Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Pour que ma demande soit plus claire : Appellation des angles associés

Cela me rappelle un dessin de Reiser, je crois, montrant à la gare un couple, style Bidochon, portant de grosses et lourdes valises, et voyant passer un monsieur avec une valise sur roulettes à qui le mari crie "Fainéant ! »   :-)

Bonjour Ernst,

Entièrement d'accord !
(Je ne sais plus du tout extraire une racine carrée à la main — je ne sais même pas si j'ai appris —, et cela d'ailleurs ne m'intéresse pas car j'ai sous la main ma calculatrice ou celle de mon "téléphone intelligent".)

PS : Effectivement, nous "animons" à nous deux le forum. J'ai l'impression que ceux qui suivent cette (mémorable) discussion, et qui n'ont pas décroché, ont l'impression d'assister à une sorte de pugilat.  :-)

Bonjour Doc, bonjour à tous ceux qui suivent ces échanges,

Certes, nous sommes tous deux très présents (trop ?) sur les forums de ce beau site. Mais "guerre d'egos" me semble une expression quelque peu excessive.

J'évoquerais plutôt, comme l'a clairement montré cet exercice, un affrontement entre deux visions opposées de l'enseignement des maths :

Ce n'est pas parce qu'un exercice te semble, du haut de ton niveau, de tes connaissances et compétences, tout à fait accessible qu'il l'est pour un élève lambda actuel.
(C'est pour cela que, connaissant de près mon public, auquel j'écris beaucoup, j'ai expliqué en détail les deux démarches. Et encore, je n'ai pas détaillé toutes les étapes intermédiaires de calcul pour ne pas trop "tenir la main" et rallonger mes développements.)

Et aussi, les "vraies maths", les Olympiades et le Concours général sont très loin de la réalité à laquelle je suis quotidiennement confronté, même avec des élèves brillants, que je vois parfois faire des erreurs stupéfiantes et patiner sur des évidences apparentes.

(On m'a il y a un peu plus d'un an demandé de préparer un élève au Concours général. J'ai refusé car je ne me sentais pas en mesure de l'accompagner, n'ayant pas intégré les processus de résolution des exercices donnés à ce concours. Par contre, j'ai imprimé les sujets pour les étudier quand ma disponibilité le permettra afin d'en extraire éventuellement des exercices qui pourraient être intéressants pour certains de mes élèves, ou que je pourrais intégrer dans mes écrits.)

Bonne journée agréablement ensoleillée.
Bor.

PS :

Et ?

Bonjour à tous,

En matière d'apprentissage et de compréhension, je me suis fixé pour guides trois préceptes de mon cru, que je transmets parfois à mes élèves lorsque j'en ai l'occasion :

A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension :
Pour comprendre, il faut commencer par NE PAS comprendre. (Une compréhension immédiate et facile risque fort d'être une compréhension de surface, "bâtie sur du sable".)
Mais il faut que cette incompréhension soit gênante, voire irritante, en quelque sorte un "caillou dans la chaussure". (Une incompréhension qui ne dérange pas ne sert à rien.)

Ce ne sont pas ses prétentions qu'il faut adapter à ses connaissances, ce sont ses connaissances qu'il faut adapter à ses prétentions :
Si je me rends compte que mes connaissances ne sont pas suffisantes par rapport à ce que je veux faire ou obtenir, je ne dois pas baisser mes prétentions, mais dois au contraire relever le niveau de mes connaissances. (Si je ne peux acquérir toutes les connaissances qui me sont nécessaires, il me faut m'appuyer sur ceux qui possèdent ces connaissances et qui peuvent en transmettre la partie qui me sera utile.)

Pour paraphraser un certain philosophe français du XXème siècle, l'exigence précède l'expérience :
C'est en plaçant d'emblée la barre le plus haut (raisonnablement) possible qu'on acquiert l'expérience. Et même si on n'atteint pas le niveau d'exigence qu'on s'était fixé, les efforts pour y parvenir produiront beaucoup plus de connaissances théoriques et pratiques qu'un projet qu'on suit plus ou moins passivement.

Donc, oui, je m'acharne sur cet exercice car il présente un potentiel de consolidation d'expérience et de connaissances, pour moi d'une part, pour les élèves à qui je le proposerai éventuellement, et, je l'espère, à vous, amis lycéens qui suivez ces échanges.
(Il ne s'agit pas tant de difficulté que d'intérêt : on aborde une difficulté avec d'autant plus de facilité qu'on en perçoit l'intérêt et son apport. La difficulté pour la seule difficulté n'est pas intéressante, et donc pas motivante.)

Voici (courageusement...) le développement détaillé de la démarche qu'a utilisée notre ami DrStone :

En multipliant tous les termes de la première équation par $- \dfrac {3 - 2 \sqrt 2} {\sqrt 5 - 2}$, le terme en $x$ de la première équation devient $- (3 - 2 \sqrt 2)x$.
Lorsqu'on somme les deux équations, le terme en $x$ disparaît, et on n'a plus qu'une équation en $y$ :

1) Système initial :

$ \begin{cases}
      (\sqrt 5-2)x + 3(3 + 2 \sqrt 2)y = \sqrt 3 \\
\\
      (3 - 2 \sqrt 2)x +(\sqrt5 + 2)y = \sqrt 2
    \end{cases}$

2) Multiplication de la première équation par $- \dfrac {3 - 2 \sqrt 2} {\sqrt 5 - 2}$ :

$ \begin{cases}
      \\ \dfrac {-(3 - 2 \sqrt 2)(\sqrt 5 - 2)} {\sqrt 5 - 2} x -  \dfrac { 3(3 - 2 \sqrt 2)(3 + 2\sqrt 2 )} {\sqrt 5 - 2}y =  - \dfrac {(3 - 2 \sqrt 2) \sqrt 3} {\sqrt 5 - 2}  \\
\\
      (3-2\sqrt{2})x + (\sqrt{5}+2)y = \sqrt{2}
    \end{cases}$

3) Après simplifications sur la première équation :

$ \begin{cases}
     - (3 - 2 \sqrt 2)x + \dfrac {-3}{\sqrt 5 -2}y = - \dfrac {(3 - 2 \sqrt 2)\sqrt 3} {\sqrt 5 - 2}  \\
\\
      (3-2\sqrt{2})x +(\sqrt{5}+2)y = \sqrt{2}
    \end{cases}$

4) Après sommation des deux équations :

$\left(- \dfrac {3} {\sqrt 5 - 2} + \sqrt 5 + 2 \right)y = - \dfrac {(3 - 2 \sqrt 2) \sqrt 3} {\sqrt 5 - 2}  + \sqrt 2$

5) Après mise au même dénominateur :

$\dfrac {-2y} {\sqrt 5 -2} = \dfrac {-(3 - 2 \sqrt 2) \sqrt 3 + \sqrt {10} - 2 \sqrt 2} {\sqrt 5 - 2}$

soit :

$-2y = - 3 \sqrt 3 + 2 \sqrt 6 + \sqrt {10} - 2 \sqrt 2$

6) D'où finalement :

$y = \dfrac {3 \sqrt 2} {2} + \sqrt 2 - \sqrt 6 - \dfrac {\sqrt {10}}{2} $

_____________________

Même procédé pour éliminer l'inconnue $y$ :

1) Système initial :

$ \begin{cases}
      (\sqrt{5}-2)x + 3(3+2\sqrt{2})y = \sqrt{3} \\
\\
      (3-2\sqrt{2})x +(\sqrt{5}+2)y = \sqrt{2}
    \end{cases}$

2) Multiplication de la première équation par $\dfrac {-(\sqrt 5 + 2)} {3(3 + 2 \sqrt 2)}$ :

$ \begin{cases}
      \dfrac {-(\sqrt 5 + 2)(\sqrt{5}-2)} {3(3 + 2 \sqrt 2)}x - \dfrac {3(\sqrt 5 + 2)(3+2\sqrt{2})} {3(3 + 2 \sqrt 2)}y = \dfrac {-(\sqrt 5 + 2)\sqrt{3}} {3(3 + 2 \sqrt 2)} \\
\\
      (3-2\sqrt{2})x +(\sqrt{5}+2)y = \sqrt{2}
    \end{cases}$

3) Après simplifications sur la première équation :

$ \begin{cases}
      \dfrac {-1} {3(3 + 2 \sqrt 2)}x - (\sqrt 5 + 2)y = \dfrac {-(\sqrt 5 + 2)\sqrt{3}} {3(3 + 2 \sqrt 2)} \\
\\
      (3-2\sqrt{2})x +(\sqrt{5}+2)y = \sqrt{2}
    \end{cases}$

4) Après sommation des deux équations :

$\left( - \dfrac 1 {3(3 + 2 \sqrt 2)} + 3 - 2 \sqrt 2 \right) x = \dfrac {-(\sqrt 5 + 2)\sqrt{3}} {3(3 + 2 \sqrt 2)} + \sqrt 2$

5) Après mise au même dénominateur :

$\dfrac {2x} {3(3 + 2 \sqrt 2)} = \dfrac {- \sqrt {15} - 2 \sqrt 3 + 9 \sqrt 2 + 12} {3(3 + 2 \sqrt 2)}$

soit

$2x = - \sqrt {15} - 2 \sqrt 3 + 9 \sqrt 2 + 12$

6) D'où finalement

$x = 6 + \dfrac {9 \sqrt 2} 2 - \dfrac {\sqrt {15}} 2 - \sqrt 3$

___________________

Je préfère nettement la résolution par déterminants !! (Ne serait-ce qu'en termes de saisie...)

Quant à la résolution par substitution, je propose à notre ami Doc de nous faire part de la totalité du calcul.  :-)
Entre la résolution par déterminants et la résolution par élimination, je pense en effet avoir fait ma part.

Bon dimanche à tous.
Et bonne digestion.  :-)

Bonjour Doc,

Merci pour cette indication et cette voie de résolution !
Je vais la développer ce soir afin de pouvoir l'expliquer en détail. (Comme tu as dû sans doute le percevoir, je dois expliquer quelque chose que j'ai compris pour mieux le comprendre.)

J'ai d'emblée essayé la méthode d'élimination, mais en multipliant les coefficients, pas en les divisant ! J'aboutissais donc à une impasse.

La méthode par substitution permet bien, comme je l'ai fait, d'obtenir l'expression de $y$ en écrivant l'expression de $x$ en fonction de $y$, mais le calcul de $x$ mène ensuite à une horreur, dont je n'ai pas pu venir à bout !

Bonne journée à tous.
Bor.

PS : Pour ce qui est de la volonté sous-jacente de l'auteur, je pense qu'il n'en avait pas spécialement, et qu'il n'a pas cherché à déterminer la solution. Il se serait alors aperçu que la méthode de substitution n'est pas du tout applicable, et que la méthode d'élimination n'est pas vraiment évidente à mener à terme.
(Il m'arrive souvent, en improvisant devant l'élève un exercice, de générer quelque chose d'infaisable, mais le principal est que l'élève comprenne le principe du raisonnement.)

J'ai rallumé mon ordinateur pour dire que "coefficient d'éloignement" me semble plus adapté que "coefficient d'évolution".

Je peux donc me coucher l'esprit libéré.  :-)

C'était une technique enseignée en Seconde à ce niveau ??

Ton énoncé est plaisant.
(A part que c'est la raison du n+1-ième terme et non du n-ième).
Je le retiens, merci. (C'est mieux que la raison élevée à la puissance nombre de termes.)

Certes, la formule est élégante, mais c'est une formule ! Or je cherche à me libérer au maximum des formules, dont les élèves sont gavés ad nauseam !
Peu me chaut qu'elle se démontre par identité remarquable ou par artifice de calcul !

Je le répète, je veux une expression qui, sur deux pages de face, l'une consacrée à la suite arithmétique, l'autre consacrée à la suite géométrique, soit en quelque sorte le pendant de l'expression "d'en face", et qui soit facilement mémorisable par les élèves dans cette mise en parallèle.
Dans cette approche, la formule, même dûment démontrée, fait figure de verrue, et ne leur parle pas du tout.

Je te prie de garder à l'esprit que ma priorité, ce sont eux !
(Très souvent, ils me demandent « Mais pourquoi on ne nous dit pas cela ?! »
Je sais donc, et de plus en plus car je l'enrichis sans cesse, que ma pédagogie est appréciée.)

Sur ce, je file en cours.

Bon anniversaire, yoshi !!

Que ta belle expérience passée te permette toujours de te propulser dans le bel avenir qui t'ouvre les bras !

PS : Coïncidence : C'est aujourd'hui "mon anniversaire-bis" : j'ai aujourd'hui "cinq ans"...

Bonsoir ёщи,

Moi non plus, du moins pour calculer $x$ et $y$.

J'avais calculé le déterminant pour m'assurer que le système présente une solution — le 29 n'a pas de solution — car les expressions conjuguées en diagonale dont le produit est égal à 1 tendaient trop les bras.

Je pressentais qu'il fallait utiliser la méthode de Cramer pour deux équations, mais j'avais oublié, faute d'occasions de la pratiquer avec mes élèves, la disposition des déterminants, très facile à mémoriser, pour calculer $x$ et $y$.

Indéniablement ! C'est satisfaisant, un calcul semblant laborieux qui aboutit à une solution simple ! On se sent alors récompensé de ses efforts !
(C'est précisément la valeur très rugueuse pour $y$ — que j'avais déterminée en isolant $x$, ce qui, là aussi, permet d'utiliser les expressions conjuguées — qui m'a mis de si fort mauvaise humeur, à plus forte raison à 1 h 30, en ayant raté le coche de l'endormissement.)

L'étude effective du système de Cramer, peut-être pas, mais la technique de calcul est très facile à montrer à des élèves de Seconde, voire de Troisième. (Le mouvement "en gamma" pour calculer un déterminant est tout à fait accessible à des collégiens. Je l'essaierai avec mon élève de 5ème, que je ne vois que pendant les vacances scolaires.)

Je retiens, merci ! (La technique doit se démontrer aisément.) Je l'utiliserai, elle aussi, à la première occasion.

(J'ai une méthode similaire pour déterminer l'équation cartésienne d'une droite passant par deux points.)

Pas de regret ! J'ai buté sur le calcul de $x$ à partir de $y$, mais j'étais trop fatigué, et, surtout, trop énervé. Peut-être que j'y arriverais à tête reposée, mais je n'en fondamentalement pas envie, surtout en ayant expérimenté la méthode directe.
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PS : Je ne suis pas vraiment d'accord avec toi, Doc (une fois de plus... :-) : ce que tu énonces est en contradiction avec les exercices qui précèdent, que j'ai immédiatement "squizés" car trop faciles, et les exercices qui suivent, qui se ramènent à des systèmes faciles.
L'intention délibérée d'une préparation à la Terminale (de l'époque) ne transparaît à mon sens pas dans cette liste d'exercices.

L'auteur a très probablement voulu montrer qu'il ne faut pas trop se précipiter dans des calculs lourds.
La mise en diagonale d'expressions conjuguées dont le produit est égal à 1 est trop visiblement volontaire !
Connaissant maintenant le principe, je peux te créer une vingtaine d'exercices similaires en une heure, sans même chercher à les résoudre.
(Si cela se trouve, l'auteur ne s'est pas donné cette peine, en pensant « Ils verront bien ! »)

Le message à nos amis lycéens ou étudiants qui suivent plus ou moins cette discussion est d'ailleurs très important : à quelques rares exceptions près, les exercices de contrôle, d'examen, voire de concours, sont élaborés à partir de simplifications plus ou moins cachées ; se précipiter, c'est sensiblement augmenter le risque d'erreurs, de stress, de fausses voies, et donc d'échec !

Bonne soirée.
Bor.