Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour

Un grand classique de géométrie que je rappelle à mes élèves de Terminale ( je leur ai d'ailleurs rédigé un cours à ce sujet) : les théorèmes des milieux, alors que les exercices de géométrie dans l'espace sont truffés de milieux d'arêtes de cube, ou de droites parallèles à une autre et passant par le milieu d'une arête.

Je reprends ma réponse. (J'ai cours toutes les matinées durant ces deux semaines de vacances. Je ne peux donc écrire que l'après-midi.)

C'est ô combien vrai !
Une élève de Terminale me faisait remarquer récemment qu'elle se perd dans toute la terminologie liée aux fonctions.

C'est absolument étonnant : on n'évoque quasiment jamais la notion de pente, notamment dans le calcul de la dérivée. (Les élèves calculent des valeurs de dérivée sans comprendre ce qu'elles signifient, ni en tant que pente, ni en tant qu'amplification ou qu'atténuation)
Elle est pourtant beaucoup plus parlante que celle de coefficient directeur.

J'explique ce que représente concrètement une pente de 0.2, soit 20 %, qui correspond aux pentes les plus raides du réseau de départementales en France (20 % dans les Bouches-du-Rhône, 22 % en Haute-Garonne ; les élèves sont d'ailleurs étonnés de découvrir que les panneaux de pente qu'ils voient sur les routes relèvent d'une logique de dérivée ou de coefficient directeur), ce qu'est une pente de 1, soit 100 %, qui est la pente des deux pistes de ski les plus pentues du monde (la Kandahar à Garmish Partenkirchen, en Allemagne, de 92 %, et le Grand Couloire à Courchevel, de 85 %), et qu'elle est la pente théorique maximale que peut gravir un 4x4 (au-delà il risque de basculer en arrière).

Etonnant aussi, je n'ai pas vu une seule fois dans les notes et polycopiés de cours l'indication que le nombre dérivé en un point est égal, au signe près, à la tangente (au sens trigonométrique) de l'angle aigu formé par la tangente (au sens géométrique) avec l'axe des abscisses, et donc que la connaissance du nombre dérivé en un point permet de calculer l'angle que fait la tangente avec l'axe des abscisses. (« Là, tu vois, la touche "tan" est accompagnée de sa fonction réciproque atan. »)
Excellente occasion d'expliquer pourquoi une fonction n'est pas dérivable pour une valeur donnée lorsque le taux d'accroissement tend vers l'infini : la tangente au point correspondant est verticale (verticale ascendante ou descendante, selon le signe du taux d'accroissement).

Concernant enfin mon sommeil, merci de ces conseils (étonnants) ! Je n'ai pas de difficulté à m'endormir et ne sais pas m'instituer des rituels d'avant-dodo. (Souvent la simple fatigue joue le rôle d'endormisseur efficace.)
Par contre, si je fais des maths trop tard dans la soirée, le cerveau continue à en faire pendant mon sommeil, jusqu'à me réveiller vers 3 h.
(Le pire a été lorsque je suivais un élève passionné et passionnant en Première année de Prépa commerciale dans un lycée prestigieux : si je n'avais pas su résoudre un exercice avant de me coucher, je me réveillais à 3 h, inscrivais la solution sur mon tableau Velleda que j'avais en permanence à cette fin à côté de mon lit, photographiais la résolution, l'envoyais par sms, et me rendormais. Comme je l'ai déjà écrit, ce n'est pas un hasard si j'ai fait un arrêt cardiaque il y a cinq ans...)

Bonjour Yoshi, bonjour à tous,

Je me suis plongé hier soir, avec un peu de retard, dans les premières pages ton dictionnaire. (Je me suis arrêté à l'article Diviseur.)

J'y ai appris l'apothème — donc, quelqu'un fort en géométrie est un "fort en apothème" ? :-) —, la notion de segments adjacents, le terme "cocycliques".
J'ai aussi perçu l'intérêt de faire construire avec soin à un(e) élève un cercle exinscrit — je ne savais pas qu'il fallait ajouter « dans tel angle du triangle » — car cela nécessite plusieurs étapes et autant d'explications.

C'est un travail admirable, que je n'ai vu chez aucun de mes élèves !
(J'ai vu, à travers eux, des profs fournir en ligne une bibliothèque riche en cours et en corrigés, mais je n'ai jamais vu un prof mettre à disposition un tel dictionnaire.)
Bravo !

Je crois que tu es l'archétype du prof "à l'ancienne" pour qui son métier n'est pas seulement un sacerdoce, mais un acte profond d'amour et de générosité.

Comme je te l'ai écrit, je me reconnais un peu en toi, et regrette de ne pas avoir connu d'autres expériences d'enseignement que les deux que j'ai eues en collège et en lycée il y a huit ans. Mais je m'y serais consumé à la vitesse d'une branche de sapin jetée dans un feu de cheminée ! Te rends-tu compte, Yoshi, que je passais une heure par copie ! — cent copies à corriger, cent heures, prises sur mes nuits et mes dimanches, les samedis étant chargés de 9 h à 23 heures par mes cours particuliers —, avec des émotions indescriptibles aussi bien à la lecture d'une copie magique — combien alors je remerciais l'élève ! — qu'à la découverte d'une copie me plongeant dans le désespoir et la culpabilité — comment ai-je pu ne pas me rendre que l'élève n'avait en fait rien compris ??!!

Précieux Yoshi, ce qui suit n'est en aucune façon une critique, mais le fruit de ma libération constante, volontaire, des formules devenues de véritables incantations intangibles, et donc indéfiniment répétées.

Voici donc comment j'enseigne maintenant les aires des différentes figures géométriques. (Il m'a fallu du temps pour me libérer des formules. Je rejette notamment le terme de "base" : pourquoi un triangle, un trapèze, un parallélogramme doit-il toujours être poliment posé sur l'horizontale ? Où est la base d'un triangle, d'un trapèze, d'un parallélogramme quelconque orienté n'importe comment ? )

Aire d'un triangle
L'aire de n'importe quel triangle, quelle que soit sa forme, est égale à la moitié de l'aire du rectangle formé par un de ses côtés et la hauteur issue du sommet opposé (ou arrivant sur ce côté).
Je dessine un triangle quelconque — du moins je m'efforce à ce qu'il soit quelconque, éventuellement avec un angle obtus — et demande de tracer les trois rectangles formés par chacun des côtés.
Le triangle rectangle est un cas particulier : la hauteur correspondant à un côté de l'angle droit est en effet l'autre côté de l'angle droit. (Je demande aussi de tracer le rectangle construit à partir de l'hypoténuse.)
Cas particulier qu'on peut aussi formuler comme suit : la logique observée pour un triangle rectangle prévaut pour n'importe quel triangle.

Aire d'un parallélogramme
L'aire d'un parallélogramme est égale celle du rectangle formé par deux côtés opposés et la distance qui les sépare. (J'explique que la distance entre deux droites parallèles est la longueur du segment joignant les deux intersections d'une droite perpendiculaire à ces deux droites.)
Je fais tracer les deux rectangles : celui construit sur les grands côtés, et celui construit sur les petits côtés.
Le rectangle, le carré sont des cas particuliers. Dans tous les cas, l'aire d'un parallélogramme, avec ou sans angle droit, est l'aire du rectangle formé par deux côtés parallèles et la distance qui les sépare.

Aire d'un trapèze
L'aire d'un trapèze est égale à celle du rectangle formé par la moyenne des deux côtés parallèles et la distance séparant ces deux côtés.
Là, un seul dessin est possible.

Aire d'un losange
Outre l'aire calculée à partir de deux côtés parallèles, l'aire d'un losange est égale à la moitié de l'aire du rectangle formé par les deux diagonales du losange.
Là aussi, un seul dessin est possible.

Aire d'un quadrilatère convexe quelconque. (J'explique ce qu'est un polygone convexe.)
Elle est égale à l'aire du rectangle formé par les perpendiculaires aux deux diagonales, moins celle des quatre triangles rectangles superflus.

En généralisant : l'aire de tout triangle est la moitié de l'aire d'un rectangle ; l'aire de tout parallélogramme et de tout trapèze est celle d'un rectangle.
(Exception toutefois de l'aire d'un losange calculée à partir de ses diagonales.)
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Autre point (parmi beaucoup d'autres...) vis-à-vis duquel je suis rebelle : la confusion entre le coefficient directeur d'une droite et le coefficient de linéarité de la fonction affine qu'elle représente.

En mode numérique, dans l'expression d'une fonction affine $f(x) = mx + p$   (ou $f(x) = ax + b$), le coefficient de $x$ est appelé "coefficient de linéarité" car il traduit la proportionnalité — linéarité et proportionnalité sont synonymes — entre l'accroissement de la fonction et l'accroissement de la variable qui le génère :
$\dfrac {f(x_2) - f(x_1)} {x_2 - x_1} = m$
d'où $f(x_2) - f(x_1) = m(x_2 - x_1)$

En mode graphique,  dans l'équation de la droite $y = mx + p$   (ou $y = ax + b$), le coefficient de $x$ est appelé "coefficient directeur" car, comme son appellation l'indique explicitement, il fournit la direction de la droite : à partir d'un point de la droite, tant parallèlement à l'axe des abscisses, tant parallèlement à l'axe des ordonnées, exactement comme le fait un vecteur directeur de la droite.
Donc si les coordonnées du vecteur directeur choisi sont $\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$, le coefficient directeur correspondant est égal à $\dfrac \beta \alpha $.

Par exemple, le coefficient $2$ de l'équation $y = 2x - 1$ peut être interprété de multiples façons :

• $\dfrac 2 1$ : une unité parallèlement à l'axe des abscisses, dans le sens positif (vers la droite dans le cas d'un repère orthonormé classique), deux unités parallèlement à l'axe des ordonnées dans le sens positif (vers le haut)

• $\dfrac {-2}{-1}$ : une unité parallèlement à l'axe des abscisses, dans le sens négatif (vers la gauche), deux unités parallèlement à l'axe des ordonnées dans le sens négatif (vers le bas)

• mais aussi, par exemple, $\dfrac 6 3$ : trois unités parallèlement à l'axe des abscisses, dans le sens positif (vers la droite), six unités parallèlement à l'axe des ordonnées dans le sens positif (vers le haut)

Ecrire que le coefficient directeur de la droite joignant deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ est égal à $\dfrac {y_B - y_A}{x_B - x_A}$, ce n'est pas spécifier la direction de la droite, c'est calculer le coefficient de linéarité de la fonction affine représentée par la droite.
Cela revient donc à mélanger logique graphique et logique numérique, en oubliant que la logique graphique est en quelque sorte un "sous-produit" de la logique numérique !

La rédaction qu'on devrait enseigner pour respecter la logique de direction devrait donc être :
Le passage de $A$ à $B$ équivaut à un déplacement de $x_B - x_A$ parallèlement à l'axe des abscisses, et à un déplacement de $x_B - x_A$ parallèlement à l'axe des ordonnées, soit parallèlement à un vecteur directeur de coordonnées $\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - x_A \end{pmatrix}$
La direction de la droite est donc spécifiée par le quotient $\dfrac {y_B - y_A}{x_B - x_A}$.

Vous me direz « Ben oui, le coefficient directeur est donc bien égal à $\dfrac {y_B - y_A}{x_B - x_A}$. Où est le problème ? »

Certes. Mais la démarche est radicalement différente : à une formule qu'on applique "bêlement", qui relève d'une logique numérique, on préfère un raisonnement qui traduit réellement la signification du coefficient directeur.
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Encore un point qui renvoie à un fameux débat dans la discussion « Question nomenclature » (https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=16832) :

Yoshi, tu écris très justement
« On dit qu'un nombre entier b est un diviseur d'un nombre entier a s'il existe un nombre entier k tel que : a = k x b
Dans ce cas, k est aussi un diviseur de a, c'est le quotient exact de la division de a par b. »

Donc, avec cette définition du diviseur d'un entier, la division euclidienne de $a$ par $b$ doit être $a = qb + r$, qui s'interprète « $a$ est multiple de $b$ à $r$ unités près...   :-)
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Sur ce, je vais essayer de dormir un peu : lorsque je me réveille à trois ou quatre heures parce qu'une pensée écriture me lancine, je sais, par expérience moult fois répétée, que je ne me rendormirai pas avant d'avoir écrit ce qui me taraude l'esprit. Là je sens la fatigue m'envahir.

Bonne journée de dimanche !

Bonsoir Ernst, bonsoir à tous,

Merci tout d'abord de ta réponse qui m'apporte des éléments de réflexion..

J'ai préféré laisser s'écouler un peu de temps avant de réactiver la discussion.

Si ce n'est d'avoir la fierté de se voir cité(e) en tant que relecteur ou relectrice d'un ouvrage de maths, lorsque toutefois j'aurai pu mener le projet jusqu'à la publication de mon premier opus. (Il y a encore beaucoup à faire pour y parvenir...)

Mais l'intérêt réside surtout dans tout ce que l'élève apprendra, qui lui donnera un socle de compréhension (bien) supérieur à celui que lui apporteront les cours en classe.

Oui, indéniablement !
Je m'en rends quasi quotidiennement compte, notamment par les réactions de mes élèves : « Pourquoi on ne nous dit (explique) pas cela ? » ; « C'est tout ? Mais c'est tout simple ! » (ils utilisent un autre mot que "simple" :-) ; « C'est fou ! J'ai plus compris en une heure et demie avec vous qu'en deux semaines de cours ! » ; etc.

Je ne prétends pas cela !
Par contre, oui, pour l'avoir expérimenté maintes et maintes fois, je suis convaincu qu'à partir du moment où un ou une élève comprend la logique d'une notion, elle ou il peut comprendre beaucoup plus que ce qu'on lui enseigne par rapport à son niveau officiel [ajouté]pour peu qu'on reste dans la même logique et qu'il n'y ait pas de rupture conceptuelle..

Je prévois rarement à l'avance d'expérimenter telle ou telle explication avec un(e) élève : je le fais à l'improvisation parce que je perçois à un moment donné que l'élève peut encaisser le coup ; j'ai alors toujours une appréhension, un peu, toutes proportions gardées, comme si je me lançais dans un saut à l'élastique sans savoir vraiment si l'élastique est fixé à l'autre bout. Mais je ne me suis jamais heurté à une incompréhension ou à un refus. Au contraire, les élèves apprécient beaucoup de se voir capables d'assimiler facilement des notions normalement enseignées bien plus tard, ou de traiter sans difficultés des structures d'exercice qui initialement leur font peur.
Je sais cependant avec qui je peux me permettre ces digressions, et avec qui je ne dois pas le faire.

Je n'attends pas de mes futurs relecteurs et relectrices qu'ils me précisent les actions qui leur conviendraient le mieux.

Ce que j'attends de ces relectures, c'est de percevoir le maximum de "points durs" qui obligent l'élève à relire deux ou trois fois une explication avant de la comprendre — je suis très attentif à la fluidité de la compréhension —, c'est de me rendre compte comment l'élève assimile les notions présentées, comment elle ou il fait la jonction avec ce qu'elle ou il voit en classe. (Il ne s'agit pas de "chambouler" la compréhension que l'élève acquiert en classe : il s'agit de la consolider en l'élargissant autant que possible.)
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Ceci dit, j'ai vu une fois à l'arrière d'un bus une affiche destinée aux cyclistes qui disait « Si vous ne levez pas le bras, personne d'autre que vous ne sait que vous allez tourner ! »

J'ai fait une erreur du même ordre en ne précisant pas ce que j'entendais par "rémunération".

J'étais en effet le seul à savoir que je m'apprête à payer 120 - 150 euros sur mes fonds personnels une séance de relecture de trois-quatre heures, car ces tests me sont d'une grande importance : dans la mesure où je conçois mes futurs opus selon des voies (très) peu standard, je dois en effet investir ce qu'il faut pour réduire autant que possible le risque de me planter ! (A plus forte raison si, comme je le prévois pour l'instant, je publie mon premier opus à compte d'auteur, c'est-à-dire à risque maximal.)

[Modifié] Je pense donc que, pour un(e) lycéen(ne), gagner 120 ou 150 euros en à peine trois-quatre heures, qui plus est en effectuant un travail valorisant par lequel on apprend beaucoup, peut représenter une gratification appréciable.

[Ajouté] PS : La relecture par certains de mes élèves serait à mon sens d'emblée biaisée car ils sont familiarisés avec mes façons d'expliquer, et retrouveront une bonne partie de ce que je leur enseigne.

Bonjour,

Vous trouverez ci-joint les courbes $y = x^2$ et $y = \sqrt x$ avec les courbes des dérivées logarithmiques correspondantes ($y = \dfrac 2 x$ pour la première ; $y = \dfrac 1 {2x}$ pour la seconde) : https://www.cjoint.com/c/NDeh1sULFCD

Sur les quatre courbes j'ai placé le point à partir duquel la pente cède le pas à la valeur, c'est-à-dire à partir duquel l'accélération de la courbe principale devient moins perceptible.

Mon idée "d'indice d'accélération" se heurte cependant à un petit obstacle : si $u(x) = x$, sa dérivée logarithmique est $\dfrac 1 x$ — le $1$ du numérateur doit être interprété comme celui de la dérivée de $x$ par rapport à elle-même, et non comme le $1$ de la fonction inverse — alors que la droite $y = x$ ne présente a priori aucune accélération.
Comment interpréteriez cette particularité ?

Par contre, si $u(x) = e^x$, la dérivée logarithmique est $\dfrac {e^x}{e^x} = 1$.
Comme en chaque point la pente est égal à la valeur, elles contribuent à part égale à l'évolution de la courbe.

Bonne journée, malgré la forte pluie (du moins en région parisienne)

Bonsoir yoshi,

Je serais moi aussi intéressé par ta création.
Tu pourras me l'adresser ?

Je t'en remercie d'avance.
Bien cordialement,
Bor.

Bonjour Bernard,

En fait, ce n'est pas $2\pi$ mais $2R$ : $\pi$ fois le diamètre, c'est-à-dire $\pi$ fois deux fois le rayon, soit $\pi \times (2R)$.
(Je préfère même $(2R) \times \pi$ : l'élément premier est le diamètre du cercle, qui est ensuite multiplié par $\pi$ pour obtenir le périmètre. Comme vous l'avez sans doute remarqué, je suis attaché à la logique d'écriture du calcul littéral, sur laquelle, malheureusement, on s'assied bien trop souvent.)

Ce fameux $2 \pi R$ est l'exemple classique, parmi un très grand nombre d'autres, de formulation algébrique ne correspondant pas à la formulation logique...

Mais pour définir le nombres de radians correspondant à un tour complet, il vaut mieux utiliser l'expression $(2\pi) \times R$.

A ce propos, je m'amuse régulièrement lorsque je demande combien de fois il y a $R$ dans $2\pi R$ ?
Rares sont les élèves qui répondent du premier coup ! La question donne généralement lieu à un véritable feu d'artifice de réponses. :-)

Bonsoir, bonsoir,

Zébulor d'abord (ça rime :-) Au moment où je t'ai répondu, je partais pour faire des courses. La réponse à ma question m'est devenue évidente dès que je me suis retrouvé dehors : il faut sommer des "cubes incurvés" de dimensions infinitésimales !

De même, pour la surface, il faut sommer des "carrés courbes".

N'ayant malheureusement pas l'occasion, avec mes élèves lycéens, de manier des intégrales autres que l'intégrale simple tristement limitée au seul calcul d'aires, il me faut un petit temps pour me replonger dans les coordonnées sphériques et les intégrales dans ces coordonnées.
Je prendrai alors plaisir à calculer l'aire et le volume d'une sphère (boule) selon ces façons de faire. Peut-être qu'alors ce fameux facteur 4, répété deux fois, me paraîtra plus naturel.

Eustache ensuite : Cela me fait bien plaisir de rencontrer quelqu'un qui a, lui aussi, bifurqué seul vers les maths en commençant des études sans maths qui se sont avérées être pour lui une impasse !
Mais, contrairement à toi, je n'ai pas su rejoindre le cursus classique : je me suis inscrit au CNAM en section Automatique mais j'ai véritablement HAÏ l'enseignement du Conservatoire tel que je l'ai subi, surtout lors du deuxième cycle. (On me présentait comme étudiants modèles des gars complètement scolaires dont je n'aurais pour rien au monde voulu comme assistants.)

Merci de tes notes ! , que j'ai parcourues en première lecture à l'écran, et que je vais relire, sans doute demain, après les avoir imprimées.

Etant à un moment devenu chef de produits dans une entreprise d'instrumentation industrielle, et pensant m'être définitivement orienté vers le marketing industriel, j'ai idiotement jeté tous les classeurs que j'avais constitués à partir de différents ouvrages (en particulier "Le calcul différentiel et intégral", en deux tomes, de Nikolaï Piskounov, qui a toujours été pour moi ma Bible, y compris maintenant.)
Je me suis ainsi amputé à la hache de milliers d'heures de travail !! Qu'est-ce que j'ai pu ensuite regretter cet acte stupide !!

Ma démarche d'alors était beaucoup moins heuristique que la tienne : je recopiais, en les décomposant pas à pas, les manuels et ouvrages sur lesquels je travaillais.
Elle l'est devenue lorsque, il y a une douzaine d'années, j'ai voulu revenir à mes amours premières : en cherchant en permanence à expliquer la logique des choses, au-delà des formules, je me les explique à moi-même, et répercute ensuite mes compréhensions.

Par contre, je retrouve dans tes écrits ma loquacité en cours.  :-)

Ceci dit, nous sortons là complètement du forum censé s'adresser à des collégiens et des lycéens !

Mais vos deux interventions, dont je vous remercie, me confirment que je vais davantage expliquer à mes élèves de Terminale, du moins à ceux qui peuvent encaisser ces digressions, que le principe de l'intégration, qui consiste à sommer des éléments dont une dimension au moins est infinitésimale, peut être reproduit selon plusieurs raisonnements allant bien au-delà du calcul d'aires classique.

Et que, en dehors de l'intégrale simple, qui permet déjà beaucoup, il y a les intégrales doubles, triples — je demande parfois de calculer des intégrales triples improvisées ; les élèves comprennent très facilement —, les intégrales curvilignes..., et qu'il n'y a pas que les intégrales en coordonnées cartésiennes.

PS [ajouté] : Ce qui m'intéressait dans ma démarche, c'était d'intégrer uniquement par rapport au rayon, de façon à montrer le passage "en trois coups" du périmètre du cercle au volume de la sphère.

Bonjour (ou bonsoir),

Maintenant, je comprends qu'il y a deux façons de remonter par intégration "naturelle" ⁽¹⁾ du périmètre du cercle au volume de la sphère, mais dans les deux cas, il faut une multiplication par 4 intermédiaire.

(1) Par intégration naturelle, j'entends intégration pour laquelle seule le rayon est utilisé comme variable. (Je considère donc l'intégration classique qu'avait rappelée Doc comme étant "artificielle" dans la mesure où la variable d'intégration est la cote, et non le rayon.)

Première façon de faire :

L'aide du disque $a_d(R)$ peut être obtenue en sommant les anneaux ayant pour périmètre $2 \pi r$ et pour largeur $dr$. (Cette intégration correspond à la logique "disque microsillon" que j'évoquais plus haut.) :
$a_d(R) = \displaystyle \int_0 ^R 2 \pi r dr = \left[ 2 \pi \dfrac {r^2} 2 \right]_0^R = \pi R^2$

Le volume $v_c(R)$ du cône de rayon $R$ et de hauteur $R$ est obtenu en sommant du sommet vers la base les cylindres ("tranches") d'aire $\pi r^2$ et d'épaisseur $dr$  :
[tex]v_c(R) = \displaystyle \int_0^R \pi r^2dr = \pi \left[ \dfrac {r^3} 3 \right]_0 ^R = \dfrac {\pi R^3} 3[/tex]

(Si on effectue l'intégration de la base vers le sommet — ce qui correspond à la vision habituelle d'un cône, alors que l'intégration précédente correspond à un cône pointe vers le bas —, il faut écrire [tex]v_c(R) = -\displaystyle \int_R^0 \pi r^2dr [/tex].)

En multipliant le volume de ce cylindre par $4$, on obtient le volume de la sphère :
[tex]v_s(R) = \dfrac {4 \pi R^3} 3[/tex]

Deuxième façon de faire

En multipliant l'aire du disque par 4, on obtient l'aire de la sphère $a_s(R) = 4 \pi R^2$.

Le volume de la sphère est obtenu en sommant les "pelures d'oignon" d'aire $4 \pi r^2$ et d'épaisseur $dr$ :

[tex]v_s(R) = \displaystyle \int_0^R 4 \pi r^2 dr = 4 \pi \left[ \dfrac {r^3} 3 \right]_0 ^R = \dfrac {4 \pi R^3} 3[/tex]

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Ces deux façons de faire reposent cependant sur les trois prérequis suivants :

• Le périmètre d'un cercle est égal à $\pi$ fois le double de son rayon.

• Le volume d'une sphère est quatre fois celui du cône ayant pour rayon et pour hauteur le rayon de la sphère.

• L'aire d'une sphère est quatre fois celle d'un grand disque de la sphère.

J'aimerais beaucoup pouvoir analytiquement "remonter d'un cran"...

[Ajouté]Doc, par l'article que tu as indiqué, tu m'as permis d'asseoir la compréhension de base. Merci !

Après lecture de la partie 2 de l'article, celle consacrée au cercle et à la sphère, j'ai appris que la formule classique du volume d'une sphère $\dfrac {4 \pi R^3}{3}$ peut être interprétée selon plusieurs structures.

Ainsi, le volume de la sphère peut être considéré comme étant égal

• à quatre fois le volume du cône dont le rayon et la hauteur sont égaux au rayon de la sphère :
  $V = 4 \times \dfrac 1 3 \left( \pi R^2 \times R \right)$

• à deux fois le volume du cône de rayon et de hauteur respectivement égaux au rayon et au diamètre de la sphère :
  $V = 2 \times \dfrac 1 3 \left[ \: (\pi R^2) \times (2R) \: \right]$

• au volume du cylindre dont l'aire de la base est égale à l'aire de la sphère, et dont la hauteur est égale au tiers du rayon :
  $(4 \pi R^2) \times \dfrac R 3$

  Remarques :
  1) Cette écriture répond à la question que j'avais posée en lançant la discussion sur la signification de la longueur $\frac R 3$ dans la logique volume = aire fois longueur.
  2) L'aire latérale de ce cylindre est égale à l'aire de la sphère.

• aux deux-tiers du volume du cylindre circonscrit à la sphère, donc de rayon égal au rayon de la sphère et de hauteur égale au diamètre de la sphère :
  $V = \dfrac 2 3 \times \left[ \: (\pi R^2) \times (2R) \: \right]$

(L'origine de cette discussion était la révision avec une élève de Troisième des différentes aires et volumes. Les questions me venaient au fur à et à mesure de mes explications. Mercredi, je vais pouvoir lui expliquer autrement le volume d'une sphère.)

Merci Doc,

Ça a l'air effectivement intéressant ! Je vais m'y plonger ce soir.

Bonjour yoshi,

Merci de ta réponse !

Si on utilise la notion de radian, en écrivant que la longueur d'un arc de cercle intercepté par un angle de $\alpha$ radians est égale à $\alpha r$, j'ai l'impression d'être face à un serpent qui se mord la queue, car la notion de radian, du moins telle que je l'ai comprise et telle que je l'enseigne, provient précisément du périmètre du cercle.
(Plus précisément, c'est la valeur du radian qui provient du périmètre.)

Bonjour Roro,

Merci de ta réponse !

C'est précisément la question que je me suis souvent posée : la primitive du périmètre est l'aire du disque ; la primitive de l'aire du disque est le volume de la sphère.

Comment concrètement interpréter cette double relation ??