Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Je m'apprête à déjeuner.

Je vais écrire la solution tout de suite après.

Bonjour Vam,

Cela peut être en effet une bonne façon de procéder car on bénéficie des produits d'expressions conjuguées égaux à 1, les expressions conjuguées étant précisément en diagonale.
Je vais essayer.

De toute façon, l'expression de $x$ et $y$ n'est pas simple (dixit ma calculatrice Numworks).

Bonsoir,

Pfff, yoshi, quelles expériences ! et quelles amertumes !

(J'ai connu aussi, en tant qu'élève, des profs qui s'asseyaient sur la déontologie en matière de cours particuliers. J'ai en mémoire deux profs "associés" qui s'étaient achetés une villa sur la Côte d'Azur avec piscine avec les cours particuliers quasiment imposés aux familles aisées : « si vous voulez que votre fils ait de bonnes notes, confiez-le nous ; c'est tant de l'heure. » A un moment, le fisc s'est étonné de ce que deux profs de collège s'achètent une villa sur la Côte d'Azur avec leurs salaires de prof...
Les "cours particuliers de voleur" existent aussi actuellement : des élèves m'ont raconté quelques expériences "pas tristes".)

Ceci dit, j'avoue que je me sens quelque peu étranger à ces débats sur l'enseignement des maths d'avant versus l'enseignement de maintenant.

Beaucoup, beaucoup de choses ne sont pas "comme avant" ! Et cela fait des siècles que les choses ne sont plus "comme avant" ! C'est comme cela, et il faut savoir l'accepter !

Deux exemples parmi tout un ensemble indéfini :

"Avant" on s'écrivait de longues lettres dans une langue soignée. (Voir notamment les lettres des Poilus à leurs épouses écrites avec une orthographe et une syntaxe parfaites, alors que la grande majorité d'entre eux n'avaient pas dépassé le niveau de l'école primaire. Plus près de nous, j'ai connu en Première C — c'est-à-dire en section scientifique ! — le rythme d'une dictée, suivie d'une analyse grammaticale détaillée, par semaine.)
Maintenant on s'envoie des sms, y compris pour rompre. (Je ne sais combien de fois j'ai vu dans la rue une fille ou une femme hurler de souffrance en ayant le téléphone à la main. Une de mes anciennes élèves, avec laquelle je suis resté en contact, comme avec plusieurs autres, a reçu un tel message le jour de... la Saint-Valentin.)

"Avant" on s'avait s'orienter, lire une carte. Maintenant, c'est tout juste si on ne se fait pas guider par le GPS pour aller à la boulangerie du coin.

Donc, oui, tout est question de "dressage", et chaque dressage dépend du contexte socio-culturel du moment.
Si la composition musicale avait dans l'enseignement la place qu'ont les maths, tout le monde saurait composer avec plus ou moins de talent, avec, à l'extrême, des élèves extraordinairement doués pouvant, dès l'enfance, s'offrir le luxe de composer des œuvres d'une grande complexité. (A ce propos, pourquoi n'y a-t-il pas d'enfants "prodiges" capables à sept ou huit ans de résoudre, par exemple, des équations différentielles aux dérivées partielles ?)

Pour en revenir aux maths, je n'ai pas, ou ai très peu, connu "vos maths".
Je suis par contre confronté à la réalité actuelle, avec laquelle je dois quotidiennement composer (autre sens de ce verbe), et sur laquelle j'ai construit, et construit en permanence, mon métier.
Donc, les "anciennes maths" ne me sont vraiment intéressantes que dans la mesure où elles me permettent d'enrichir ma pédagogie.
Exemple tout à fait concret et tout récent : la résolution de systèmes d'équations portant sur des entiers par la méthode de fausse supposition, que j'ai apprise grâce à toi, yoshi. Promis, je l'utiliserai à la première occasion !

Dans cet état d'esprit, la recherche de la difficulté pour la seule recherche de la difficulté ne m'intéresse rigoureusement pas ! (Bien que je donne, comme je l'ai indiqué maintes fois, des exercices que mes élèves sont étonnés de savoir résoudre sans difficulté. Mais il s'agit d'exercices "difficilo-faciles", et pas des calculs fastidieux et inintéressants, aboutissant à des résultats inintéressants.)
Et lorsqu'un calcul me semble trop lourd, comme cela a été le cas pour ce satané exercice 30 — manque de chance, j'ai commencé par lui, précisément parce qu'il me semblait aboutir à une solution simple —, hé bien !, sauf nécessité absolue, je l'envoie au diable.
(Je ne peux transmettre un exercice que si j'ai préalablement eu moi-même plaisir à le résoudre. Alors, outre l'exercice, je transmets à l'élève mon enthousiasme, voire mon émerveillement.)

Non, Doc, les élèves ne choisissent pas sciemment l'option maths pour en ch... et résoudre des exercices "à la mords-moi-le-nœud" (contrairement à ce qu'on pourrait penser, ce n'est pas une expression grossière https://fr.wiktionary.org/wiki/%C3%A0_l … -n%C5%93ud :-) !
Ils la choisissent parce qu'elle semble pour beaucoup l'orientation qu'on se doit naturellement de choisir, ou parce qu'ils subissent une pression familiale plus ou moins forte.
(Avant la réforme Blanquer, je voyais des élèves de Première et Terminale S pas du tout à leur place. Je vois, maintenant aussi, des élèves de Première pas du tout à leur place, mais au moins ils peuvent sortir de l'option en Terminale, alors qu'avant ils étaient piégés dans la section S jusqu'au bout. J'ai en particulier le souvenir d'un élève, que j'ai laborieusement suivi en Première S et en Terminale S, qui a eu son Bac, avec oral de rattrapage, avec 10.25, et encore parce qu'il avait marchandé un point avec l'examinateur...)

Pour en revenir aux exercices, les exos 35 à 38 peuvent être intéressants car ils aboutissent à l'étude de quatre systèmes pour le prix d'un. Je n'ai pas encore regardé les autres, et je n'ai pas encore regardé tes exercices, yoshi. Pardon ! Je le ferai très prochainement.

Bonne soirée.
Bor.

La déduction de $x$ est très lourde ! Je ne souhaite pas la terminer car je n'y vois aucun intérêt !

Ce type d'exercice ne me convient absolument pas, car il n'est rigoureusement pas applicable à des lycéens actuels !
Il n'y a que très rarement, pour ne pas dire jamais, des exercices demandant de "calculer dans le dur" des expressions (affreusement) compliquées !

Je le répète : ce qui était possible il y a 55-60 ans lorsque les élèves de Maths Elem représentaient une petite proportion d'une tranche d'âge n'est plus possible maintenant !!

Le principe actuel est plutôt de trouver les simplifications qui conviennent pour, justement, ne pas se perdre dans des expressions trop lourdes. Et les expressions qui paraissent lourdes se simplifient in fine agréablement, précisément parce que les exercices sont le plus souvent conçus "à l'envers" à partir de solutions simples.

Il me faudra donc chercher parmi les (trop) nombreux exercices de tes listes ceux qui se résolvent à l'aide de simplifications élégantes, et non par des calculs plus ou moins aberrants.

En définitive, des exercices comme le 30 ne correspondent pas du tout à ma demande, qui consistait en des systèmes "corsés", certes, mais à l'aune des possibilités des élèves de Première actuels.

Sur ce, je me couche.
Bonne nuit !

Et en plus le produit de deux expressions conjuguées est égal à 1 !

Bonsoir Doc,

J'ai imprimé les feuilles et les lui ai laissées. (Je ne sais pas s'il va s'y essayer par lui-même.)

De mon côté il faut que je sache en résoudre quelques-uns de façon à pouvoir guider les élèves à qui je les proposerai.
Par exemple, comment traiter l'équation 30 et similaires ?
Il est évident qu'il faut multiplier les deux équations par les expressions conjuguées ad hoc mais je ne vois pour l'instant pas comment procéder concrètement.

A sa demande, nous avons travaillé sur les suites arithmético-géométriques, si répétitives dans leur structure d'énoncé, et si peu formatrices.
(Il n'y a que les contextes qui changent ; l'ordonnancement des questions est toujours le même. Au Bac ce sont des sujets très rentables car ils se traitent au brouillon propre en 5 minutes, alors qu'ils sont notés sur 6 points. Quasiment le tiers des notes en 5 minutes !)

Sur ce, je vais m'absenter pour plusieurs heures.

A+

J'avais mal lu l'énoncé est n'avais pas fait attention au signe $\div$

La deuxième fraction s'écrit

[tex]\dfrac {\left(  1 - \dfrac 1 2 + \dfrac 1 4 \right)^2}{\sqrt{3^4 + 3^2}} = \dfrac {\left( \dfrac {4 - 2 + 1} {4}  \right)^2} {\sqrt{3^2(3^2 + 1)}} = \dfrac {\left( \dfrac {3} {4}  \right)^2} {3\sqrt{10}}[/tex]

[tex]= \dfrac {\dfrac 9 {16}} {3\sqrt{10}} = \dfrac {9} {48 \sqrt{10}} = \dfrac 3 {16 \sqrt{10}} = \dfrac {3 \sqrt{10}} {160}[/tex]

L'expression finale est donc égale à [tex]\dfrac {11 \sqrt{10}} {60} \times \dfrac {160} {3 \sqrt{10}} = \dfrac {11 \times 8} {3 \times 3} = \dfrac {88} 9[/tex]

PS : yoshi, j'utilise aussi l'expression "SAV gratuit" ! Je n'hésite en effet pas à consacrer une vingtaine d'heures à rédiger pour un(e) élève un cours ou une série de résolutions d'exercices.

J'utilise aussi le mot "sacerdoce".

Différents parents m'ont comparé au prof du "Cercle des poètes disparus", comparaison que je refuse car la fin du film est dramatique.

Mais, oui, j'ai cette passion d'enseigner que mes élèves perçoivent dès la première minute, que ce soit en cours particulier, en stage, ou en classe.

(J'ai eu deux périodes de remplacement : six semaines dans un collège privé, et six semaines en Terminale dans un lycée privé prestigieux. Lorsque je suis parti du collège, mes élèves filles pleuraient à chaudes larmes, et mes élèves garçons n'en menaient pas large. Au lycée, une élève m'a dessiné une magnifique enluminure de remerciement.
Je n'ai pas continué car, avec mes cours particuliers, et du fait de mon investissement auprès de mes élèves, et de leurs familles, je me retrouvais avec des semaines de 75 heures. Comme je l'ai dit par la suite, après mon arrêt cardiaque d'il y a cinq ans, «Un bon prof est d'abord un prof vivant ! »)

Lors d'un stage de 3ème, une fille m'a interrompu dans une explication et m'a dit « C'est étonnant ! On dirait que vous jouez votre cours ! »
« Mais oui ! Un cours doit se jouer ! Une classe est un public ! »
Réponse des élèves, avec une amertume bien perceptible : « On aimerait bien que les profs jouent leurs cours ! »

Je suis un fervent partisan de rendre les cours de théâtre obligatoires pour les futurs profs !
(En matière de théâtralisation, j'ai quelques beaux moments à mon actif. :-)

Je crois, yoshi, que nous allons devenir amis proches car nous sommes tous deux construits de la même pâte passionnelle !

Bonjour,

Une élève de Première m'avait dit « J'ai l'impression qu'un nous prend pour des débiles ! »
Réponse : « A un point que tu ne peux imaginer ! »

J'ai une collègue qui a vu sur la copie d'une élève de 3ème « Tu ne sais pas aligner deux fractions ! Que vas-tu faire de ta vie ? »
DE QUEL DROIT ???!!!

A ce propos, j'ai lu dans un article — je ne me souviens plus dans quel journal — sur les notations dévalorisantes des profs le récit suivant :
Un prof de maths avait sorti à une fille « Tu ne gagneras pas ta vie avec ton cerveau ! ».
(Je ne sais si le prof avait conscience du sous-entendu extrêmement violent d'un tel commentaire adressé à une fille... )

Elle a fait Centrale et dirige une équipe d'une centaine d'ingénieurs (ou de plusieurs centaines, je ne me souviens plus). L'article se termine sur cette parole de l'intéressée : «J'aimerais pouvoir retrouver ce prof et lui montrer ma fiche de paie. »

J'ai vu aussi des mères d'élève me raconter les larmes aux yeux leur entrevue avec le prof de maths.
Beaucoup se considèrent, du fait de l'importance accordée en France aux maths, investis d'un pouvoir discrétionnaire sur les élèves et leurs familles.

J'ai vu une fois une copie avec des annotations désobligeantes bourrée de fautes d'orthographe.
J'avais suggéré aux parents d'entourer les fautes en rouge et de rendre la copie au prof.
Bien sûr, cela n'était pas possible, car c'était sacrifier purement et simplement leur fille ou leur fils. Mais ils comprenaient parfaitement le sens de mon propos.

Je ne connaissais pas cette méthode, ou du moins je ne l'ai pas assimilée. (J'étais en 5ème durant l'année 64-65, mais j'étais bon dernier. :-)

En utilisant cette méthode — que j'ai comprise grâce à la page de l'Ile des mats https://www.ilemaths.net/sujet-d-m-reso … 81749.html — :

Si j'utilise 20 pièces de 2 F, je ne dispose que de [tex]20 \times 2 = 40 \text{ F}[/tex] et il me reste à combler $61 - 40 = 21 \text{ F}$ .

Si je remplace une pièce de 2 F par une pièce de 5 F, j'augmente la somme de $5 - 2 = 3 \text{ F}$.

Il me faut donc remplacer $\dfrac {21} 3 = 7$ pièces de 2 F par 7 pièces de 5 F.

Je dois ainsi utiliser $20 - 7 = 13$ pièces de 2F et 7 pièces de 5 F.

(On peut raisonner de la même façon en partant de pièces de 5 F.)

_________________

Par la méthode de " l'inconnue auxiliaire" :

Soit $d$ le nombre de pièces de 2 F. Le nombre de pièces de 5 F est donc égal à $20 - d$.

On a donc, en écriture arithmétique,  $d \times 2 + (20 - d) \times 5 = 61$   soit, en écriture algébrique,   $2d + 5(20 - d) = 61$

soit encore, successivement : $2d + 100 - 5d = 61$   ;   $- 3d = 61 - 100 = -39$

d'où $d = \dfrac {-39}{-3} = 13$

Il y a donc 13 pièces de 2 F et $20 - 13$ pièces de 5 F
__________________

Par système de deux équations, deux inconnues :

Soient $d$ le nombre de pièces de 2 F et $c$ le nombre de pièces de 5 F.

Le fait qu'il y ait 20 pièces s'écrit $d + c = 20$.

La répartition des pièces représente un montant de 61 F : $d \times 2 + c \times 5 = 61$.

Ces deux informations se traduisent par le système à deux équations, deux inconnues suivant :

$\begin{cases}d + c &= 20 \\
2d + 5c &= 61\end{cases}$

En multipliant la première équation par $-2$ et en sommant les deux équations, on obtient $3c = -40 + 61 = 21$.

D'où $c = \dfrac {21} 3 = 7$   et   $d = 20 - c = 20 - 7 = 13$

Il y a donc 13 pièces de 2 F et 7 pièces de 5 F.

Je vois ce mercredi une élève de 3ème. Je lui demanderai si les systèmes deux équations, deux inconnues sont au programme.

Sur ce, je me couche. Je suis couche-tard, mais quand même !   (Il est 1 h 43 !)

Je ne comprends pas bien : il n'y a qu'un seul décalage vers la gauche ou vers la droite, celui du produit par 7.