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ça y est !

c'est <=>

et parce que je peux le démontrer dans les 2 sens

oui, encore faute de frappe, il faut vraiment que je relise avant de poster !!!

$f_2(x) = x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$

$ x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = 0 <=>  \left(x - \frac{3}{4}\right)² - \left(\frac{1}{4}\right)^2 <=> \left(x - \frac{1}{2}\right) \left(x - 1\right) = 0$

$<=> \left( x - \frac{1}{2}\right) = 0 $ ou bien $ \left(x - 1\right) = 0$

Ainsi
          l'équation $f_2(x) $ a deux solutions, c'est une équation produit qui a deux solutions.

maintenant je fais le lien entre $f_1(x)$ et $f_2(x)$

Si $f_1(x) = 2\times f_2(x)$ alors $f_2(x) = 0 => f_1(x) = 0 $

et les racines de $f_1(x)  $ sont les mêmes racines que celles de $f_2(x)$

Bonsoir

Voilà, j'ai essayer de refaire la démonstration en décrivant 4 étapes

étape 1 : je démontre que $f_1(x) = f_2(x)$

$f_1(x) = 2x² - 3 x + 1$ 

$f_2(x) = x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$

$2x² - 3 x + 1 = 2 \left[x² - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\right] $

donc  $f_1(x) = 2 f_2(x)$

étape 2 : je démontre quand $f_1(x) = 0 $
c'est à dire qu'est ce qui fait que le polynôme de degré s'annule

étape 3 : je démontre que si $f_1(x) = 0$ alors $f_1(x) = 0 => f_2(x)=0$

étape 4 : je démontre que si j'ai $f_1(x) = 0 $ => $f_2(x) = 0$ alors ce sont bien les mêmes valeurs qui annulent les deux polynôme de degré 2
et ainsi j'ai démontré que $f_1(x)$ et $f_2(x)$ ont les mêmes racines
ces 2 polynômes ont les mêmes racines si la condition précédente est vérifiée

Bonsoir

pour le 1. c'est rectifié
je veux bien parler de la forme générale d'un trinôme de degré  2 donc $ax² + bx + c $
j'ai du faire une erreur en tapant , just a mistake

pour le 2.
il y a eu un problème avec le latex , moi j'ai compris : Crois- tu que les racines de $ 2x² + \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$ soient $1$ et $\frac{1}{2}$
mais ta question vient probablement de mon erreur de frappe puisque j'ai écrit dans le précédent post  $ax² - bx + c $

ce que je voulais dire, en fait c'est plutôt :

Les racines du polynômes $x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$ sont [tex]\left\{\frac 1 2,1\right\}[/tex]

j'additionne les 2 racines : $x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3}{2} $

je les multiplie : $x_1 \times x_2 = \frac{1}{2} $

je compare les valeurs obtenues avec les coefficients de $x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$ et j'observe que $S = \frac{3}{2} $ c'est égal à la valeur absolue de $-\frac{3}{2}$ du polynôme  $f_1(x) = x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$
et j'observe également que $\frac{1}{2}$ c'est égal au dernier coefficient de $x² - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$
Voilà, c'est plutôt  ça ....

à demain

là, j'ai compris

dans le triangle $CBH$ tu appliques Thalès ( $QP // HC$ )

ainsi : $\dfrac{BQ}{BH} = \dfrac{BP}{BC} = \dfrac{QP}{HC} $

et la longueur $QP$ c'est égal à la longueur $MN$ puisque c'est un rectangle donc les largeurs sont les mêmes et pas besoin de le démontrer , on sait que c'est un rectangle , c'est dit dans l'énoncé.

Bonsoir Yoshi

J'ai passé l'après-midi à essayer de comprendre, rien à  faire ...
je comprends pas du tout, je vais encore chercher

je vois un peu, mais le prof a demandé que ce soit exprimé par rapport au segment [AB]
et je vois pas comment obtenir $QH$ dans le triangle $BCH$.

en disant le triangle ABC
et H est le pied de la  hauteur issue de C dans le triangle ABC
dans ma tête, j'avais mis le sommet en C

Bonjour Yoshi

je viens de voir ton message, j'ai peut être mal recopié l'énoncé : il faut partir d'un triangle $ABC$ , $H$ est le pied de la hauteur issue de $C$
$AB = 12, AH = 4$ et $HB = 8$

puis $M$ est un point du segment $[AH]$ donc entre $0$ et $4$, $M$ est mobile et se déplace entre $0$ et $4$, il ne peut aller au delà.

Pour la construction, j'ai suivi cet ordre :
J'ai placé un point mobile $M$ sur le segment $[AM]$ tel que $M\in [0;4]$

j'ai construit la perpendiculaire à $(AB)$ passant par le point $M$ et le point d'intersection $N $  de cette droite avec $[AC]$

puis la perpendiculaire à $(MN)$ passant par $N$ et le point d"intersection $P$ de cette droite avec $[CB]$.

Salut

$ax² + bc + c $ est un polynome de degré 2 ( condition a $\not = 0 $ sinon j'ai une droite)

étape 1 : je dois montrer qu'un polynôme de degré 2 peut s'écrire sous la forme $ a (x + \frac{b}{2a})² + \frac{b² - 4ac}{4a²}$

pour cela je factorise et je précise au début de la démonstration que $a \not = 0 $

comme $ a \not = 0$, pour tout réel x :on a  $f(x) = a \left[x² + \frac{b}{a}x  + \frac{c}{a}\right]$

$x² + \frac{b}{a}x$ est le début du développement de l'identité remarquable $(x + \frac{b}{2a})²$

comme $(x + \frac{b}{2a})² = x² + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)²$ alors $\left(x +\frac{b}{2a}\right)² - \frac{b²}{4a²}  = x² + \frac{b}{a}x$

Soit $a\left[x² + \frac{b}{a}x +\frac{c}{a}\right] = a \left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)² - \frac{b²}{4a²} +\frac{c}{a}\right]$

$a\left[x² + \frac{b}{a}x +\frac{c}{a}\right] = a \left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)² - \frac{b²}{4a²} + \frac{4ac}{4a²}\right]$

les deux fractions sont au même dénominateur, je peux les additionner

$a\left[x² + \frac{b}{a}x +\frac{c}{a}\right] = a \left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)² + \frac{-b² + 4ac}{4a²}\right]$

étape 2 : je dois utiliser une autre identité remarquable $A² - B²$
et pour pouvoir l'appliquer A doit être > 0 et B doit être > 0
c'est bien cela ?

Bonjour,

Pour la construction du premier triangle ABC avec géogebra -- > ok
obtenir un triangle A'B'C' avec les cotés x + 3, x+ 4 et x + 4
là, il faudra me montrer..

$A'B' = x + 3$

$A'C' = x + 4$

$B'C' = x + 6$

d'après Phytagore $(B'C')²=(A'B')²+(A'C')² $
soit $(x+6)² = (x+3)²+(x+4)²$
je développe chaque carré
$x² + 12x + 36 = x² + 6x + 9 + x² + 8x + 16$
$x² + 12x + 36 -x² -6x - 9 - x² - 8x - 16 = 0$
$x² - 2x² + 12x - 6x - 8x + 36 - 9 - 16 = 0$
$- x² - 2x + 9 = 0$
$x² + 2x - 9 = 0$
pour résoudre l'équation, je propose
$(x - 2)² - (2)² - 9 = 0 <=> (x - 2)² - 4 - 9 = 0 <=> (x - 2)²  -13 = 0 <=> (x - 2 - \sqrt{13})(x - 2 + \sqrt{13}) = 0$

<=> $(x - 2 - \sqrt{13}) = 0 $ ou bien $(x - 2 + \sqrt{13}) = 0$

L'équation $x² + 2x - 9 = 0$ a deux solutions $ x = 1,6$ et$ x = -1,6$

Pour la deuxième construction,  j'ai placé un curseur mais je n'arrive pas à déterminer la longueur max
je dois construire un triangle de coté AB = 3+x; AC = 4+x et BC = 6 + x.

quand je vais bouger le curseur avec la souris
le point B va se déplacer vers la droite avec AB = 3 + x
le point C va se déplacer

je cherche ...

Bonsoir Tibo

merci de m'avoir répondu

J'ai construit une première figure avec AB = 4 AC = 3 et BC = 6 enfin disons j'ai essayé puisque j'ai promené le point C avec la souris dans toutes les directions pour essayer d'avoir les mesures données.

Pour avoir un angle droit, et bien toujours en déplaçant le point C avec la souris, j'arrive à obtenir un triangle avec AB = 4
BC = 3 et AC = 5
ainsi pour avoir un triangle rectangle j'ai 3 , 4 et 5