Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Salut freddy,

On n'a pas à choisir la pochette ... il n'y en a qu'une.

Salut,

Si ma réponse est considérée comme trop détaillée ... on peut la virer.
Elle a tout de même le mérite de présenter une méthode alternative à la méthode (que je juge pesante) matricielle.

On peut tout à fait se passer d'utiliser la méthode matricielle.

Si cela intéresse, voila une autre voie :

x'=3x+y+e^t
y'=-4x-y+e^t

y = x'-3x-e^t
y' = x" - 3x' - e^t

x" - 3x' - e^t = -4x - (x'-3x-e^t) + e^t

x" - 3x' - e^t = -4x - x'+ 3x + 2.e^t

x" - 2x' + x = 3.e^t

p²-2p+1 = 0 --> p1 = p2 = 1
Solutions de x" - 2x' + x = 0 :  x = (A+B.t).e^t

sol particulière de x" - 2x' + x = 3.e^t (Attention, comme (A+B.t).e^t est solution de x" - 2x' + x = 0, une solution particulière devra être de la forme x = K.x².e^t)
...  et on arrive à x = 1,5.t².e^t (est une solution particulière de x" - 2x' + x = 3.e^t)

Solutions générales de x" - 2x' + x = 3.e^t :
x = (A + B.t + 1,5.t²).e^t
---
x' = (A + B.t + 1,5.t²+ B + 3t).e^t

x'=3x+y+e^t
(A + B.t + 1,5.t²+ B + 3t).e^t = 3.(A + B.t + 1,5.t²).e^t + y + e^t

y = (A + B.t + 1,5.t²+ B + 3t - 3A - 3B.t - 4,5.t²-1).e^t

y = (-2A+B-1 + t - 3.t² ).e^t

---
On a donc :

x = (A + B.t + 1,5.t²).e^t
y = (-2A+B-1 + t - 3.t² ).e^t

et avec les conditions initiales :
0 = A
0 = -2A + B - 1

A = 0 et B = 1

Et donc finalement :

x = (t + 1,5.t²).e^t
y = (t - 3.t² ).e^t

Salut,

Cessons de rire.
Environ la moitié des calculettes donnent un résultat négatif et l'autre moitié un résultat positif ... pour la même entrée.
C'est déjà très mal parti.

Et c'est la même chose pour les quelques autres remarques que j'ai faites (et des 10 tomes que je n'ai évidemment pas détaillé).

J'ai le sentiment que tu fais partie de ceux qui pensent que les définitions qu'ils utilisent sont les seules et les bonnes.
Et bien c'est largement raté.

Quand à penser que c'est figer les mathématiques que de se mettre d'accord sur une seule notation pour l'arctan() ou pour le ln() et les milliers de "broutilles" du même accabi c'est profondément ridicule.

Il y a les matheux qui vivent en vase clos et pensent que tout va pour le mieux dans leur monde et puis il y a les autres, qui essuient les plâtres du manque d'uniformisation et des multiples mécompréhensions que cela engendre.

Mais je ne tacherai plus de te convaincre, ce serait  peine perdue.

Salut,

Alternative :

9x^5+6x+5 = 12x^4

a) x = 0 n'est pas solution.

b) si x <= -1 :
6x + 5 <= -1
et a fortiori : 9x^5⁴+6x+5 <= -1 (puisque 9x^5 < 0)

comme 12 x^4 > 0, il n'y a pas de solutions à l'équation.

Des points a et b ci-dessus, on déduit que si il y a des solutions entières à 9x^5⁴+6x+5-12x^4 = 0, elles ne peuvent être que >= 1

c) avec x >= 1 :
Si 9x^5 > 12 x^4, il n'y a pas de solutions (puisque 6x+5 > 0)

--> Pas de solutions si : 9X^5 > 12 x^4
9x > 12
x > 1,5

De tout ce qui précède, on conlut que si il y a des solutions entières à 9x^5+6x+5 - 12x^4 = 0 ... ce ne peut être que x = 1

Or x = 1 n'est pas solution ... et donc il n'y a pas de solutions entières à 9x^5+6x+5 - 12x^4 = 0.

Salut,

Ce n'est pas fini.

Il faut encore trouver les valeurs de x pour lesquelles sin(x) = -(V3)/2 et  les valeurs de x pour lesquelles sin(x) = 1/2

Et sans autres précisions de l'énoncé, je présume que les solutions à trouver sont pour l'ensemble R.

...

Salut,

Dans ce genre de problème, il n'est pas question d'avoir ou non raison.

Les mathématiques sont universelles mais malheureusement pas les définitions utilisées à travers le monde.

On peut se limiter à ce qu'en dit le "site officiel de l'académie de Versailles" mais que disent les "équivalents" en Allemagne, en Suède, aux royaume-Unis, aux Etats-Unis ...

On peut regarder uniquement l'enseignement et se conformer aux programmes imposés dans le pays où on est, mais dans la vraie vie, celle où on utilise les mathématiques dans des dossiers techniques multinationaux, c'est une tout autre chose.

Comme l'enseignement (là ce n'est que mon avis) devrait former pour "l'après" et que l'après est souvent multinational, mettre des oeillères en se limitant uniquement aux notations et définitions de sa région ne me semble pas très sain.

Chaque année, des sommes colossales sont perdues par des erreurs dues à la mécompréhension de "cahiers des charges techniques" par des équipes multinationales uniquement parce que les notations et définitions enseignées diffèrent d'un pays à l'autre.

Chacun étant évidemment persuadé que c'est LA définition qu'on lui a enseigné la bonne et pas toujours (presque jamais) conscient d'ailleurs qu'il y a des différences.

Je n'ai évidemment pas la vision d'un enseignant contraint par des programmes ... mais celle d'un ingénieur qui doit éviter les pièges de disparité des notations et définitions utilisées par les uns et les autres (pas seulement sur les détails d'arrondi évidemment) dans des dossiers partagés entre la France, la Belgique, l'Allemagne et les Etats-Unis (pour moi).

Mon but n'est évidemment pas de faire une liste de toutes ces divergences, ce serait d'ailleurs impossible.
Avec l'habitude, on finit par les renifler quand on est en face d'une, mais cela reste piégeux.

Chacun fait évidemment ce qu'il veut de ce que j'ai écrit.

Salut,

Outre les erreurs manifestes dans ce que tu as écrit ... il existe plusieurs types d'arrondis.

88/512 = 0,171875

- L'arrondi au millième (sans autre précision) est 0,172 (car le 8 du rang 1/10000 ème >= 5 et donc on arrondit vers le haut)
- L'arrondi au millième par défaut est 0,171 (c'est aussi la troncature au millième)
- L'arrondi au millième par excès est 0,172
*****
8/512 = 0,015625

- L'arrondi au millième (sans autre précision) est 0,016 (car le 6 du rang 1/10000 ème >= 5 et donc on arrondit vers le haut)
- L'arrondi au millième par défaut est 0,015 (c'est aussi la troncature au millième)
- L'arrondi au millième par excès est 0,016
*****

Dans certains ouvrages (mais pas tous), on conseille de ne pas utiliser les vocables "arrondi par défaut" et "arrondi par excès", mais plutôt utiliser alors :
"valeur approchée par excès" et "valeur approchée par défaut".

Il faut bien faire avec ... il y a rarement unanimité sur les définitions en mathématiques.

Salut,

Une manière parmi d'autres.
Je n'aime pas donner une réponse détaillée, mais pas facile de faire autrement dans cerains cas.

(a - b)² >= 0 (comme carré)
a² + b² - 2ab >= 0
a² + b² - 2ab + 4ab >= 4ab
a² + b² + 2ab >= 4ab
(a+b)² >= 4ab
[(a+b)/2]² >= ab

et comme la fonction ln() est strictement croissante sur R*+ et que les 2 membres de l'inéquation sont > 0, on a aussi :
ln[(a+b)/2]² >= ln(ab)
2.ln[(a+b)/2] >= ln(a) + ln(b)
ln[(a+b)/2] >= (ln(a) + ln(b))/2

Salut,

Autre technique (sans DL) : multiplier et diviser par le "conjugué".

[tex]\sqrt{x^2+3x+2} - x[/tex]

= [tex] \frac{(\sqrt{x^2+3x+2} - x).(\sqrt{x^2+3x+2} + x)}{(\sqrt{x^2+3x+2} + x)}[/tex]

= [tex] \frac{x^2+3x+2 - x^2}{(\sqrt{x^2+3x+2} + x)}[/tex]

= [tex] \frac{3x+2}{(\sqrt{x^2+3x+2} + x)}[/tex]

= [tex] \frac{3x+2}{x.(\sqrt{1 +\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}) + x}[/tex]

= [tex] \frac{3x+2}{x.(1 + \sqrt{1 +\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}})}[/tex]

Le passage à la lim pour [tex]x \to +\infty [/tex], est alors sans difficulté.

Salut,

Autre approche :

Pour qu'une série converge, une condition nécessaire est que son terme général tende vers 0 lorsque n tend vers + l'infini.

Or cette limite est ici de (1/e)^a qui n'est pas nul ...

Salut,

J'aide juste pour le n°2, pour montrer une technique possible par toujours bien expliquée.

2)

Une manière parmi d'autres.

La mesure principale d'une angle orienté alpha est la mesure de l'angle Beta = (alpha +2k.Pi) avec k appartenant à Z tel que -Pi < Beta <= Pi

alpha = -137Pi/5

-Pi < -137Pi/5 + 2k.Pi <= Pi

-1 < -137/5 + 2k <= 1

-1 + 137/5 < 2k <= 1 + 137/5

26,4 < 2k <= 28,4

13,2 < k <= 14,2 (avec k dans Z)

--> k = 14

Beta = -137Pi/5 + 2*14*Pi = -137Pi/5 + 28Pi = -137Pi/5 + 140Pi5

Beta = 3Pi/5

La mesure principale de l'angle orienté -137Pi/5 est 3Pi/5

Salut,

Ma solution n'avait rien d'un coup de bol

a³ = 3ab² + 11 (1)
b³ = 3a²b + 2  (2)

(1) -->

b² = (a³ - 11)/(3a) et donc, a compris dans ]-oo ; 0[ U [11^(1/3) ; +oo[ (puisque b² >= 0)

1°) Si b = [(a³ - 11)/(3a)]^(1/2)

remis dans (2) -->

[(a³ - 11)/(3a)]^(3/2) = 3a² * [(a³ - 11)/(3a)]^(1/2) + 2

Soit on étudie les variations de f(a) = [(a³ - 11)/(3a)]^(3/2) - 3a² * [(a³ - 11)/(3a)]^(1/2) - 2

Soit on trace la courbe de f(a) sur n'importe quelle calculette graphique ...

Et on arrive à la conclusion qu'il n'y a une seule solution réelle pour f(a) = 0 ... c'est a = -1

2°) b = - [(a³ - 11)/(3a)]^(1/2)

remis dans (2) --> -[(a³ - 11)/(3a)]^(3/2) = - 3a² * [(a³ - 11)/(3a)]^(1/2) + 2

Soit on étudie les variations de f(a) = -[(a³ - 11)/(3a)]^(3/2) + 3a² * [(a³ - 11)/(3a)]^(1/2) - 2

... un peu long à poursuivre, il faut montrer que les solutions pour a, conduisent à des valeurs de b inacceptables ...

Ce n'est pas la solution la plus directe ... mais elle conduit au but.