.
(Il reste $75 - 57 = 18$ m de tissu sur lesquels le marchand ne fait pas de bénéfice.)

La vente de ces 57 mètres a rapporté $22,5 \times 36 + 34,5 \times 24 = 1638$ F.

Le prix d'achat de ces 57 mètres est égal au produit de leur vente moins le bénéfice, et est donc égal à $1638 - 555 = 1083$ F.

Le prix d'achat au mètre est finalement égal à $\dfrac {1083} {57} = 19$ F.

[EDIT] Le montant de l'achat des 75 m est égal à $75 \times 19 = 1425$ F.
Le montant de la vente est égal à la vente avec bénéfice, plus la vente sans bénéfice, soit $1638 + 18 \times 19 = 1980$ F.
On retrouve bien le bénéfice $1980 - 1425 = 555$ F.

Bonsoir,

J'ai eu en 2017 à préparer au Concours Professeur des Ecoles (CRPE) une mère de famille qui voulait changer de métier et devenir institutrice.

J'avais beaucoup de mal à me libérer de mes réflexes algébriques, les exercices étant alors sensiblement moins évidents.

PS :

Tu penses à un sujet particulier ?  :-)

Bonsoir Roro,

Collégiens qui ne sont cependant pas des oies blanches.  :-)