Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Dans ce fil, je mettrais des énigmes de maths, des astuces de maths habilliées d'un énoncé des fois pas optimal, c'est à dire l'astuce me permettrait de prouver un résultat plus fort que celui que j'annonce.

Mon but : avoir suffisament d'astuce pour pouvoir tomber simplement des résultats classiques difficiles, voir des problèmes ouverts connus.

Ainsi les problèmes qui ne seront pas tombés, seront pour moi les plus intéressants, car porteur d'une astuce inédite, et donc qui peuvent potentiellement me permettre de résoudre des problèmes encore ouvert, ou aborder d'une manière inédite un problème difficile.

La plus part des énoncés que je propose posséde une solution courte de moins d'une dizaine de ligne, niveau agreg (Licence-M1).

Pour l'instant je vais mettre de vieux énoncé, puis je ferais suivre par de nouveaux.

énoncé 1 : polynômes à la mod
Calculer [tex]\lim \limits_{n\rightarrow \infty} P_n(X) \mod (X^2+1)^2[/tex] avec [tex]P_n(X)=\sum\limits_{k=0}^n \frac{X^k}{k!}[/tex].

énoncé 2 : série circulaire
La série converge-t-elle : [tex]\sum \limits_{k=2}^n \cos(\frac{k^2+1}{k-1})\frac{1}{\sqrt k}[/tex] ?

énoncé 3 : polynômes composites
On pose [tex]P(x)=x^2+1[/tex] déterminer dans [tex]\mathbb Z/(2^{89}-1)\mathbb Z[/tex], la dérivée [tex]101^e[/tex] de [tex]P^{101}[/tex] en 1. ([tex]P^2(x)=P(P(x))[/tex])

énoncé 4 : polynôme et permutation
Soient [tex]p[/tex] un entier premier impair, [tex]P\in(\mathbb Z/p\mathbb Z)[x][/tex] tel que [tex]\text{deg}(P)<p[/tex] et [tex]P(x)=a_0+...+a_{p-1}x^{p-1}[/tex]
A-t-on si [tex]a_{p-1}\neq 0[/tex] alors la fonction polynôme associé à [tex]P[/tex] n'est pas une permutation de [tex]\mathbb Z/p\mathbb Z[/tex] ?

énoncé 5 : incroyable mais vrai ?
Soit [tex]n[/tex] nombre entier plus grand que 5, [tex]H[/tex] un sous-groupe de [tex](\mathbb Z/n\mathbb Z)^*[/tex].
A-t-on si [tex]a\in H[/tex] avec [tex]a>2[/tex] alors [tex](a-1)|\sum \limits_{h \in H} n(-\frac{h}{n} \mod a)[/tex] ?

énoncé 6 : critère de permutabilité
[tex]\text{ Soit f une fonction de }\mathbb Z_p \text{ dans lui même, avec p premier impair.}
\\\text{A-t-on f permutation ssi card}(f^{−1}({0}))\in [1,p-1], \text{ et } \forall k\in [1,p−2]\cap \mathbb N,\sum \limits_{a\in Z_p} (f(a))^k \mod p =0 \text{ ? } [/tex]

énoncé 7 : Diffie-Helmann par les polynômes
[tex]p=2^j q_1\times q_2\times ...q_n+1 \text{ un nombre premier, avec les } q_i \text{ premiers entre eux et impair}
\\\text{ P un polynôme de deux variables dans } \mathbb F_p[X,Y] \text{ avec b un des éléments primitifs de } \mathbb F_p^* \text{ tel que : }
\\\text{pour tout } k,m\in\mathbb N, b^{k\times m} \mod p=P(b^m,b^k)\mod p. \text{ A-t-on } 2^n \leq \text{degré}(P) ?[/tex]

énoncé 8 : ne sommes pas des sommes
Calculer [tex]\sum \limits_{i\in [0,2^{101}]}\frac{3^i}{(3^i+2)^2-1} \mod(2^{89}-1)[/tex]

énoncé 9 : plein les sinus
Calculer, modulo [tex]2^{89}-1[/tex], la dérivée 101-iem en 0 de [tex]\sin^{2^{2017}}[/tex] (fonction composée de [tex]\sin[/tex]) ?

énoncé 10 : équations fonctionnelles
Soient [tex]n \in \mathbb N,n>1, P_1,...,P_n[/tex] polynômes complexes.
Si [tex]Q(x)=a_0+...+a_nX^n[/tex], [tex]f[/tex] une fonction de [tex]\mathbb C[/tex] dans [tex]\mathbb C[/tex], on note [tex]Q(f)[/tex] la fonction : [tex]Q(f)=a_0id+a_1f+...+a_nf^n[/tex] avec [tex]f^2(x)=f(f(x))[/tex].
Trouver une condition nécessaire et suffisante (sur les [tex]P_i[/tex]) pour qu'il existe une fonction [tex]f[/tex] de [tex]\mathbb C[/tex] dans [tex]\mathbb C[/tex] tel que :  [tex]\forall i=1...n,P_i(f)=0[/tex]

Bonne journée.